资源简介

考点06 导数及其应用
1．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】
方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，其物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度。
函数的极大值不一定大于极小值。
在给定的一个区间上函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点。
1．函数的平均变化率为
注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；
函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
5、常见的函数导数
函数
导函数
0
6、常见的导数和定积分运算公式:若，均可导（可积），则有：
和差的导数运算
积的导数运算
特别地：
商的导数运算
特别地：
复合函数的导数
微积分基本定理

（其中）
和差的积分运算
特别地：
积分的区间可加性
7.用导数求函数单调区间的步骤:
①求函数f(x)的导数
②令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
8.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数
(3)求方程=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
9.利用导数求函数的最值的步骤:求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在上的极值；
⑵将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
1．（2021·河南高三其他模拟（文））函数在上的最小值为（ ）
A． B．-1 C．0 D．
2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三月考（文））已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·福建高三三模）已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，其中，当时，；又函数在上单调递增，则实数的最大值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
7．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
8．（2021·四川德阳市·高三二模（文））已知函数，若，，且在上恰有一个最大值点，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））当时，恒成立则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（文））设函数，则下列说法错误的个数是（ ）
（1）；（2）的最大值为；
（3）在单调递增；（4）在单调递减.
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2020·安徽高三其他模拟（文））记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·四川高三月考（文））设函数，已知且，若的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．2
13．（2021·宁夏银川市·银川二中高三三模（文））已知函数，.对于任意，且，都有.则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
14．（2021·全国高三其他模拟（文））若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2012·浙江高考真题（文））设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A．若ea+2a=eb+3b，则a＞b
B．若ea+2a=eb+3b，则a＜b
C．若ea-2a=eb-3b，则a＞b
D．若ea-2a=eb-3b，则a＜b
16．（2011·山东高考真题（文））曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15
17．（2019·全国高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．
18．（2016·四川高考真题（文））设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P?2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
19．（2018·全国高考真题（文））设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
20．（2017·山东高考真题（文））若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
1．B
【分析】
求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.
【详解】
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：B.
2．D
【分析】
先求得导函数,根据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.
【详解】
当时,
所以在点处的切线方程,由点斜式可得
化简可得
故选:D
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.
3．B
【分析】
求得函数的导数，分和两种情况讨论，利用函数的单调性与极值，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
当时，，在R上单调递增，只有一个交点，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
要使得函数的图象与x轴有三个交点，
则满足，解得，
且恒成立．
所以，即实数的取值范围是．
故选：B.
4．C
【分析】
令，利用导数求得在上单调递增，根据，得到，进而得到大小关系，得到答案.
【详解】
令，则，
对于任意，可得，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即，
所以，
所以，，.
故选：C．
5．A
【分析】
根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】
解：∵，
∴，
∴函数关于对称，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，则是增函数，
∵，
∴，
∴，得，
故选：A.
【点睛】
根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.
6．D
【分析】
根据已知条件及的单调性，确定，的值，将在区间上单调递增转化为恒大于0，通过对该含参方程的求解即可．
【详解】
解：当时，在区间上单调递增，
，
，，
，，
即，
，，
在区间上单调递增，
在上恒成立，即．
令，
求导可得，
，
，
，
恒成立，
在区间单调递减，
，即，即，
的最大值为，
故选：．
7．C
【分析】
求导判断函数的单调性，但由于不容易判断正负，所以需要二次求导来判断.
【详解】
因为，所以，
令，
，
因为，所以，即，故，
所以在上单调递减，
又因为， ，
所以存在唯一的，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）有极大值，无极小值.
故选：C.
8．A
【分析】
先利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，求出函数的周期，结合题意列出不等关系，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
其中，
可得函数的最小正周期为，
又由，且在上恰有一个最大值点，
所以，解得，
故选：A.
9．D
【分析】
令，利用参变量分离法得出，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
因为，令，则，所以，，可得，
令，则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则，即，
所以，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，则，.
故选：D.
10．B
【分析】
直接利用三角函数的关系式的变换，函数的导数的应用，函数的导数和函数的单调区间的关系的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：函数，
对于（1），故（1）正确；
对于（2），令，所以，
则时，不单调，；时，，函数单调递减，
当时，，所以的最大值，故（2）（3）错误，（4）正确．
故选：．
11．A
【分析】
与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．
【详解】
由函数，，得，，
设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，
即，得，
由于函数与有且只有一个“真实点”，
从而只有一解，故，解得b=0，此时，．
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．
12．A
【分析】
令，得到.令，则，分类讨论函数的单调性，即可求得.
【详解】
令，由图象可知.
因为，则，，
得，，
所以.
令，
则，
∴当时，在上单调递减，
所以，
解得；
∴当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，舍去.
综上可得.
故选A.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性进而求最值问题，涉及分段函数，分类讨论思想，转化思想，令，将表达为t的函数是关键的一步.
13．C
【分析】
根据已知不等式的特征，判断两个函数的单调性，结合导数，通过构造函数进行求解即可．
【详解】
因为，所以同号，因此
与的单调性相同，
因为，所以函数单调递增，因此也单调递增，
，
因为是增函数，故恒成立．
即恒成立．
，则，因为
故单调递增，
故最小值为．故，则的最大值是
故选：C
【点睛】
方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
14．C
【分析】
将方程根的问题转化为两个函数图像交点问题，分离参量然后运用导数判定函数的单调性，数形结合，求出满足条件的取值范围.
【详解】
由已知可得，
令则，
当时，则在上单调递增，
当时，则在[0，2)上单调递减，在上单调递增，
作出函数h(x)的大致图像如图所示，则有当或时，原方程恰有2个不同的实根，
令，，当单调递减且恒小于0，，当时函数单调递增，且，
故实数a的取值范围为.
故选：C
【点睛】
方法点睛：解答方程根的问题可以将其转化为两个函数交点问题，先分离参量，然后分别得到两个函数的图像或者单调性，最后求解出满足题意的结果，较为综合.
15．A
【详解】
若，必有．
构造函数：，则，
则恒成立，
故有函数在x＞0上单调递增，
所以a＞b成立．故选A．
16．C
【详解】
y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.
17．C
【分析】
先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】
当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．
【点睛】
本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
18．A
【详解】
试题分析：设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，即．分别令得又与的交点为，故选A．
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
19．D
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
20．A
【详解】
对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A.
【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．
(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．

展开更多......

收起↑