资源简介

考点27
利用空间向量求空间角
1．（2020·全国高考真题（理））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）要证明平面，只需证明，即可；
（2）以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.
【详解】
（1）由题设，知为等边三角形，设，
则，，所以，
又为等边三角形，则，所以，
，则，所以，
同理，又，所以平面；
（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以
故，
设二面角的大小为，则.
【点晴】
本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.
求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cos
θ＝.
2.
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin
θ＝
.
3.
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉
两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°
的二面角称为平面α与平面β的夹角．
空间角的向量法解法
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线
l1，l2
所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos
θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos
〈u，n〉|＝
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos
〈n1，n2〉|＝
1．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，根据上面的材料解决下面的问题：现给出平面的方程为，经过点的直线l的方程为，则直线l与平面所成角为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·福建师大附中高三其他模拟）过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三其他模拟）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·全国高三月考（理））底面为正三角形的直棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知圆柱，在圆上，，，、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模（理））四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2021·浙江高三期末）三棱锥中，，，则异面直线与所成的角可能是（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
10．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知圆锥的正视图是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2021·江西省遂川中学高三月考（理））已知圆锥的底面圆心为，顶点为，侧面展开图对应扇形的圆心角为，，是底面圆周上的两点，与平面所成角的正弦值为，则与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．（2021·全国高三专题练面过正方体的顶点，，点、分别为、的中点，，若平面，平面，则直线与直线所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·全国高三专题练习（理））如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，E，F分别为BC，BB1的中点，M，N分别为AA1，A1C1的中点，则直线MN与EF所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
15．（2010·全国高考真题（文））正方体ABCD-中，B与平面AC所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
16．（2021·天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
17．（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
18．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．
（1）证明：点为的中点；
（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
19．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
20．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
1．C
【分析】
由题意可知，平面的法向量为，直线的方向向量为，再根据线面角的正弦值，即可求出结果．
【详解】
因为平面的方程为，故其法向量为，
因为直线的方程为，其方向向量为，
故直线与平面所成角的正弦值为.所以
故选：C．
2．B
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【详解】
解：设，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量，1，，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
故选：．
3．B
【分析】
以为坐标原点,
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法可求，从而求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
解：以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，
，，
设平面的法向量为，
，，
，令，则，
，
设直线与平面所成角为，则，
故选：B．
4．C
【分析】
利用，，结合平面向量数量积的定义计算可得的值，再分别求出和，代入计算可得答案．
【详解】
如图，，
，
∴，
故选：C
5．A
【分析】
取中点，连接、，然后以点为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可得出直线与平面所成角的正弦值关于的表达式，由此可求得结果.
【详解】
取中点，则，
以点为坐标原点，为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，则，
设，直线的方向向量为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
6．D
【分析】
以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，写出各点坐标，设，，求出，由向量夹角的余弦值得异面直线所成角的余弦值．
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，
则，，，，为中点，则，
，设，，
，，
因为平面，即与共面，
所以存在实数，使得，
所以，解得，，
，又，
．
所以CQ与PA所成角的余弦值为．
故选：D．
【点睛】
思路点睛：求异面直线所成角的方法：
（1）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
（2）空间向量法：建立空间直线坐标系，由直线对应方向向量的夹角的余弦得异面直线所成角的余弦．
7．D
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
设三棱柱的棱长为，
，为的中点，则，
平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则点、、，
所以，，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
8．A
【分析】
设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角.
【详解】
设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，
，，
所以，，
，所以，，
因此，异面直线与所成的角为.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
9．B
【分析】
首先先求向量数量积，再求解的范围，最后求的范围，即可求角.
【详解】
设.
.
由于，将侧面沿展开到平面，
则三点??共线，
又此三棱锥可看成将沿直线翻折而成的，
故不难可得.
设异面直线与所成的角为，
则，即.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查空间向量解决角的问题，本题的关键是根据，求解的范围.
10．B
【分析】
以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.
【详解】
以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，，
设异面直线与所成角为，则.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
11．A
【分析】
连接，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设圆的半径为，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
，且，所以，，
连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设圆的半径为，则、、、，
，，
，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
12．A
【分析】
先用向量数量积求直线与平面成角的正弦值，通过解方程确定点位置，再用向量数量积求异直线成角余弦值．
【详解】
设，，，
因为侧面展开图对应扇形的圆心角为，
所以，于是，所以，
所以，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则各点坐标如下：，0，，，，，，，，，，，，，，，，，平面的法向量为，0，，
与平面所成角的正弦值为，，
所以与所成角的余弦值为．
故选：A
13．B
【分析】
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.
【详解】
不妨设AB=2,
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则
设平面EFG的一个法向量，则
，不妨令x=1，则
易知平面ABCD的一个法向量为，
设直线m，n的方向向量分别为，
因为平面，，
所以不妨令=1，则
同理可求
设直线与直线所成角为，则
所以
故选：B
【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
14．C
【分析】
方法不唯一，可采用补形法，作出三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，则∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角，结合余弦定理可求；也可连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角，结合几何关系可求；采用建系法，以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过点O且平行于CC1的直线为z轴建立坐标系，求出，结合向量夹角公式即可求解
【详解】
法一：如图，在原三棱柱的上方，再放一个完全一样的三棱柱，连接AC1，CB1，C1B′，易得MNAC1，EFCB1C1B′，那么∠AC1B′或∠AC1B′的补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1＝AB＝a，则AC1＝C1B′＝a，连接AB′，则AB′＝＝3a，
由余弦定理得cos
∠AC1B′＝＝－.
故直线MN与EF所成角的余弦值为.
法二：如图，连接AC1，C1B，CB1，设C1B，CB1交于点O，取AB的中点D，连接CD，OD，
则MNAC1OD，EFCB1，那么∠DOC或其补角即直线MN与EF所成的角.
设AA1＝AB＝a，则AC1＝CB1＝a，于是OD＝OC＝，又CD＝，
于是△OCD为正三角形，
故∠DOC＝60°，cos
∠DOC＝，即直线MN与EF所成角的余弦值为.
法三：取AB的中点O，连接CO，则CO⊥AB，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，
过点O且平行于CC1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB＝2，则AA1＝2，
求得M(－1，0，)，N，E，F(1，0，)，所以＝，＝，
cos〈，〉＝＝＝.
故选：C
【点睛】
方法点睛：本题考查异面直线夹角的求法，属于中档题，常采用以下方法：
（1）补形法，通过适当填补图形，将异面直线通过平移方式转化为共面直线求解；
（2）平移线段法：结合中位线定理（平行四边形性质）将异面直线平移为共面直线求解；
（3）向量法：适用于形状相对规则的几何体，选择合适的坐标系，表示出所求线段向量，结合夹角公式求解.
15．D
【详解】
试题分析：因为∥，所以与平面所成角的余弦值等价于与平面所成角的余弦值．设正方体棱长为a，易知平面且设垂足为E，所以即为所求角．由已知可得DE=，从而，所以．故选D．
考点：斜线与平面所成的角．
16．（I）证明见解析；（II）；（III）.
【分析】
（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（II）求出，由运算即可得解；
（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】
（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.
（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【详解】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
（2）在平面内，过作，交于，则，
结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.
则，故.
设平面的法向量，
则即，取，则，
故.
而平面的法向量为，故.
二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.
【详解】
(1)如图所示，取的中点，连结，
由于为正方体，为中点，故，
从而四点共面，即平面CDE即平面，
据此可得：直线交平面于点，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，
即点为中点.
(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，设，
则：，
从而：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
设平面的法向量为：，则：
，
令可得：，
从而：，
则：，
整理可得：，故（舍去）.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19．（1）见解析；（2）
【分析】
通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．
【详解】
因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，
此时．
【点睛】
本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出（），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．
20．（1）；（2）
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
【点睛】
思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.

展开更多......

收起↑