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3.2 双曲线

1、双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c，则集合P为两条射线；
(3)若a>c，则集合P为空集.
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1
(a>0，b>0) －＝1
(a>0，b>0)
图　形

性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
3、注意：
（1）过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
（2）离心率e＝＝＝
（3）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
题型一 轨迹问题
例1　到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意直接得轨迹为两条射线．
【详解】
∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，
而|F1F2|＝6，
∴满足条件的点的轨迹为两条射线．
故选B．
已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．
【详解】
由题意画图如下
可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，
那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
当如下图时，
则|PN|﹣|PM|=（|PB|-|NB|）﹣（|PA|-|AM|）=|MA|﹣|NB|=4﹣2=2＜|MN|，
又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，
所以点P的轨迹方程为．
故选A．
题型二 双曲线标准方程
例 2　顶点间的距离为6，渐近线方程为的双曲线的标准方程为________.
【答案】或.
【解析】
【分析】
先确定a的值，再分类讨论，求出b的值，即可得到双曲线的标准方程．
【详解】
由题意2a=6，∴a=3．
当焦点在x轴上时，∵双曲线的渐近线方程为,
∴
∴方程为；
当焦点在y轴上时，∵双曲线的渐近线方程为，
∴
∴方程为．
故双曲线的标准方程为：或.
已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
依题意，设所求的双曲线的方程为.
点为该双曲线上的点，
.
该双曲线的方程为：，即.
故本题正确答案是.
题型三　双曲线的概念及应用
例 3　已知双曲线的左右焦点分别是，点是的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则（ ）
A．随点变化而变化 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出图形，由几何知识可知，，即可求出．
【详解】
如图所示：延长F2M交PF1于D
由几何知识可知，垂直平分，而，
所以．
故选：C．
已知定点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由是圆上任意一点,可得，为的中点可求，结合垂直平分线的性质可得，从而可得为定值，由双曲线的定义即可得结果.
【详解】
如图，当点在轴左侧时，连接，，则，所以．
结合为线段的垂直平分线，可得，
所以．
同理，当点在轴右侧时，．
故点的轨迹是双曲线，其方程为．
故选：B
题型四　渐近线问题
例 4　设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为__；渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的方程为，将点代入即可求出双曲线方程，再求出渐近线方程；
【详解】
解：设双曲线的方程为，将点代入上式，得，
的方程为，其渐近线方程为．
故答案为：；
已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为 ．
【答案】2或
【解析】
试题分析：将焦点在x轴时
当焦点在y轴时
题型五　离心率
例 5　已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
求出直线的方程，利用点到线的距离公式，得到、、的方程，即可求出离心率．
【详解】
由题意，设，，则直线的方程为：，
因为以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，
故原点到直线的距离为，即两边同时平方得
故答案为
设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
题型六　焦点三角形
例 6　设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，
设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在中，
在中,
题型七　直线与双曲线
例 7 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解.
【详解】
解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，
化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知
即解得＜k＜－1.
设A，B分别为双曲线 (a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．
【答案】（1）；（2）t＝4，点D的坐标为(4，3).
【解析】
【分析】
（1）由双曲线的实轴长得a的值，再由焦点到渐近线的距离可得＝，解方程可得双曲线的方程；
（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐标化可得：x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再由直线与双曲线联立得x2－16x＋84＝0，结合坐标关系利用韦达定理即可求解.
【详解】
(1)由题意知a＝2.
∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0.
∴＝.
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴解得b2＝3.
∴双曲线的方程为.
(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0.
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.
∴∴
由，得(16，12)＝(4t,3t)．
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
题型八　数形结合法
例 8 若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比的斜率大，找到的关系，再求离心率的范围.
【详解】
双曲线的焦点在轴，一条渐近线方程为，
这条渐近线比直线的斜率大，即，．
故选：C.
若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，然后由直线与双曲线的左、右两支各有一个交点利用数形结合法求解.
【详解】
当直线与双曲线的渐近线平行时，，
此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点，如图所示：
因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，
所以的取值范围为，
故选：D.
题型九　极限法
例 9 已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
确定，在直角中得到，即，计算得到答案.
【详解】
若是锐角三角形，则
在直角中，，，
即，所以得，又，所以
故选：
1、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程表示双曲线，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，方程表示双曲线，则满足，
即，解得，即的取值范围是.
故选：A.
2、已知，则动点的轨迹是（　）
A．一条射线 B．双曲线右支 C．双曲线 D．双曲线左支
【答案】A
【解析】
【分析】
根据可得动点的轨迹.
【详解】
因为，故动点的轨迹是一条射线，
其方程为：，故选A.
3、若实数满足，则曲线与曲线的（ ）
A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
，则，，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，
双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，
焦距为，离心率为，
因此，两双曲线的焦距相等，
故选D.
4、若直线y＝2x与双曲线 (a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1， ] D．[，＋∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的渐近线方程,由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率 ,再由离心率可得结论.
【详解】
双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为，
由双曲线与直线有交点知，应有，
故，故选B.
5、已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为，则的周长最小为_________，此时其面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，由双曲线的定义可得，再由、、三点共线可求得周长的最小值；求得直线的方程，将该直线的方程与双曲线的方程，求得点的坐标，由此可求得的面积.
【详解】
设双曲线的左焦点为，
由双曲线方程可知，，故、.
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而的周长为．
因为为定值，
所以当最小时，的周长最小．
由图可知，此时点为线段与双曲线的交点，
则的周长为．
由题意可知直线的方程为．
由消去，得，解得或（舍去），
所以．
故答案为：；.
6、已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】
【分析】
通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.
【详解】
如图，
由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
7、若关于x,y的方程表示的是曲线C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1②若C为双曲线,则t>4或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则.
其中正确的命题是_____.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
【答案】②
【解析】
对于①，若C为椭圆，则有，解得且．所以①不正确．
对于②，若C为双曲线，则有，解得t>4或t<1，所以②正确．
对于③，当时，该曲线方程为，表示圆，所以③不正确．
对于④，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则，解得，所以④不正确．
综上只有②正确．
答案：②
8、已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出双曲线C渐近线方程，焦点，的面积即可判断.
【详解】
A.代入双曲线渐近线方程得,正确.
B.由题意得，则以为直径的圆的方程
不是，错误.
C.，渐近线方程为，距离为1，正确.
D. 由题意得,设，根
据，解得，，则
的面积为1.正确.
故选：ACD.
9、在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
【解析】
分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此
10、已知双曲线C：的焦距为4，且过点．
(1)求双曲线方程和其渐近线方程；
(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1) 双曲线方程为，其渐近线方程为;（2）或
【解析】
【分析】
(1) 由题意得 ,解方程组即得双曲线的方程，再写出其渐近线方程.(2) 由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0得 ,解之即得实数的值，再利用数形结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】
(1)由题意得 ,解得
∴双曲线方程为，其渐近线方程为.
(2)由 ,得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
由题意得 ,
∴k2＝7，∴k＝ .
当3－k2=0时，直线l与双曲线C的渐近线平行，即时，直线l与双曲线C只有一个公共点，∴或.

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