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高一暑假数学第5讲
等式与不等式
高一暑假数学第5讲
等式与不等式
数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系和不等关系是最基本的数量关系.判断下列数值的大小关系：
（1）地球的直径与火星的直径；
（2）姚明的身高与郭敬明的身高；
（3）圆的周长与其直径的比值，和无理数π；
1. 等式的性质
最常见的相等关系是数量之间的相等，例如十进制中false与false相等，并可表示为false.用等号“false”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式.
在初中我们已经学过，对于实数而言，等式具有以下性质：
（1）传递性：设false，如果false且false，那么false.
（2）加法性质：设false，如果false，那么false.
（3）乘法性质：设false，如果false，那么false.
（1）传递性：设false，如果false且false，那么false.
（2）加法性质：设false，如果false，那么false.
（3）乘法性质：设false，如果false，那么false.
由上面的性质，当一个等式成立时，在等式两边减去同一个数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立.
-63585725例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）设false，判断下列命题的真假：
（1）如果false，那么false；
（2）如果false，那么false，其中false是正整数；
（3）如果false，那么false；
（4）如果false，那么false.
【答案】（1）真（2）真（3）假（4）真
2. 方程的解集
在初中，我们已经知道：含有未知数的等式称为方程.使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根.
以方程的解所构成的集合称为方程的解集.
以方程的解所构成的集合称为方程的解集.
方程的解和未知数的取值范围有关.同一方程在未知数不同取值范围内求解，其解集不一定相同.例如，方程
false
在自然数集N中的解集为{1}，在有理数集false中的解集为false，而在实数集false中的解集为false.
高中数学中，在未知数没有取值范围限制的情况下，都是在实数集false中求解方程.
0132715例2.1
例2.1
（复旦附中初高衔接教材★★☆☆☆）解关于false的方程的解集：
（1）false
（2）false
【解答】
解：
（1）
false
false
当false时，方程的解集为false；
当false时，方程的解集为false；
当false时，方程的解集为R.
（2）
false时，原方程为false，方程的解集为false；
false时原方程为false，方程的解集为{?12}；
false时，原方程为一元二次方程，
false，
又false，
所以，当false时，false，方程的解集为false，
当false时，false，原方程的解为
{false}
091440例2.2
例2.2
（新课程优选★★☆☆☆）
求方程组的解集：false ；
【答案】（1）{(1+736,23),(1?736,23)}
【解答】
解：false
false解得false，代入false得false，解得false.
故原方程组的解为false或false
3. 一元二次方程根与系数的关系
完成下面表格的填写：
一元二次方程
两根false的值
两根之和
false
两根之积
false
false
false
false
false
false
false
false
思考：如果一元二次方程false的两个实数根分别是false，那么false、false与这个方程的系数之间有怎样的关系？
思考：如果一元二次方程false的两个实数根分别是false，那么false、false与这个方程的系数之间有怎样的关系？
定理 如果一元二次方程false的两个实数根分别是false，那么false，false
定理 如果一元二次方程false的两个实数根分别是false，那么false，false
证明：
法一：
因为一元二次方程false的两个根为false，
所以二次三项式false可以因式分解为
false.
由于false，
从而等式false恒成立.
根据等式两边对应项系数相等，可以得到：
false，false
法二：
直接用求根公式证明.
092710例3.1
例3.1
（复旦附中初高衔接教材★☆☆☆☆）已知false是关于false的方程false的一个根，求方程的另一个根和false的值.
【答案】false
【解答】
解：设方程的另一个根为false
可得false ，
解得false .
085090例3.2
例3.2
（复旦附中初高衔接教材改★★☆☆☆）若false和false分别是一元二次方程false的两根．不解方程求下列各式的值.
（1）false； （2）false ；
（3）false ； （4）false.
【答案】（1）2 （2）12 （3）false （4）false
【解答】
解：根据韦达定理得false
（1）false；
（2）false

（3）false
（4）false
086995例3.3
例3.3
（2021交大附中高二期末改★★★☆☆）已知方程false有两个实根false，false，false．
（1）若false，求实数p的值；
（2）若false，求实数p的值．
【答案】（1）false； （2）false
【解答】
解：
（1）false方程false有两个根false，false，
则由韦达定理知：false，
false，
false或false；
经检验，当false时方程没有实根，所以解为false
（2）当false，false为两个实根，false，即false时，
false，
false，则false，
0111125例3.4
例3.4
（2020上海市嘉定一中高一月考★★★★☆）已知false，false是关于false的方程false的两个实数根，false，false是关于false的方程false的两个实数根，其中false，false是常数，且false，则false______
【答案】2
【解答】
解：
因为false，false是关于false的方程false的两个实数根，
所以false所以false或false，
因为false，false是关于false的方程false的两个实数根，
所以false，
因为false，所以false，
所以false，解得false或false（舍），
所以falsefalsefalsefalse，
所以falsefalse.
故答案为：2
4. 不等式的性质
两个实数之间还有大小关系.对于实数a,b之间的大小关系，可以通过他们的差与零相比较来确定，我们规定：
false
false
这是研究一切不等式的基础.
显然，对于任意给定的两个实数a,b，总成立：
false.
此外，若false或false，就称false大于等于false，记为false；相应的，若false或false，就称false小于等于false，记为false.
大于号false，小于号false，大于等于号false，小于等于号false都称为不等号.用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式.
类比于等式性质，我们可以得到不等式的基本性质.
设false均为实数，
（1）传递性：false.
（1）传递性：false.
证明：
因为false，所以false.
同理由false，得false.
两个正数的和是正数，
所以false，
即false.
（2）加法性质：false.
（2）加法性质：false.
证明：
因为false，所以false.
于是false，
即false.
（3）乘法性质： false，
false.
（3）乘法性质： false，
false.
证明：
false
因为false，所以false.
当false时，false，所以false；
当false时，false，所以false.
由以上三个性质可以推出：
（4）同向加法性质：false.
（5）倒数性质：false；
false.
（6）乘方性质：false.
（7）开方性质：false.
（8）“浓度”性质：false.
092710例4.1
例4.1
（2020格致中学高一期中★☆☆☆☆）如果false，那么下列不等式中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解答】
解：
A．因为false，所以false，所以false，故错误；
B．因为false，所以false，所以false，故正确；
C．因为false，所以false，所以false，
D．取false，所以false，故错误，
故选：B.
0110490例4.2
例4.2
（1）（2018上海市新川中学高一期中★★☆☆☆）已知false，false，则false的取值范围是__________.
（2）（2019上外附中高一期中★★★☆☆）已知false，则false的范围是__________.
（3）（2020上海中学高一期中★★★☆☆）设实数false满足false，则false的最大值是__________.
【答案】（1）false；（2）false；（3）27
解：
（1）令false
则false,false,
又false①
false,
false②
false①+②得false.
故答案为false
（2）
由题false,故false,false.
故false,false,则false,又false,故false.
故false.
故答案为：false
（3）
false,
当且仅当false，即false时等号成立.
故答案为：27
5. 不等式的解集
在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.
一个不等式的解得全体组成的集合称为此不等式的解集
在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.
一个不等式的解得全体组成的集合称为此不等式的解集
求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式.将多个含有同样未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.解不等式组就是求解不等式组中所有不等式的解集的交集.
0200025例5.1
例5.1
（新课程优选★★☆☆☆）设false，解不等式组false
【解答】
解：
原不等式组等价于false，
当false时，解集为false；
当false时，解集为false.
解不等式以及不等式与方程、函数的关系将在第6,7次课中详细阐述.
6. 比较法证明不等式
除了解不等式之外，我们还经常需要比较两个代数式的大小，以及证明不等式的成立.根据两个实数大小关系的规定，我们常常用作差比较法法；在两个数同为正数或同为负数时，还可以用作商比较法.
作差法
作商法
原理
要证明false，只需要证明false；
要证明false，只需要证明false；
已知false，要证明false，只需证明false，要证明false，只需证明false；
已知false，要证明false，只需证明false，要证明false，只需证明false；
步骤
作差false恒等变形（因式分解、配方、通分等）false判断符号false得出结论
作商false恒等变形（指数幂运算等）false判断与1的大小false得出结论
0128905例6.1
例6.1
（2017上海中学高一上期中★★★☆☆）已知false，false，false，false，证明下列不等式：
（1）false；
（2）false．
【解答】
证明：
（1）
false
false，
false成立；
（2）false
false，
false．
false．
089535例6.2
例6.2
（新课程优选★★★☆☆）设false且false，比较false与false的大小.
【答案】false
【解答】
解：
false
若false，则false且false，所以false，即false；
若false，则false且false，所以false，即false；
综上知：false.
随堂练习
1. （新课程优选★☆☆☆☆）求方程的解集：false；
【答案】（1）{±2,±3}；
2. （2020上海市松江二中高一期中★☆☆☆☆）如果false，下列不等式成立的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
3. （2019上海市曹杨中学高一期末★★☆☆☆）已知false，false满足false，则false的取值范围是________．
【答案】false
4.（2017交大附中暑假作业★★☆☆☆）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程false的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
【答案】3

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