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高一暑假数学第6讲
方程、函数与不等式
高一暑假数学第6讲
方程、函数与不等式
我们在初中已经学过一次函数，一次函数的图像是一条直线.
作出一次函数false和false的图像如下，观察图像，思考以下问题：
（1）false和false时，false的取值范围分别是多少？和图像中哪个（些）点有关系？
（2）false和false时，false的取值范围分别是多少？和图像中哪个（些）点有关系？
（3）false和false时，false的取值范围分别是多少？和图像中哪个（些）点有关系？
（4）false时，false的取值范围是多少？和图像中哪个（些）点有关系？
（5）false时，false的取值范围是多少？和图像中哪个（些）点有关系？
（6）false时，false的取值范围是多少？和图像中哪个（些）点有关系？
1. 一元一次方程、函数与不等式
（1）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系
一元一次方程falsefalse的解，就是直线false与false轴交点的横坐标，同时也是一元一次不等式false或falsefalse解集的区间端点.
求直线false与false轴交点时，可令false，得到方程false，解方程得false，直线false交false轴于false，false就是直线false与false轴交点的横坐标.
方程
函数
不等式
false
false
false
false（或false）
false
方程的解
函数图像与false轴交点的横坐标
解集的区间端点
解一元一次不等式时，总可以转化为false或falsefalse的形式，所以可以看作：当一次函数false的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
也即一次函数false的图像在false轴上（下）方的所有点的横坐标取值范围.（false时，包括与false轴的交点）
同时，对于false或false（false为常数，false）的形式，还可以分别看作是求一次函数false的图像在一次函数false的图像上（下）方所有点的横坐标取值范围（false时，包括两个图像的交点）.
-63585725例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）一次函数false的图像经过点false，则不等式false的解集是 .
【答案】(1,+∞)
0234950例1.2
例1.2
（新课程优选★☆☆☆☆）若直线false与直线false在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于false的不等式false的解集为 .
【答案】(?∞,?1)
2. 一元二次方程、函数与不等式
（1）二次函数
我们在初中就学过二次函数false和它的图像，在高中乃至高等数学中，二次函数的性质与图像依然有着广泛的应用.
false
判别式false
false的图像与性质
图像
判别式
false
false
false
false
false
开口
false
向上
false
向下
对称轴
false
顶点
false
单调性
false
当false时，false随false增大而减小；
当false时，false随false增大而增大；
false
当false时，false随false增大而增大；
当false时，false随false增大而减小；
最值
false
false时，false有最小值false；无最大值；
false
false时，false有最大值false；无最小值；
0132715例2.1
例2.1
1、（2019杭州西湖区模拟★★☆☆☆）如果函数false在区间false，false上false随false增大而减小，则实数false的取值范围是 .
A．false，false B．false，false C．false，false D．false，false
2、（2020大兴区期末★★★☆☆）若一个二次函数图象关于false对称，当false时其函数值分别记为false，且具有以下关系false，则实数false的取值范围是 ．
【答案】1、false，false； 2、(?∞，0)∪(4，+∞)
【解答】
解：
1、false的对称轴为false，
false在区间false，false上是减函数，开口向上，
则只需false，
即false．
2、由题意可知二次函数false的对称轴为false，
因为false（1），所以false在false上单调严格递增，
所以二次函数false开口向下，在false上单调递增，在false上单调递减．
①当false时：false，解得false，
②当false时：因为false（4）false，
所以false，解得false，
综上所求：false或false，
故答案为：false，false，false．
091440例2.2
例2.2
1、（新课程优选★★☆☆☆）函数false的图象总在false轴上方，则false的取值范围是 ．
2、（2020青浦区期末★★☆☆☆）已知正实数false，false满足false，则false的最大值为　 　．
3、（新课程优选★★★☆☆）当false时，求函数false的最大值（其中false为常数）．
【答案】1、(?4,4)； 2、98 ； 3、ymax=&1,a<0&a2+1,0≤a≤1&2a,a>1
【解答】
解：
1、由题意可得，false恒成立，
所以false，
解得false．
2、false正实数false，false满足false，
false，
则false，
false当false时，false的最大值为false，
3、函数false的对称轴方程为false，画出其草图：
（1）当对称轴在所给范围左侧，即false时，当false时，false；
（2）当对称轴在所给范围之间，即false时，当false时，false；
（3）当对称轴在所给范围右侧，即false时，当false时，false．
（2）一元二次不等式
类似于一元一次不等式，
设false且false，形如false（或false）的不等式统称为一元二次不等式.
设false且false，形如false（或false）的不等式统称为一元二次不等式.
在上一部分，我们已经了解了一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的关系，那么类似的，
对于一元二次不等式false（或false），false，我们可以构建一个二次函数false，那么不等式false（或false）的解集，就等价于函数false的图像在false轴上（下）方所有点的横坐标取值范围（false时包括函数图像与false轴交点的横坐标）.
以false为例：
由函数false的图像可知，图像开口向上，解方程false知图像与false轴交于false，false两点，图像在false轴上方的部分，分别为false和false的时候，所以原不等式的解集为false.

但显然每次画图像会特别繁琐，而且对于含有参数的一元二次不等式，图像也很难确定.我们可以对一般性情况进行总结.
对于false，一元二次不等式false（或false），其对应的二次函数false开口向上，其对应的一元二次方程为false，我们可以得到以下结论：

判别式false
false
false
false
false
的图像
false
的根
两不等实根false
两相等实根false
无实根
false
的解集
false
false
false
false
的解集
false
false
false
false
的解集
false
false
false
false
的解集
false
false
false
false，false时，根据一元二次不等式的不等号方向，可以总结一句口诀：
“大于取两边，小于取中间”
“大于取两边，小于取中间”
而对于false，一元二次不等式false（或false），只要在原不等式两边同乘以false，并改变不等号的方向，就可以转化为false的情况.
因此我们可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
（1）通过移项、不等式两边同乘以false并改变不等号的方向等恒等变形，将原不等式转化为false（false）的形式；
（2）解一元二次方程false；
（3）根据判别式与方程false的根得出原不等式的解集.
092710例2.3
例2.3
（新课程优选★☆☆☆☆）解下列不等式
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false；
（5）false； （6）false；
【答案】（1）[3?54,3+54]；（2）R；（3）R；（4）(?∞,?4)∪(1,+∞)；（5）{3}；（6）?.
【解答】
（1）不等式两端乘以false得：false，
相应的一元二次方程false的两根为：false，
故原不等式解集为false（小于取中间）.
（2）移项得：false，判别式false，故原不等式解集为false.
（3）移项得false，即false，恒成立
故原不等式的解集为false.
（4）变形得：false，相应的一元二次方程false的根为false，故原不等式的解集为false.
（5）整理得：false，即false，故原不等式的解集为false.
（6）判别式false，故原不等式解集为false.
085090例2.4
例2.4
1、（2020黄浦区校级月考★★★☆☆）已知关于false的不等式 false的解集为false，则不等式false的解集为　 　．
2、（2020徐汇区校级月考★★★☆☆）若不等式false的解集是false，则不等式false的解集是　　 ．
【答案】1、(?3,?2)； 2、(?3,2)
【解答】
解：
1、
解法一：
关于false的不等式false的解集为false，
所以关于false的方程false的实数解是false和false，
由根与系数的关系知，
false，
解得false，false；
所以不等式false化为false，
解得false，
所以所求不等式的解集为false．
解法二：false，false，所以不等式两边同除以false得
false，即false，
所以falsefalse，从而falsefalse.
2、
false不等式false的解集是false，
false，且对应方程false的实数根是false和3，
由根与系数的关系，得
false，
即false，false；
false，且false，false，
false不等式false可化为
false，
解得false；
false该不等式的解集为false．
故答案为：false．
086995例2.5
例2.5
1、（2020上海中学期中★★★☆☆）若关于false的不等式false的解集非空，则实数false的取值范围是　 　．
2、（新课程优选★★★☆☆）若不等式false解集为false，则false的范围是 　．
【答案】1、R； 2、(?1,0]
【解答】
解：
1、不等式false可化为false，
由题意知，△false，
即false，
所以false，
解得false．
所以实数false的取值范围是false．
故答案为：false．
2、解：false时，不等式false化为false，解集为false；
false时，不等式false解集为false时，
应满足false，
解得false；
所以实数false的取值范围是false．
0100330例2.6
例2.6
（2020格致中学月考★★★☆☆）已知false，求关于false的不等式false的解集．
【解答】
解：不等式false，可化为false，
当false时，不等式为false，解得false；
当false时，不等式化为false，解得false或false；
当false时，不等式化为false，
令false，即false时，不等式为false，则不等式的解集是false，
当false，即false时，解不等式得false；
当false，即false时，解不等式得false；
综上所述，
当a=0，不等式的解集为(2,+∞)；
当a>0，不等式的解集为(?∞,?1a)∪(2,+∞)；
当?12当a当a=?12，不等式的解集为?．
（3）一元二次方程、函数与不等式
092710例2.7
例2.7
（2018嘉定区期末改 ★☆☆☆☆）函数false的图像与false轴交点的横坐标之和为　 　．
【答案】3
【解答】
解：
函数false的图像与false轴交点的横坐标即方程false的根，
则根据韦达定理得两根之和为3
087630例2.8
例2.8
（2019复旦附中期末★★★☆☆）已知关于false的方程false有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数false的取值范围为　　 ．
【答案】(?3,0)
【解答】
解：
解法一：
设方程的两实根分别为false，由题有
false ，
解得false
解法二：
令false，由题意可得falsefalse，
即：false，整理：false，解得：false，
所以实数false的取值范围为false；
故答案为：false．
0200025例2.9
例2.9
（2019嘉定区校级月考★★★★☆）已知关于false的不等式false有唯一解，则实数false的取值集合为　　 ．
【答案】{1?2,3+132}
【解答】
解：不等式false可化为false；
若false，不等式false可化为false，不满足有唯一解；
若false，则若不等式false有唯一解，
则函数false的最小值为3，
令false，解得false，
即false时，满足不等式有唯一解；
若false，则若不等式组false有唯一解，
则函数false的最大值为2，
令false，解得false，
即false时，满足不等式有唯一解；
综上知，false的取值集合是false，false．
故答案为：false，false．
随堂练习
1. （新课程优选★☆☆☆☆）解下列不等式：
（1）false；
（2）false；
（3）false；
【解答】
解：
（1）不等式false，可化为false，
即false，
其对应的方程的根为7．false
故不等式的解集为false，
故答案为：(?6,7)．
（2）false即false，所以false，或false．
故答案为：(?∞,?2][1,+∞)．
（3）不等式false可化为false，
解得false，
false所求不等式的解集是false，false．
故答案为：(?32,?43)．
2. （2019七宝中学期中★★★☆☆）若关于false的不等式false在false上的解集为false，则实数false的取值范围是　 　.
【答案】a>5
【解答】
解：
不等式false，即false，
因为左边完全平方式false，要使不等式在false上的解集为false，所以false，即false．
故答案为：false．
3. （2018上海中学期中★★★☆☆）若关于false的不等式false的解集是false，则false ．
【答案】1
【解答】
解：关于false的不等式false的解集是false，
false，2是方程false的两个根，
false，false，
解得false，false；
false．
故答案为：1．

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