资源简介

浙江省嘉兴市2021年中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（2021·嘉兴）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（　　）
A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解： 55000000 = 5.5×107 ，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
2．（2021·嘉兴）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得：俯视图的上面是两个小正方形，下方是一个正方形，而左边是一个正方形，右边是两个正方形，
故答案为：C.
【分析】视线由上向下看物体在水平面所得的视图为俯视图，然后分别判断即可.
3．（2021·嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x＝ ﹣1 B．x＝ +1 C．x＝3 D．x＝ ﹣
【答案】C
【知识点】无理数的认识；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 （ ﹣1 ）2=3-2 为无理数，不符合题意；
B、 （ +1 ）2=3+2 为无理数，不符合题意；
C、∵ （3 ）2= 18为有理数，∴该命题为假命题，符合题意；
D、（ ﹣ ）2=5-2为无理数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别计算各项的x2的值，看其是否是有理数即可判断.
4．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
5．（2021·嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠的性质可知CA = AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴AB=BD=AC=CD，
∴四边形BACD是菱形，
故答案为：D.
【分析】对折即根据轴对称得到的图形，由对折的性质即可得出CA=CB，最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，从而得出AB=BD=AC=CD，根据菱形的判定定理即可判断.
6．（2021·嘉兴）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是 ℃
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：A、∵23<25<26<27<30<33=33，处于中间的是33，∴中位数为27，错误；
B、33℃出现2次，次数最多，为众数，正确；
C、平均数=℃，正确；
D、∵33-23=10，∴4日至5日最高气温下降幅度较大 ，正确；
故答案为：A.
【分析】分别求出中位数、众数、平均数和每日气温降幅，然后判断即可.
7．（2021·嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵r=2，∴OA=3>r，∴A点在圆外，
∵OB=2=r，∴B点在圆上，
∴当OB⊥AB时，AB与 ⊙O 相切，当OB与AB不垂直时，AB与 ⊙O相交，
故答案为：D.
【分析】先根据点与圆的位置关系判断出A在圆外，B在圆上，然后根据直线与圆的位置关系分两种情况分析即可.
8．（2021·嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】 设荧光棒的单价为x元， 则缤纷棒的单价为1.5x，
∴缤纷棒的数量= ， 荧光棒的数量=，
∴ ﹣ =20 ,
故答案为：B.
【分析】 设荧光棒的单价为x元， 则缤纷棒的单价为1.5x，根据“缤纷棒比荧光棒少20根”的关系构建方程即可.
9．（2021·嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接FD、FE，作FH⊥AC于H，FK⊥AB于K，
∴FH为△ABC的中位线，
FH=AB=，HD=AC-AD=-2=，
∴FD==，
同理FE=，
∵G为DE的中点，AG=FG，
∴AG=FG=DG=EG，
∴△DFE为直角三角形，
∴∠DFE=90°，
∴DE=FD=×=，
故答案为：A.
【分析】连接FD、FE，作FH⊥AC于H，FK⊥AB于K，利用中位线定理求出FH，再利用线段间的和差关系求出HD，同理求出EF，得出FD=EF，然后利用直角三角形斜边上中线的性质得出△DFE为等腰直角三角形，则DE的长可求.
10．（2021·嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． ≤ B． ≥ C． ≥ D． ≤
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴-3a-4=b，
∴2a-5b=2a-5（-3a-4）=17a+20≤0，
∴a≤-，
∴=≤-3+=，
故答案为：D.
【分析】 根据点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上， 把-3a-4=b代入2a﹣5b≤0得出a的范围，再求的范围即可.
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（2021·嘉兴）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解　 　．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：令x=2，则 2+3y＝14，
∴y==4，
∴ 是方程的解，
故答案为： （答案不唯一） .
【分析】令x=2，代入 x+3y＝14求出y值，则可得出该一元一次方程的一个解.
12．（2021·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是　 　．
【答案】（4，2）
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，
∴点G的坐标为（4，2），即为位似中心，
故答案为： （4，2） .
【分析】根据位似图形的性质，分别连接OA、EC、DB交于一点G，即为位似中心，读出坐标即可.
13．（2021·嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　 　．
【答案】n2-(n-1)2
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当n=1时，1=12-02=12-（1-1）2，
当n=2时，3=22-12=22-（2-1）2，
当n=3时， 5＝32﹣22=32-（3-1）2，
…
∴第n个等式为：2n﹣1=n2-(n-1)2 ，
故答案为： n2-(n-1)2 .
【分析】先根据n=1，2，3列出等式，据此得出规律2n﹣1=n2-(n-1)2 .
14．（2021·嘉兴）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，则AH的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△BAC中，
AC=，
∵ ABCD ，
∴OA=AC=，
∴OB=，
∴OA×AB=OB×AH，
∴AH=，
故答案为： .
【分析】在Rt△BAC中，根据勾股定理求出AC，然后由平行四边形的性质得出OA，再由勾股定理求出OB，最后利用等积法列式求出AH即可.
15．（2021·嘉兴）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为　 　．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8, 6时，田忌的马按5，9, 7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方的马对阵中，共有6种情况，只有1种对阵情况田忌会赢，
∴田忌能赢得比赛的概率= ，
【分析】根据题意列出所有等可能出现的结果数，由于田忌赢得比赛的结果只有1种，根据概率公式计算即可.
16．（2021·嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是　 　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为　 　．
【答案】；
【知识点】点到直线的距离；扇形面积的计算；轴对称的性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过点B作BH⊥AC于H点，
∵∠BAC＝30°，
∴AH=ABcos30°=2×=，BH=ABsin30°=2×=1，
∵∠BCH = 45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=1，
∴ AC=AH+CH=A'C=1+，
当CA'⊥AB时，CK最短，而A'C=AC为定值，则点A'到直线AB的距离最大，
设CA'交AB的延长线于K，
在Rt△ACK中，
CK=ACsin30°=（1+）=，
∴A'K = A'C -CK= 1+-=，
如图2，
当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC
=-2××（1+）×1
= ，
故答案为： ， .
【分析】先找出点A′到直线AB距离的最大值点，如图1，过点B作BH⊥AC于H，根据点到直线的距离最小，结合A'C为定值，则知这时A'K为最大，解直角三角形求出CA'，CK，可得结论；如图2可知，当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC，由此列式计算即可.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（2021·嘉兴）
（1）计算：2﹣1+ ﹣sin30°；
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
（2）化简并求值：1﹣ ，其中a＝﹣ ．
【答案】（1）解：原式=+-
=；
（2）解：原式=
当a= ﹣ 时， 原式= .
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先进行负指数幂的运算、二次根式的化简和代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式和进行有理数的加减运算即可；
（2）先根据分式的运算法则将分式化简，然后代值计算即可.
18．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
19．（2021·嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，（答案不唯一）
（2）解：图1菱形面积=×2×6=6；
图2菱形面积=×2×4=8；
图3菱形面积=()2=10.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据四条边相等的四边形是菱形，结合勾股定理作图即可；
（2）先根据勾股定理求出菱形对角线的长，然后根据菱形的面积公式计算即可.
20．（2021·嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”，80米～100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【答案】（1）答： y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应；
（2）答：“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；
（3）答案不唯一. 例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力调练，提高成绩.
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）由于y随x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应；
（2）根据图象找出小斌到达30米时的速度即可；
（3）根据图象可知，小斌在80米左右时速度下降明显，针对这个问题提出建议即可.
21．（2021·嘉兴）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如下统计图（不完整）：
青少年视力健康标准
类别 视力 健康状况
A 视力≥5.0 视力正常
B 4.9 轻度视力不良
C 4.6≤视力≤4.8 中度视力不良
D 视力≤4.5 重度视力不良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
【答案】（1）解：被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数
为：360°x(1- 31.25%4-24.5%- 32%6)=44.1°，
∴该批400名学生2020年初视力正常人数= 400- 48-91-148=113 (人) ；
（2）解：该市八年级学生2021年初视力正常的人数= 2000×31.25% = 6250（人），
这些学生2020年初视力正常的人数=2000×= 5650（人），
∴增加的人数=6250- 5650=600（人），
∴该市八年级学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了600人；
（3）解：该市八年级学生2021年初视力不良率= 1-31.25%=68.75%，
∵68.75%<69%。
∴该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】(1)利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解，抽查的人数减去其余状况的人数即知该批400名学生2020年初视力正常人数；
(2)分别求出2021、2020年初视力正常的人数，然后求差即可求解.
(3)利用1 - 31.25%即可得出该市八年级学生2021年视力不良率，然后判断即可.
22．（2021·嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
【答案】（1）解：如图3，∵BD'∥EF， ∠BEF= 108°，
∴∠D'BE= 180°-∠BEF=72°，
∵∠DBE= 108°，
∴∠DBD'= ∠DBE-∠D'BE= 108°-72°= 36°，
又∵BD=6，
∴点D转动到点D’的路径长==（cm）；
（2）解：如图4，过点D作DG⊥BD于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
DG=BDsin36°≈3.54，
EH=BEsin72°≈3.80，
∴DG+ EH=3.54+3.80=7.34≈7.3，
又∵ BD'∥EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm.
【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠D'BE，然后根据角的和差关系，结合旋转的性质求出旋转角∠DBD'的大小，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作DG⊥BD于点G，过点E作EH⊥BD于点H，根据三角函数的定义分别求出DG和EH，然后根据线段的和差关系即可求出结果.
23．（2021·嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【答案】（1）解：y=-x2 +6x-5=-(x-3)2+4，
∴顶点坐标为(3，4)；
（2）解：∵顶点坐标为(3， 4)，∴当x=3时，y最大 =4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，当x=1时，y最小值=0，
：当3∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
（3）解：当 t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3<3时，即t<0，y随着x的增大而增大，
当x=t+3时，m=-(t+3) +6(t+3)-5=-t2+4，
当x=t时，n=-t2+6t-5，
∴m-n=-t2 +4-(-t2+6t-5)=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1 (不合题意，舍去)；
②当0≤t<3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m=4，
ⅰ）当0≤t≤时，在x=t时，n=-t2+6t-5，
∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9，
解得t1=3-，t2=3+(不合题意，舍去) .
ⅱ)当m-n=4-(-t2 +4)=t2 ，
∴t2 =3，解得t1=，t2=- (不合题意，舍去) ；
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x=t时，m=-t2 +6t-5，
当x=t+3时，n=-(t+3)2 +6(t+3)-5=-t2 +4，
∴ m-n=-t2+6t-5-(-t2 +4)=6t-9，
∴6t-9=3，解得t=2 (不合题意，舍去)，
综上所述，1=3-或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】(1 )把解析式化成顶点式即可解答；
(2)根据二次函数的性质，结合x的范围分析即可求得函数的最大值和最小值；
(3)分三种情况讨论，①当t+3<3时，即t<0，y随着x的增大而增大，②当0≤t<3时，③当t≥3时，f分别根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n的表达式，从而根据m- n= 3构建关于t的方程，解方程即可解答.
24．（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，即，
解得x1=，x2=(不合题意，舍去)；
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
1 / 1浙江省嘉兴市2021年中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）
1．（2021·嘉兴）2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（　　）
A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108
2．（2021·嘉兴）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·嘉兴）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．x＝ ﹣1 B．x＝ +1 C．x＝3 D．x＝ ﹣
4．（2021·嘉兴）已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝ 的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2
5．（2021·嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
6．（2021·嘉兴）5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是 ℃
D．4日至5日最高气温下降幅度较大
7．（2021·嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
8．（2021·嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛.901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝20 D． ﹣ ＝20
9．（2021·嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）
A． B． C． D．4
10．（2021·嘉兴）已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． ≤ B． ≥ C． ≥ D． ≤
二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．（2021·嘉兴）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解　 　．
12．（2021·嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是　 　．
13．（2021·嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　 　．
14．（2021·嘉兴）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，则AH的长为　 　．
15．（2021·嘉兴）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为　 　．
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
16．（2021·嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是　 　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．（2021·嘉兴）
（1）计算：2﹣1+ ﹣sin30°；
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
（2）化简并求值：1﹣ ，其中a＝﹣ ．
18．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．（2021·嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
20．（2021·嘉兴）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”，80米～100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
21．（2021·嘉兴）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如下统计图（不完整）：
青少年视力健康标准
类别 视力 健康状况
A 视力≥5.0 视力正常
B 4.9 轻度视力不良
C 4.6≤视力≤4.8 中度视力不良
D 视力≤4.5 重度视力不良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
22．（2021·嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）
（1）求点D转动到点D′的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
23．（2021·嘉兴）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
24．（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解： 55000000 = 5.5×107 ，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数-1.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得：俯视图的上面是两个小正方形，下方是一个正方形，而左边是一个正方形，右边是两个正方形，
故答案为：C.
【分析】视线由上向下看物体在水平面所得的视图为俯视图，然后分别判断即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的认识；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 （ ﹣1 ）2=3-2 为无理数，不符合题意；
B、 （ +1 ）2=3+2 为无理数，不符合题意；
C、∵ （3 ）2= 18为有理数，∴该命题为假命题，符合题意；
D、（ ﹣ ）2=5-2为无理数，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别计算各项的x2的值，看其是否是有理数即可判断.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=2>0，∴y随x的增大而减小，
当x>0时，图象在第一象限，y>0，
∴ y2＜y1＜0 ，
当x<0时，图象在第三象限，y<0，
y3 >0，
∴ y2＜y1＜0＜y3 ，
故答案为：A.
【分析】反比例函数 y＝ ，当k>0时，图象经过一三象限，y随x的增大而减小，当x>0时，图象在第一象限，y>0，当x<0时，图象在第三象限，y<0，根据性质即可比较出大小.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠的性质可知CA = AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴AB=BD=AC=CD，
∴四边形BACD是菱形，
故答案为：D.
【分析】对折即根据轴对称得到的图形，由对折的性质即可得出CA=CB，最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，从而得出AB=BD=AC=CD，根据菱形的判定定理即可判断.
6．【答案】A
【知识点】分析数据的集中趋势
【解析】【解答】解：A、∵23<25<26<27<30<33=33，处于中间的是33，∴中位数为27，错误；
B、33℃出现2次，次数最多，为众数，正确；
C、平均数=℃，正确；
D、∵33-23=10，∴4日至5日最高气温下降幅度较大 ，正确；
故答案为：A.
【分析】分别求出中位数、众数、平均数和每日气温降幅，然后判断即可.
7．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵r=2，∴OA=3>r，∴A点在圆外，
∵OB=2=r，∴B点在圆上，
∴当OB⊥AB时，AB与 ⊙O 相切，当OB与AB不垂直时，AB与 ⊙O相交，
故答案为：D.
【分析】先根据点与圆的位置关系判断出A在圆外，B在圆上，然后根据直线与圆的位置关系分两种情况分析即可.
8．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】 设荧光棒的单价为x元， 则缤纷棒的单价为1.5x，
∴缤纷棒的数量= ， 荧光棒的数量=，
∴ ﹣ =20 ,
故答案为：B.
【分析】 设荧光棒的单价为x元， 则缤纷棒的单价为1.5x，根据“缤纷棒比荧光棒少20根”的关系构建方程即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接FD、FE，作FH⊥AC于H，FK⊥AB于K，
∴FH为△ABC的中位线，
FH=AB=，HD=AC-AD=-2=，
∴FD==，
同理FE=，
∵G为DE的中点，AG=FG，
∴AG=FG=DG=EG，
∴△DFE为直角三角形，
∴∠DFE=90°，
∴DE=FD=×=，
故答案为：A.
【分析】连接FD、FE，作FH⊥AC于H，FK⊥AB于K，利用中位线定理求出FH，再利用线段间的和差关系求出HD，同理求出EF，得出FD=EF，然后利用直角三角形斜边上中线的性质得出△DFE为等腰直角三角形，则DE的长可求.
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，∴-3a-4=b，
∴2a-5b=2a-5（-3a-4）=17a+20≤0，
∴a≤-，
∴=≤-3+=，
故答案为：D.
【分析】 根据点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上， 把-3a-4=b代入2a﹣5b≤0得出a的范围，再求的范围即可.
11．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：令x=2，则 2+3y＝14，
∴y==4，
∴ 是方程的解，
故答案为： （答案不唯一） .
【分析】令x=2，代入 x+3y＝14求出y值，则可得出该一元一次方程的一个解.
12．【答案】（4，2）
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，
∴点G的坐标为（4，2），即为位似中心，
故答案为： （4，2） .
【分析】根据位似图形的性质，分别连接OA、EC、DB交于一点G，即为位似中心，读出坐标即可.
13．【答案】n2-(n-1)2
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：当n=1时，1=12-02=12-（1-1）2，
当n=2时，3=22-12=22-（2-1）2，
当n=3时， 5＝32﹣22=32-（3-1）2，
…
∴第n个等式为：2n﹣1=n2-(n-1)2 ，
故答案为： n2-(n-1)2 .
【分析】先根据n=1，2，3列出等式，据此得出规律2n﹣1=n2-(n-1)2 .
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在Rt△BAC中，
AC=，
∵ ABCD ，
∴OA=AC=，
∴OB=，
∴OA×AB=OB×AH，
∴AH=，
故答案为： .
【分析】在Rt△BAC中，根据勾股定理求出AC，然后由平行四边形的性质得出OA，再由勾股定理求出OB，最后利用等积法列式求出AH即可.
15．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8, 6时，田忌的马按5，9, 7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方的马对阵中，共有6种情况，只有1种对阵情况田忌会赢，
∴田忌能赢得比赛的概率= ，
【分析】根据题意列出所有等可能出现的结果数，由于田忌赢得比赛的结果只有1种，根据概率公式计算即可.
16．【答案】；
【知识点】点到直线的距离；扇形面积的计算；轴对称的性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过点B作BH⊥AC于H点，
∵∠BAC＝30°，
∴AH=ABcos30°=2×=，BH=ABsin30°=2×=1，
∵∠BCH = 45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=1，
∴ AC=AH+CH=A'C=1+，
当CA'⊥AB时，CK最短，而A'C=AC为定值，则点A'到直线AB的距离最大，
设CA'交AB的延长线于K，
在Rt△ACK中，
CK=ACsin30°=（1+）=，
∴A'K = A'C -CK= 1+-=，
如图2，
当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC
=-2××（1+）×1
= ，
故答案为： ， .
【分析】先找出点A′到直线AB距离的最大值点，如图1，过点B作BH⊥AC于H，根据点到直线的距离最小，结合A'C为定值，则知这时A'K为最大，解直角三角形求出CA'，CK，可得结论；如图2可知，当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC，由此列式计算即可.
17．【答案】（1）解：原式=+-
=；
（2）解：原式=
当a= ﹣ 时， 原式= .
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先进行负指数幂的运算、二次根式的化简和代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式和进行有理数的加减运算即可；
（2）先根据分式的运算法则将分式化简，然后代值计算即可.
18．【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
19．【答案】（1）解：如图所示，（答案不唯一）
（2）解：图1菱形面积=×2×6=6；
图2菱形面积=×2×4=8；
图3菱形面积=()2=10.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据四条边相等的四边形是菱形，结合勾股定理作图即可；
（2）先根据勾股定理求出菱形对角线的长，然后根据菱形的面积公式计算即可.
20．【答案】（1）答： y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应；
（2）答：“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；
（3）答案不唯一. 例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力调练，提高成绩.
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）由于y随x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应；
（2）根据图象找出小斌到达30米时的速度即可；
（3）根据图象可知，小斌在80米左右时速度下降明显，针对这个问题提出建议即可.
21．【答案】（1）解：被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数
为：360°x(1- 31.25%4-24.5%- 32%6)=44.1°，
∴该批400名学生2020年初视力正常人数= 400- 48-91-148=113 (人) ；
（2）解：该市八年级学生2021年初视力正常的人数= 2000×31.25% = 6250（人），
这些学生2020年初视力正常的人数=2000×= 5650（人），
∴增加的人数=6250- 5650=600（人），
∴该市八年级学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了600人；
（3）解：该市八年级学生2021年初视力不良率= 1-31.25%=68.75%，
∵68.75%<69%。
∴该市八年级学生2021年初视力不良率符合要求.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】(1)利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解，抽查的人数减去其余状况的人数即知该批400名学生2020年初视力正常人数；
(2)分别求出2021、2020年初视力正常的人数，然后求差即可求解.
(3)利用1 - 31.25%即可得出该市八年级学生2021年视力不良率，然后判断即可.
22．【答案】（1）解：如图3，∵BD'∥EF， ∠BEF= 108°，
∴∠D'BE= 180°-∠BEF=72°，
∵∠DBE= 108°，
∴∠DBD'= ∠DBE-∠D'BE= 108°-72°= 36°，
又∵BD=6，
∴点D转动到点D’的路径长==（cm）；
（2）解：如图4，过点D作DG⊥BD于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
DG=BDsin36°≈3.54，
EH=BEsin72°≈3.80，
∴DG+ EH=3.54+3.80=7.34≈7.3，
又∵ BD'∥EF，
∴点D到直线EF的距离约为7.3cm.
【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠D'BE，然后根据角的和差关系，结合旋转的性质求出旋转角∠DBD'的大小，然后根据弧长公式计算即可；
（2）过点D作DG⊥BD于点G，过点E作EH⊥BD于点H，根据三角函数的定义分别求出DG和EH，然后根据线段的和差关系即可求出结果.
23．【答案】（1）解：y=-x2 +6x-5=-(x-3)2+4，
∴顶点坐标为(3，4)；
（2）解：∵顶点坐标为(3， 4)，∴当x=3时，y最大 =4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，当x=1时，y最小值=0，
：当3∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
（3）解：当 t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3<3时，即t<0，y随着x的增大而增大，
当x=t+3时，m=-(t+3) +6(t+3)-5=-t2+4，
当x=t时，n=-t2+6t-5，
∴m-n=-t2 +4-(-t2+6t-5)=-6t+9，
∴-6t+9=3，解得t=1 (不合题意，舍去)；
②当0≤t<3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m=4，
ⅰ）当0≤t≤时，在x=t时，n=-t2+6t-5，
∴m-n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9，
解得t1=3-，t2=3+(不合题意，舍去) .
ⅱ)当m-n=4-(-t2 +4)=t2 ，
∴t2 =3，解得t1=，t2=- (不合题意，舍去) ；
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x=t时，m=-t2 +6t-5，
当x=t+3时，n=-(t+3)2 +6(t+3)-5=-t2 +4，
∴ m-n=-t2+6t-5-(-t2 +4)=6t-9，
∴6t-9=3，解得t=2 (不合题意，舍去)，
综上所述，1=3-或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】(1 )把解析式化成顶点式即可解答；
(2)根据二次函数的性质，结合x的范围分析即可求得函数的最大值和最小值；
(3)分三种情况讨论，①当t+3<3时，即t<0，y随着x的增大而增大，②当0≤t<3时，③当t≥3时，f分别根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n的表达式，从而根据m- n= 3构建关于t的方程，解方程即可解答.
24．【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，即，
解得x1=，x2=(不合题意，舍去)；
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
1 / 1

展开更多......

收起↑