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2.1 直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
（3）范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2、直线的斜率
（1）定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝
（2）斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
3、（1）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0 0<α<
<α<π
k 0 k>0 不存在 k<0
（2）直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：
4、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2。特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
（2）两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直
题型一 斜率与倾斜角
例1　已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由两点坐标，求出直线的斜率，利用，结合倾斜角的范围即可求解.
【详解】
设直线AB的倾斜角为，
因为，
所以直线AB的斜率，即，
因为，所以.
故选：A
若直线的倾斜角为，则=（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据倾斜角的定义判断即可；
【详解】
解：直线，垂直于轴，故倾斜角为
故选：C
题型二 斜率的范围求解
例 2　设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】
画出图形分析，即可得出或，求出即可.
【详解】
如图，要使直线与线段相交，则应满足或，
，，
或.
选：A.
已知点、、，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率k≥kBC或，进而求解即可
【详解】
如图所示：∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或，
∴直线l的斜率 或，
∴直线l斜率k的取值范围：，
故选：C．
题型三 位置关系
例 3　若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
求出坐标，由向量共线可得关于的方程，进而可求出的值.
【详解】
由题意得，与共线，所以，
解得．经检验知，符合题意，
故选:B．
已知直线的倾斜角为60°，直线经过点，，则直线，的位置关系是
【答案】垂直
【分析】
根据斜率的定义以及斜率的坐标公式分别求出直线，的斜率，即可判断出直线，的位置关系．
【详解】
因为，，所以，即直线，的位置关系是垂直．
题型四 判断图形
例 4　已知四边形的顶点，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
【答案】D
【分析】
求出四条边所在直线的斜率，可判断它们是矩形．
【详解】
因为，所以.
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形.
又因为，所以.
所以四边形为矩形.
以为顶点的三角形是( )
A．以A点为直角顶点的直角三角形 B．以B点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】
利用斜率公式求出的斜率，可得，进而可得结果.
【详解】
因为，
，
为直角，故选A.
1、下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】D
【分析】
根据倾斜角的概念逐个判断即可得出结果.
【详解】
对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误；
对于B，直线的倾斜角的取值范围是，B错误；
对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为，C错误；
对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如时，斜率不存在，D正确.
故选D.
2、已知直线经过两点，，则直线的斜率为________.
【答案】3
【分析】
直接利用斜率公式求解.
【详解】
因为直线经过两点，，
所以,
所以直线的斜率为3
故答案为：3
3、过点和（）的直线的倾斜角的范围是________
【答案】
【分析】
求出直线的斜率，由利用正切函数的性质得倾斜角的范围．
【详解】
由题意直线的斜率为，
设的倾斜角为，则，又，∴．
故答案为：．
4、若不同的两点与关于直线对称，则直线的倾斜角为( )
A．135° B．45° C．30° D．60°
【答案】B
【分析】
利用两点连线斜率公式求得；根据对称关系可知直线与垂直，可得，从而求得；根据直线斜率与倾斜角的关系可得到结果.
【详解】
由题意得：
关于直线对称 直线与垂直
，则 直线的倾斜角为
本题正确选项：
5、下列各对直线不互相垂直的是　(　　)
A．l1的倾斜角为120°，l2过点
B．l1的斜率为-，l2过点
C．l1的倾斜角为30°，l2过点)
D．l1过点，l2过点
【答案】C
【详解】
选项A，l1的倾斜角为120°，l2过点，，
故两直线垂直；
选项B，l2过点，kPQ=．故两条直线垂直．
选项C.，，所以l1不与l2垂直.
选项D，l1过点，，
l2过点，kPQ=，故两条直线垂直．
故选：C．
6、已知点，，直线过点且与直线有交点，则直线的斜率的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据两直线不平行可得到结果.
【详解】
若与直线有交点，则直线与直线不平行，
又，，即的取值范围为.
故答案为：.
7、已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3).若△OAB为直角三角形，则必有（ ）
A．b=a3 B．b=a3+
C．(b-a3)=0 D．|b-a3|+=0
【答案】C
【分析】
根据题意，分O为直角顶点、A为直角顶点、B为直角顶点三种情况，结合斜率关系分别求出满足的关系式即可求解.
【详解】
若O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若A为直角顶点，则b=a3≠0；
若B为直角顶点，根据斜率关系可知a2·=-1(a≠0)，所以a(a3-b)=-1，即b-a3-=0；
以上两种情况皆有可能，所以必有(b-a3)=0成立.
故选：C
8、过点的直线与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
画出图形，设直线的斜率为，求出和，由直线与线段有交点，可知或，即可得出答案.
【详解】
直线过定点，设直线的斜率为，
∵，，
∴要使直线与线段有交点，则的取值范围是或，
即.
故选：D.
9、若过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】
由题意可得，故有，由此求得实数的值.
【详解】
过两点，的直线的倾斜角为，
则有，
即，
即且，
解得，
故选：D.
10、已知直线经过，两点，那么直线的倾斜角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】
首先根据直线上的两点计算斜率，再根据，求倾斜角.
【详解】
根据斜率公式可知，即，
，.
故选：C

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