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内蒙古赤峰市2019-2020学年高一下学期理数期末联考（A卷）
一、单选题
1．（2020高一下·赤峰期末）若集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合对数型函数求定义域的方法，从而求出集合A，再利用指数函数的图象结合x的取值范围，从而求出指数函数的值域，进而求出集合B，再利用交集和补集的运算法则，进而求出集合。
2．（2020高一下·赤峰期末）若 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】由 在 上单调递减，知 ，A不符合题意
由 在 上单调递增，知 ，B符合题意
由 在 上单调递增，而已知 ，故 不一定成立，C不符合题意
由 在 和 上单调递减，而已知 ，故 不一定成立，D不符合题意
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性和不等式的基本性质，从而找出不等式成立的选项。
3．（2020高一下·赤峰期末）下列函数中，既是偶函数又在 上是单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】D为奇函数，不合题意， D不正确；
当 时， 是周期函数，不是单调函数，不合题意，A不正确；
当 时， 是减函数，不合题意，B不正确；
当 时， 是增函数，符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用偶函数的定义结合增函数的定义，从而找出既是偶函数又在 上是单调递增的函数。
4．（2020高一下·赤峰期末）若等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则公差 （　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，
解得 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而求出等差数列的首项和公差。
5．（2019高三上·广州月考）函数 图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】由题意得， ，所以
，所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；
令 ，则 ， 。
故答案为：B．
【分析】先判断函数的奇偶性，再求 ， 利用排除法可得解
6．（2020高一下·赤峰期末）已知 ， 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 ，
，
， 是单位向量，
，
，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义，再利用数量积向量的模的公式结合数量积的定义，从而求出两向量 与 的夹角 。
7．（2020高一下·赤峰期末）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，若 ， ，若 仅有一个解，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系；正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ， 的图象如图所示：
因为 仅有一个解，
所以 与 的图象只有一个交点，
所以 或 ，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合正弦定理求出，因为 ，再利用 仅有一个解，所以 与 的图象只有一个交点，再结合函数 的图象和 的图像，从而求出实数a的取值范围。
8．（2020高一下·赤峰期末）已知 ， ，则 （　　）
A．-1 B． C．7 D．-7
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，
∵ ， ，
∴，
即 。
故答案为：B
【分析】利用两角差的正切公式结合同角三角函数基本关系式，再结合角的取值范围，从而结合已知条件求出角的正弦值，从而求出的值。
9．（2020高一下·赤峰期末）设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题：
①②③④
其中，真命题是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对①，垂直于同一个平面的两个平面位置关系可以是相交，故①错，
对②，平行于同一个平面的两个平面的是相互平行的，故②正确，
对③，若直线 在平面内，则 不平行于 ，故③错，
对④，一个平面平行于另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，从而找出真命题的序号。
10．（2020高一下·赤峰期末）设 ， ， ， 是球 表面上的四点， 平面 ， ， ， ，则球 的表面积等于（　　）
A．2π B．4π C．8π D．6π
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为 ， ， ， 是球 表面上的四点，
因此可以把三棱锥 补成如下图所示的长方体 ，
显然该长方体的三条棱长分别为： ，
该长方体的对角线长为： ，
因此该长方体的外接球的半径为： ，
所以球 的表面积为： 。
故答案为：C
【分析】因为 ， ， ， 是球 表面上的四点，因此可以把三棱锥 补成如下图所示的长方体 ，再结合已知条件得出该长方体的三条棱长分别为： ，再利用勾股定理求出该长方体的对角线长，进而求出该长方体的外接球的直径，从而求出该长方体的外接球的半径，再结合球的表面积公式，进而求出球 的表面积。
11．（2020高一下·赤峰期末）点 是函数 的图象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（　　）
A． 的最小正周期是
B． 的值为2
C． 的初相为
D． 在 上单调递增
【答案】D
【知识点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】因为 是函数 的图象的一个对称中心，
所以 ， ，
又因为点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
，
ABC不符合题意，
又 ， ，所以 在 上单调递增，D符合题意，
故答案为：D
【分析】因为 是函数 的图象的一个对称中心，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称中心，进而求出 ， ，又因为点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，再结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，所以 ，又因为 ，进而求出的值，从而求出正弦型函数的解析式，进而结合初相的定义求出函数的初相，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象判断出正弦型函数在某区间的单调性，从而选出正确的选项。
12．（2020高一下·赤峰期末）已知 ， 满足 ，则 的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 知： ，而 ， ，
∴ ，则 ，
∴。
故答案为：C
【分析】利用已知条件 知： ，而 ， ，
所以 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
二、填空题
13．（2020高一下·赤峰期末）若函数 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为函数 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用分段函数的解析式求出函数值。
14．（2020高一下·赤峰期末）中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第5天走了　 　里路.
【答案】12
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意得，每天走的路程构成以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
解得 ，
所以 。
故答案为：12。
【分析】利用已知条件将实际问题转化为数列的问题，所以每天走的路程构成以 为首项，以 为公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式，进而结合已知条件求出等比数列的首项，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列第五项的值，从而求出第5天走的里路数。
15．（2020高一下·赤峰期末）设经过△ 的重心 的直线与 ， 分别交于 ， 两点.若 ， ， ， ，则 的最小值　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【解答】设 ， ，又因为 为△ 的重心，
∴在△ 中， ，
∵ ， ，有 ， ，
∴ ， ，
又因为P，Q，G三点共线，知存在实数 ，使得 ，
，可得 ， ， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，又因为 为△ 的重心，再利用重心的性质结合平行四边形法则、三角形法、共线定理和平面向量基本定理，得出，又因为P，Q，G三点共线，知存在实数 ，使得 ，再利用共线定理可得 ， ， ，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
16．（2020高一下·赤峰期末）如图，正三棱柱 ，的各棱长都等于2， 在 上， ， 分别为 ， 的中点， ，有下述结论
① 平面 ；
②二面角 的大小为 ；
③
④异面直线 与 所成的角为
其中正确结论的序号是　 　.（写出所有你认为正确的结论的序号）
【答案】①②
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】对于①连接 、 ，则 ，即 是等腰三角形，
因为 ，所以 是 的中点，又因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，故①正确；
对于②，连接 ，则 平面 ，由于 ，可得 平面 ，即可得平面 平面 ，二面角 的大小为 故②正确
对于③ ，故③不正确
对于④：连接 ，因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角，
在 中， ， ，
所以 ，所以 ，故④不正确
故答案为：①②
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线面垂直的判定定理证出 平面 ；再连接 ，则 平面 ，由于 ，可得 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而求出二面角 的大小 ；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出的值；再连接 ，因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角，再结合已知条件和余弦定理，从而求出异面直线 与 所成的角，进而找出正确结论的序号。
三、解答题
17．（2020高一下·赤峰期末）用“五点法”画函数 在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0 π 2π
　 　 　
4 1 -2 　 4
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式为；
（2）若将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求当 时，函数 的单调递增区间；
（3）若将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度，得到 的图象，若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.
【答案】（1）解：由表格中的数据可得 ，解得 ， ，用数据补全如下表：
0 π 2π
4 1 -2 1 4
（2）解：将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，可得到函数 的图象，
由 ，得 ，
所以，函数 在 上的单调递增区间为 ，
，所以，当 时，函数 的单调递增区间为
（3）解：由已知，得 ，
因为函数 图象的一个对称中心为 ，
则 ，可得 ，
∴ ，即 ，
，当 时， 取最小值
【知识点】函数的单调性及单调区间；余弦函数的奇偶性与对称性；五点法画三角函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用五点法结合已知的数据表，进而将数据包填写完整，再利用五点法求出余弦型函数的解析式。
（2）利用已知条件结合余弦型函数f(x)的图象变换求出余弦型函数g(x)的解析式，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象求出余弦型函数的单调递增区间。
（3）利用已知条件结合余弦型函数f(x)的图象变换求出余弦型函数k(x)的解析式，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象求出余弦型函数的对称中心，再结合函数 图象的一个对称中心为 ，进而求出 ，再利用的取值范围结合赋值法，进而求出 的最小值。
18．（2020高一下·赤峰期末）在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故 ，
由余弦定理得
（2）解：由 得 ，
所以 ，
所以 ，
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出 ， ，再由余弦定理得出角A的余弦值。
（2）利用（1）求出的角A的余弦值结合同角三角函数基本关系式求出角A的正弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式求出角2A的正弦值和余弦值，再利用两角差的余弦公式，进而求出 的值 。
19．（2020高一下·赤峰期末）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 前 项和为 ，证明： .
【答案】（1）解：由已知得，当 时，
∴ ，两边同除 得
令 ，则 ，又
∴ ， ，即
∴ 也满足
故 是首项为1，公差为1的等差数列，即
∴ ，
（2）解：由1知， ，则
∴ ，
∴ ，即 得证
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合与的关系式，再结合分类讨论的方法，进而结合等差数列的定义，从而推出数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式 。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 前 项和，再利用放缩法结合n的取值范围，进而证出 。
20．（2020高一下·赤峰期末）2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产 （百辆），需另投入成本 万元，且 ，由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：当 时， ，∴ ；
当 时， ，∵ ，当且仅当 时，等号成立，∴
∴2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为4000万元
【知识点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出2020年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式。
（2）利用（1）求出的2020年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式结合二次函数图象求最值的方法和均值不等式求最值的方法，进而结合比较法求出2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为4000万元。
21．（2020高一下·赤峰期末）已知四棱锥 ，底面 是 ，边长为 的菱形，又 底面 ，且 ， ， 分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明：如下图，取 中点为 ，分别连接 ， ，
为 的中点，底面 是菱形，
∴ ， ，
又 ， 分别为 ， 中点，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，
∵底面 是菱形， 为 的中点，
∴ ，又 ，∴ 平面 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，解之得
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） ，取 中点为 ，分别连接 ， ，再利用点 为 的中点，底面 是菱形，所以利用中点的性质结合菱形的性质，所以 ， ，又因为 ， 分别为 ， 中点，得出 ， ，再利用平行四边形的定义，从而判断出四边形 是平行四边形，再结合平行四边形的性质，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出 平面 。
（2） 因为点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，所以设点 到平面 的距离为 ，再利用底面 是菱形， 为 的中点，再结合中点的性质结合菱形的性质，所以 ，又因为 ，所以利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，进而求出点 到平面 的距离。
22．（2020高一下·赤峰期末）设函数 ， 的定义域分别为 ， ，且 .若对于任意 ，都有 ，则称 为 在 上的一个延拓函数.给定函数
（1）若 是 在给定 上的延拓函数，且 为奇函数，求 的解析式；
（2）设 为 在 上的任意一个延拓函数，且 是 上的单调函数
①判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义给出证明；
②设 ， ，证明： .
【答案】（1）解：当 时，由 为奇函数，得 .
当 时， ，当 时， ，
∴ ，∴
所以 的解析式为
（2）证明：①函数 在 上是增函数，其证明如下：
∵ 是 在 上的一个延拓函数，
∴当 时，
，任取 ，则
，∵
∴ ， ，∴
∴ ，∴函数 在 上是增函数
②由①知， 是在 上的单调递增函数
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
即
同理可得： .将上述两个不等式相加，
并除以 ，即得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1） 由设函数 ， 的定义域分别为 ， ，且 ，若对于任意 ，都有 ，则称 为 在 上的一个延拓函数结合奇函数的性质和奇函数的定义，从而结合已知条件求出函数h(x)的解析式。
（2） ① 设 为 在 上的任意一个延拓函数， 再结合延拓函数的定义， 从而利用函数 是 上的单调函数和增函数的定义，进而判断出函数 在 上是增函数。 ② 由①知， 是在 上的增函数，再利用已知条件结合不等式的基本性质，所以 ，即 ，同理可得 ，将这两个不等式相加并除以 ，从而证出 。
1 / 1内蒙古赤峰市2019-2020学年高一下学期理数期末联考（A卷）
一、单选题
1．（2020高一下·赤峰期末）若集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·赤峰期末）若 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020高一下·赤峰期末）下列函数中，既是偶函数又在 上是单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一下·赤峰期末）若等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则公差 （　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
5．（2019高三上·广州月考）函数 图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高一下·赤峰期末）已知 ， 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．（2020高一下·赤峰期末）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，若 ， ，若 仅有一个解，则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．2
8．（2020高一下·赤峰期末）已知 ， ，则 （　　）
A．-1 B． C．7 D．-7
9．（2020高一下·赤峰期末）设 ， 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，有以下四个命题：
①②③④
其中，真命题是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
10．（2020高一下·赤峰期末）设 ， ， ， 是球 表面上的四点， 平面 ， ， ， ，则球 的表面积等于（　　）
A．2π B．4π C．8π D．6π
11．（2020高一下·赤峰期末）点 是函数 的图象的一个对称中心，且点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，则（　　）
A． 的最小正周期是
B． 的值为2
C． 的初相为
D． 在 上单调递增
12．（2020高一下·赤峰期末）已知 ， 满足 ，则 的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．
二、填空题
13．（2020高一下·赤峰期末）若函数 ，则 　 　.
14．（2020高一下·赤峰期末）中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第5天走了　 　里路.
15．（2020高一下·赤峰期末）设经过△ 的重心 的直线与 ， 分别交于 ， 两点.若 ， ， ， ，则 的最小值　 　.
16．（2020高一下·赤峰期末）如图，正三棱柱 ，的各棱长都等于2， 在 上， ， 分别为 ， 的中点， ，有下述结论
① 平面 ；
②二面角 的大小为 ；
③
④异面直线 与 所成的角为
其中正确结论的序号是　 　.（写出所有你认为正确的结论的序号）
三、解答题
17．（2020高一下·赤峰期末）用“五点法”画函数 在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0 π 2π
　 　 　
4 1 -2 　 4
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式为；
（2）若将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，求当 时，函数 的单调递增区间；
（3）若将函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度，得到 的图象，若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.
18．（2020高一下·赤峰期末）在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19．（2020高一下·赤峰期末）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 前 项和为 ，证明： .
20．（2020高一下·赤峰期末）2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产 （百辆），需另投入成本 万元，且 ，由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2020年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
21．（2020高一下·赤峰期末）已知四棱锥 ，底面 是 ，边长为 的菱形，又 底面 ，且 ， ， 分别为棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
22．（2020高一下·赤峰期末）设函数 ， 的定义域分别为 ， ，且 .若对于任意 ，都有 ，则称 为 在 上的一个延拓函数.给定函数
（1）若 是 在给定 上的延拓函数，且 为奇函数，求 的解析式；
（2）设 为 在 上的任意一个延拓函数，且 是 上的单调函数
①判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义给出证明；
②设 ， ，证明： .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合对数型函数求定义域的方法，从而求出集合A，再利用指数函数的图象结合x的取值范围，从而求出指数函数的值域，进而求出集合B，再利用交集和补集的运算法则，进而求出集合。
2．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；不等式的基本性质
【解析】【解答】由 在 上单调递减，知 ，A不符合题意
由 在 上单调递增，知 ，B符合题意
由 在 上单调递增，而已知 ，故 不一定成立，C不符合题意
由 在 和 上单调递减，而已知 ，故 不一定成立，D不符合题意
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性和不等式的基本性质，从而找出不等式成立的选项。
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】D为奇函数，不合题意， D不正确；
当 时， 是周期函数，不是单调函数，不合题意，A不正确；
当 时， 是减函数，不合题意，B不正确；
当 时， 是增函数，符合题意，C符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用偶函数的定义结合增函数的定义，从而找出既是偶函数又在 上是单调递增的函数。
4．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ，
解得 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，进而求出等差数列的首项和公差。
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】由题意得， ，所以
，所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C；
令 ，则 ， 。
故答案为：B．
【分析】先判断函数的奇偶性，再求 ， 利用排除法可得解
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】 ，
，
， 是单位向量，
，
，
。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义，再利用数量积向量的模的公式结合数量积的定义，从而求出两向量 与 的夹角 。
7．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系；正弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ， 的图象如图所示：
因为 仅有一个解，
所以 与 的图象只有一个交点，
所以 或 ，
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合正弦定理求出，因为 ，再利用 仅有一个解，所以 与 的图象只有一个交点，再结合函数 的图象和 的图像，从而求出实数a的取值范围。
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ，
∵ ， ，
∴，
即 。
故答案为：B
【分析】利用两角差的正切公式结合同角三角函数基本关系式，再结合角的取值范围，从而结合已知条件求出角的正弦值，从而求出的值。
9．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】对①，垂直于同一个平面的两个平面位置关系可以是相交，故①错，
对②，平行于同一个平面的两个平面的是相互平行的，故②正确，
对③，若直线 在平面内，则 不平行于 ，故③错，
对④，一个平面平行于另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，故④正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，从而找出真命题的序号。
10．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】因为 ， ， ， 是球 表面上的四点，
因此可以把三棱锥 补成如下图所示的长方体 ，
显然该长方体的三条棱长分别为： ，
该长方体的对角线长为： ，
因此该长方体的外接球的半径为： ，
所以球 的表面积为： 。
故答案为：C
【分析】因为 ， ， ， 是球 表面上的四点，因此可以把三棱锥 补成如下图所示的长方体 ，再结合已知条件得出该长方体的三条棱长分别为： ，再利用勾股定理求出该长方体的对角线长，进而求出该长方体的外接球的直径，从而求出该长方体的外接球的半径，再结合球的表面积公式，进而求出球 的表面积。
11．【答案】D
【知识点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【解答】因为 是函数 的图象的一个对称中心，
所以 ， ，
又因为点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
，
ABC不符合题意，
又 ， ，所以 在 上单调递增，D符合题意，
故答案为：D
【分析】因为 是函数 的图象的一个对称中心，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称中心，进而求出 ， ，又因为点 到该图象的对称轴的距离的最小值为 ，再结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，所以 ，又因为 ，进而求出的值，从而求出正弦型函数的解析式，进而结合初相的定义求出函数的初相，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象判断出正弦型函数在某区间的单调性，从而选出正确的选项。
12．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 知： ，而 ， ，
∴ ，则 ，
∴。
故答案为：C
【分析】利用已知条件 知： ，而 ， ，
所以 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
13．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为函数 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用分段函数的解析式求出函数值。
14．【答案】12
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意得，每天走的路程构成以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
解得 ，
所以 。
故答案为：12。
【分析】利用已知条件将实际问题转化为数列的问题，所以每天走的路程构成以 为首项，以 为公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式，进而结合已知条件求出等比数列的首项，再利用等比数列的通项公式，进而求出等比数列第五项的值，从而求出第5天走的里路数。
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【解答】设 ， ，又因为 为△ 的重心，
∴在△ 中， ，
∵ ， ，有 ， ，
∴ ， ，
又因为P，Q，G三点共线，知存在实数 ，使得 ，
，可得 ， ， ，
∴ ，当且仅当 时等号成立。
故答案为： 。
【分析】设 ， ，又因为 为△ 的重心，再利用重心的性质结合平行四边形法则、三角形法、共线定理和平面向量基本定理，得出，又因为P，Q，G三点共线，知存在实数 ，使得 ，再利用共线定理可得 ， ， ，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
16．【答案】①②
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】对于①连接 、 ，则 ，即 是等腰三角形，
因为 ，所以 是 的中点，又因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，故①正确；
对于②，连接 ，则 平面 ，由于 ，可得 平面 ，即可得平面 平面 ，二面角 的大小为 故②正确
对于③ ，故③不正确
对于④：连接 ，因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角，
在 中， ， ，
所以 ，所以 ，故④不正确
故答案为：①②
【分析】利用已知条件结合正三棱柱的结构特征，再结合中点的性质，从而利用线面垂直的判定定理证出 平面 ；再连接 ，则 平面 ，由于 ，可得 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而求出二面角 的大小 ；利用已知条件结合三棱锥的体积公式，进而求出的值；再连接 ，因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角，再结合已知条件和余弦定理，从而求出异面直线 与 所成的角，进而找出正确结论的序号。
17．【答案】（1）解：由表格中的数据可得 ，解得 ， ，用数据补全如下表：
0 π 2π
4 1 -2 1 4
（2）解：将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，可得到函数 的图象，
由 ，得 ，
所以，函数 在 上的单调递增区间为 ，
，所以，当 时，函数 的单调递增区间为
（3）解：由已知，得 ，
因为函数 图象的一个对称中心为 ，
则 ，可得 ，
∴ ，即 ，
，当 时， 取最小值
【知识点】函数的单调性及单调区间；余弦函数的奇偶性与对称性；五点法画三角函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）利用五点法结合已知的数据表，进而将数据包填写完整，再利用五点法求出余弦型函数的解析式。
（2）利用已知条件结合余弦型函数f(x)的图象变换求出余弦型函数g(x)的解析式，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象求出余弦型函数的单调递增区间。
（3）利用已知条件结合余弦型函数f(x)的图象变换求出余弦型函数k(x)的解析式，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图象求出余弦型函数的对称中心，再结合函数 图象的一个对称中心为 ，进而求出 ，再利用的取值范围结合赋值法，进而求出 的最小值。
18．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故 ，
由余弦定理得
（2）解：由 得 ，
所以 ，
所以 ，
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出 ， ，再由余弦定理得出角A的余弦值。
（2）利用（1）求出的角A的余弦值结合同角三角函数基本关系式求出角A的正弦值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式求出角2A的正弦值和余弦值，再利用两角差的余弦公式，进而求出 的值 。
19．【答案】（1）解：由已知得，当 时，
∴ ，两边同除 得
令 ，则 ，又
∴ ， ，即
∴ 也满足
故 是首项为1，公差为1的等差数列，即
∴ ，
（2）解：由1知， ，则
∴ ，
∴ ，即 得证
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；反证法与放缩法
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合与的关系式，再结合分类讨论的方法，进而结合等差数列的定义，从而推出数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 再利用等差数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式 。
（2）利用（1）求出的数列 的通项公式结合 ， 进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消的方法，进而求出数列 前 项和，再利用放缩法结合n的取值范围，进而证出 。
20．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：当 时， ，∴ ；
当 时， ，∵ ，当且仅当 时，等号成立，∴
∴2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为4000万元
【知识点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出2020年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式。
（2）利用（1）求出的2020年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式结合二次函数图象求最值的方法和均值不等式求最值的方法，进而结合比较法求出2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为4000万元。
21．【答案】（1）证明：如下图，取 中点为 ，分别连接 ， ，
为 的中点，底面 是菱形，
∴ ， ，
又 ， 分别为 ， 中点，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解：点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，
∵底面 是菱形， 为 的中点，
∴ ，又 ，∴ 平面 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，解之得
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） ，取 中点为 ，分别连接 ， ，再利用点 为 的中点，底面 是菱形，所以利用中点的性质结合菱形的性质，所以 ， ，又因为 ， 分别为 ， 中点，得出 ， ，再利用平行四边形的定义，从而判断出四边形 是平行四边形，再结合平行四边形的性质，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，即证出 平面 。
（2） 因为点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，所以设点 到平面 的距离为 ，再利用底面 是菱形， 为 的中点，再结合中点的性质结合菱形的性质，所以 ，又因为 ，所以利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，进而求出点 到平面 的距离。
22．【答案】（1）解：当 时，由 为奇函数，得 .
当 时， ，当 时， ，
∴ ，∴
所以 的解析式为
（2）证明：①函数 在 上是增函数，其证明如下：
∵ 是 在 上的一个延拓函数，
∴当 时，
，任取 ，则
，∵
∴ ， ，∴
∴ ，∴函数 在 上是增函数
②由①知， 是在 上的单调递增函数
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
即
同理可得： .将上述两个不等式相加，
并除以 ，即得
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1） 由设函数 ， 的定义域分别为 ， ，且 ，若对于任意 ，都有 ，则称 为 在 上的一个延拓函数结合奇函数的性质和奇函数的定义，从而结合已知条件求出函数h(x)的解析式。
（2） ① 设 为 在 上的任意一个延拓函数， 再结合延拓函数的定义， 从而利用函数 是 上的单调函数和增函数的定义，进而判断出函数 在 上是增函数。 ② 由①知， 是在 上的增函数，再利用已知条件结合不等式的基本性质，所以 ，即 ，同理可得 ，将这两个不等式相加并除以 ，从而证出 。
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