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高一暑假数学第4讲
数与代数式
高一暑假数学第4讲
数与代数式
很多初中的知识与能力，还有一些在初中要求较低、弱化乃至不讲的知识与方法，在高中会被频繁应用，而且高中不再专门学习，而认为是学生应当具有的基本能力。
在新课程的课程中，这些知识与能力也会进行渗透深化，为同学们理解、掌握高中的知识与方法迁移理解、奠定基础。
1. 数
数是近代数学发展的基础，在此，我们结合数系发展的过程，简单地归纳总结初中学习过的数以及在高中学习中经常会碰到的数的一些性质.
（1）数系的扩充
为了满足人类社会生活和生产实践的需要，“数”的概念一直在不断地扩充.
早在远古时代，人类就开始逐渐认识并从具体事物中抽象形成了自然数（Natural number）值得注意的是，0是第一个自然数，而1， 2， 3， ……又称为正整数（Positive integer）；
所有的自然数组成了一个集合：自然数集N；
在历史上，负数应该算是欠出来的.在借贷中，逐渐产生了负债的概念，人们需要一个与盈利相反意义的量来表示“负债”的概念.为了解决诸如借贷关系等具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，负数（Negative number）就应运而生.
所有的负整数与自然数组成了整数（integer）集Z；
在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数（fraction），而十进制分数的另一种表示方式就是小数（decimal）；
所有的整数和分数的全体组成了有理数（rational number）集Q；
44094404445公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理（即勾股定理），发现了“无理数（irrational number）”，但直到公元前4世纪“无理数”才被正式承认，从而数的概念也就进一步地扩展到了实数.
所有的有理数和无理数的全体组成了实数集R.
（2）整数的整除规律
2的倍数：末位数字是0、2、4、6、8；
3的倍数：各位数字之和是3的倍数；
4的倍数：末两位数字所组成的数能被4整除；
5的倍数：末位数字是0、5；
6的倍数：既能被2整除，又能被3整除；
7的倍数：末三位数字与末三位以前的数字所组成的数之差能被7整除；
8的倍数：末三位数字所组成的数能被8整除；
9的倍数：各位数字之和能被9整除；
现以四位数为例对3的倍数的性质作出证明：
对于一个4位数false，则根据十进制，
falsefalse，
所以当false能被3整除时，false也一定能被3整除.同理，能被数3整除的规律对任意位数的整数都成立.
-63585725例1.1
例1.1
（复旦附中初高衔接教材★★☆☆☆）有个四位数false，它是偶数，4个数字的关系为false，且已知false是5的倍数，false是4的倍数，false是3的倍数，求这个四位数.
【答案】5678
【解答】
解：false是四位数且false是5的倍数，得false，
false且false是4的倍数，得false，即false，
false且false是3的倍数，false，7,8,9三个数中只有7和11相加可以被3整除，故false，
false且false是偶数，所以false.
（3）绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.
即false
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.
两个实数的差的绝对值的几何意义：false表示在数轴上，数false和数false之间的距离.
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.
即false
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.
两个实数的差的绝对值的几何意义：false表示在数轴上，数false和数false之间的距离.
因此对于任意false，false.
0132715例1.2
例1.2
（复旦附中初高衔接教材★★☆☆☆）求绝对值方程false的解集．
【答案】false
【解答】
解法一：
当false时，原方程等价于false，解得false；
当false时，原方程等价于false．解得false，无解；
当false时，原方程等价于false．解得false；
综上所述：false或false．
解法二：几何意义
根据几何意义，在数轴上可得false或false.
091440例1.3
例1.3
（新课程优选★★☆☆☆）
（1）试画出false的图像，并指出当false处于什么范围时，false随false的增大而增大；当false处于什么范围时，false随false的增大而减小.
（2）试画出false的图像，并指出当false处于什么范围时，false随false的增大而增大；当false处于什么范围时，false随false的增大而减小.
【解答】
（1）false时，false随false的增大而减小；
false时，false随false的增大而增大；
（2）false时，false随false的增大而减小；
false时，false随false的变化保持不变；
false时，false随false的增大而增大；
092710例1.4
例1.4
（复旦附中初高衔接教材★★☆☆☆）满足不等式false的false的取值范围是__________.
【答案】false
【解答】
解：
根据几何意义，在数轴上可得falsefalse
085090例1.5
例1.5
（复旦附中初高衔接教材改★★★☆☆）
（1）当false取何值时，false有最小值？这个最小值是多少？
（2）当false取何值时，false有最大值？这个最大值是多少？
（3）求false的最小值.
（4）求false的最小值.
（5）*求false的最小值.
【答案】
（1）当false时，false为最小值；
（2）当false时，false为最大值；
（3）当false时取最小，则false为最小值；
（4）当false时取最小，则false为最小值.
（5）当false时原式最小，最小值为false.
2. 代数式
代数式包括整式、分式和根式. 代数式的变形与求值包含了丰富的技巧和方法.
（1）常用代数公式
整式的加减运算是最基本的.乘法运算包含了众多的乘法公式，除了初中学习过的，我们再补充几个常用的公式.乘法公式逆过来用就是公式法因式分解的依据.
（1）平方差公式 false；
（2）完全平方公式 false；
（3）三数和平方公式 false；
（4）立方和公式 false；
（5）立方差公式 false；
（6）两数和立方公式 false；
（7）两数差立方公式 false．
（1）平方差公式 false；
（2）完全平方公式 false；
（3）三数和平方公式 false；
（4）立方和公式 false；
（5）立方差公式 false；
（6）两数和立方公式 false；
（7）两数差立方公式 false．
092710例2.1
例2.1
（新课程优选★★☆☆☆） 已知false，求：
（1）false；（2）false；（3）false；
【答案】（1）false （2） false （3）false
【解答】
解：false，等式同除以false得.
（1）
（2）
（3）false
0110490例2.2
例2.2
（2017交大附中高一分班考★★☆☆☆）已知false，false，求的值．
【答案】
0200025例2.3
例2.3
（复旦附中初高衔接教材★★★☆☆）若，则的末位数字是________．
【答案】 9
【解答】
解：
.

falsefalse falsefalse
false.
只需关注末位数字，false（false）的末位数字变化依次为：2,4,8,6,2,4,8,6…
所以false的末位为6，所以false的末位数字为9
（2）分式
形如false的式子，若B中含有字母，且false，则称false为分式．
0128905例2.4
例2.4
（新课程优选★★☆☆☆）已知false，求false的值.
【答案】6
【解答】
解：
1）凑配法（长除法）：false
2）换元法：令false，则false，
false
false
false
false.
又false，所以false.
092710例2.5
例2.5
（新课程优选★★★☆☆）设false，试判断false与2的大小
【答案】false
【解答】
解：false
所以false
078105例2.6
例2.6
（复旦附中初高衔接教材★★★☆☆）
（1）试证：false，其中false是正整数；
（2）计算：false；
（3）证明：对任意大于false的正整数false， 有false；
【解答】
（1）证：右边false falsefalse左边 ；
（2）根据第（1）问，原式false ；
（3）证明：根据第（1）问，左边false；
086995例2.7
例2.7
（新课程优选★★★☆☆）
（1）试证明：设false，则false；
（2）计算false .
【答案】：（1）；（2）false ；
随堂练习
1. （新课程优选★☆☆☆☆）计算false.
【解答】
解：
因为false，所以原式false
2. （新课程优选★★☆☆☆）若m为正实数，且false求：
（1）false； （2）false； （3）false；
【答案】（1）11 （2）false （3）false
【解答】
解：（1）false
（2）false，false
（3）false
3. （新课程优选★★★☆☆）设false，求false的最小值.
【答案】false
【解答】
解：根据几何意义，
false时取最小值false

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