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高一暑假数学第3讲
常用逻辑概念
高一暑假数学第3讲
常用逻辑概念
1. 命题的概念
在初中，我们已经知道，
定义 可以判断真假的语句叫做命题.
定义 可以判断真假的语句叫做命题.
命题通常用陈述句表述.正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.
-63585725例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？为什么？
（1）带上信仰，去寻找属于你自己的国吧！——宫崎骏 《风之谷》
（2）你是高一学生吗？
（3）false.
（4）个位数字是5的自然数能被5整除.
（5）若两个三角形都是直角三角形，则它们相似.
【答案】(1) (2) (3)不是命题；(4) (5) 是命题，其中(4)是真命题， (5)是假命题.
【解答】
解：
（1）祈使句，无法判定真假，不是一个命题.
（2）疑问句，不是陈述句，无法判断其真假，不是命题.
（3）虽然“false”是陈述句，但是它包含一个可变的对象false，无法判断其真假，因此它不是命题.当false被赋予不同的数时，它就成为不同的命题.例如当false时，“false”是真命题；当false时，“false"是假命题.
（4）这是一个真命题，因为个位数字是5的自然数可写成false的形式，而false，它总能被5整除，所以个位数字是5的自然数能被5整除.
（5）三个角分别为false的直角三角形与三个角分别为false的直角三角形是不相似的，所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题.
0132715例1.2
例1.2
（2019建平中学月考改★★★☆☆）已知命题false：关于false的不等式false的解集为false，且false；命题false：关于false的方程false有两个不相等的实数根．
（1）若命题false为真命题，求实数false的范围；
（2）若命题false和命题false中至少有一个是假命题，求实数false的范围．
【答案】（1）false；（2）false
【解答】
解：
命题false：关于false的不等式false的解集为false，且false，则false，
解得false；
命题false：关于false的方程false有两个不相等的实数根，则false，解得false．
（1）由命题false为真命题，false实数false的范围是false；
（2）由命题false和命题false中都是真命题，则false，解得false．
可得：命题false和命题false中至少有一个是假命题，则false，或false．
false实数false的范围是false．
例1.1中的命题（5）具有“若false，则false”的形式. 在保持含义不变的前提下，例1.1中的命题（4）也可改写为这种形式：
（4）若一个自然数的个位数字是5，则这个自然数能被5整除；
在形如“若false，则false”的命题中，陈述句false称为命题的条件，false称为命题的结论.
命题“若false，则false”是真命题，是指对所有的满足条件false的对象都满足结论false.用集合的语言描述即是：
false满足falsefalsefalsefalse满足falsefalse
所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明，如例1.1中的（4）.
命题“若false，则false”是假命题，是指存在满足条件false的对象，它不满足结论false.
所以，要确定这类命题是假命题，可用处理例1.1中（5）的方法，举一个满足条件false而不满足结论false的例子就可以了.这种方法即举反例.
定义 如果命题“若false，则false”是真命题，那么就称false推出false，并用记号“false”，读作“false推出false”.
定义 如果命题“若false，则false”是真命题，那么就称false推出false，并用记号“false”，读作“false推出false”.
也就是说，false表示以false为条件、false为结论的命题是真命题.
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：
若false且false，则false.
这是证明和逻辑推理的基础.
091440例1.3
例1.3
（教材P16例2★☆☆☆☆）将下列命题改写成“若false，则false”的形式，并判断命题的真假.
（1）等腰三角形的两底角相等.
（2）凡是素数都是奇数.
（3）对顶角相等.
【解答】
解：
（1）若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等. 这是一个真命题，在初中时已学过其证明..
（2）若一个数是素数，则这个数是奇数. 这是一个假命题，因为2是素数，但它是偶数.
（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等. 这是一个真命题题，在初中时已学过其证明.
2. 简单的逻辑联结词
将两个命题用“且”、“或”连接起来，可以得到新的命题：
“false且false”：命题false和false都是真命题时，“false且false”为真命题；当false和false中有一个命题是假命题时，“false且false”为假命题. 即：
false满足false且falsefalsefalse满足falsefalsefalsefalse满足falsefalse；
“false或false”：命题false和false中有一个是真命题时，“false或false”是真命题；当false和false两个命题都是假命题时，“false且false”为假命题. 即：
false满足false或falsefalsefalse满足falsefalsefalsefalse满足falsefalse；
“false且false”：命题false和false都是真命题时，“false且false”为真命题；当false和false中有一个命题是假命题时，“false且false”为假命题. 即：
false满足false且falsefalsefalse满足falsefalsefalsefalse满足falsefalse；
“false或false”：命题false和false中有一个是真命题时，“false或false”是真命题；当false和false两个命题都是假命题时，“false且false”为假命题. 即：
false满足false或falsefalsefalse满足falsefalsefalsefalse满足falsefalse；
命题
条件
结论
α
β
α且β
α或β
真假
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
092710例2.1
例2.1
（新课程优选★☆☆☆☆）判断下列两个命题用“且”和“并”联结后所得命题的真假.
（1）false:王安石是文学家，false:王安石是政治家；
（2）false，false；
（3）false是偶数，false不是素数；
【答案】【答案】（1）falsefalsefalse真，falsefalsefalse真；
（2）falsefalsefalse假，falsefalsefalse真；
（3）falsefalsefalse假，falsefalsefalse真；
0110490例2.2
例2.2
（2019建平中学月考★★☆☆☆）已知命题false，命题false，则命题“false或false”为真的运算结果为　　 ．
【答案】false或false
【解答】
解：
根据题意，命题false，当false时，false为假命题；
命题false，解可得false或false，当false且false时，false为假命题；
若命题“false或false”为真，即false、false中至少一个为真，
反之，若命题“false或false”为假，则false、false均为假.
命题false、false都是假命题，则有false，即false且false，
故若命题“false或false”为真，则false的取值范围为false或false；
故答案为：false或false．
3. 充分条件与必要条件
定义 对于两个陈述句false与false，如果false，则称false是false的充分条件，false是false的必要条件.
定义 对于两个陈述句false与false，如果false，则称false是false的充分条件，false是false的必要条件.
若falsefalsefalse且falsefalsefalse，则false是false的充分非必要条件.
若falsefalsefalse 且falsefalsefalse，则false是false的必要非充分条件.
若falsefalsefalse且falsefalsefalse，则false是false的充要条件.
若falsefalsefalse 且falsefalsefalse，则false是false的既不充分也不必要条件.
0200025例3.1
例3.1
（新课程优选★☆☆☆☆）指出下列各命题中，false是false的什么条件：
（1）false：false false：false；
（2）false：false false：false；
（3）false：false false：false；
（4）false：false false：false；
（5）false：false false：false.
【答案】 （1）必要非充分条件；（2）充分非必要条件；（3）充分非必要条件；（4）充要条件；（5）必要非充分条件；
0128905例3.2
例3.2
（新课程优选★☆☆☆☆）
1. 写出false的一个必要不充分条件 ；
2. 写出false>0的一个充分不必要条件 .
【答案】（1）false（答案不唯一）；（2）false（答案不唯一）.
092710例3.3
例3.3
（2020七宝中学期中★★☆☆☆）设false，false，若false是false的充分条件，则false的范围是　 ．
【答案】false，false
【解答】
解：
false，false，
若false是false的充分条件，则false，
故答案为：false，false．
078105例3.4
例3.4
（教材P19练习1.2改★★☆☆☆）
（1）判断“false且false”是“false且false”的什么条件？说明理由；
（2）判断“false”是“false”的什么条件？说明理由；
（3）确定“false”的一个充要条件.
【答案】（1）充要条件；（2）充分非必要条件；
（3）false且false
【解答】
解：
（1）
false且false，false都是正数，可推出false且false；
反之，由false可知false同为正数或同为负数，
同为负数时不可能false，
所以false同为正数，即可以推出false且false，
所以“false且false”是“false且false”的充要条件.
（2）
若false，那么false成立.
即falsefalsefalse
若false，
取false满足false但不满足false
故falsefalsefalse
因此“false”是“false”的充分非必要条件.
（3）
false
再根据（1）可得其一个充要条件为
false且false
086995例3.5
例3.5
（新课程优选★★★☆☆）设false、false、false．证明：false的充要条件是false．
【解答】
证明：
（1）充分性：如果false，
则false
所以false
所以false，false，false．
即false．
（2）必要性：若false．
所以false
所以false
所以false
综上可知：false的充要条件是false．
0106680练习3
练习3
1. （2020虹口区期末★★★☆☆）已知条件false，false，且false是false的必要条件，则实数false的取值范围为　 ．
【答案】false，false
【解答】
解：false条件false，false，且false是false的必要条件，
falsefalse，解得false．
则实数false的取值范围是false，false．
故答案为：false，false．
2. （2020奉贤区期中★★★☆☆）已知“false或false”是“false”的必要非充分条件，则实数false的取值范围是 ．
【答案】false
【解答】
解：
若“false或false”是“false”的必要非充分条件，
则由“false” false “false或false”，
false或false，
解得：false或false，
故答案为：false
3. （新课程优选★★★☆☆）证明：关于false的方程false至少有一个实根的充要条件为false．
【解答】
证明：
false时，方程化为false，解得false，满足条件．
false时，关于false的方程false至少有一个实根的充要条件为△false，解得false，false．
综上可得：关于false的方程false至少有一个实根的充要条件为false．
4. *全称量词与存在量词
思考：下列语句是命题吗？每一项中的①②之间有什么关系？
（1）①false； ②对所有的false，false；
（2）①false是整数；②对任意false是整数；
（3）①false； ②存在一个false，使false；
（4）①false能被2和3整除； ②存在一个false,false能被2和3整除；
容易判断，每一项中的①都不是命题.（1）~（4）每一项中的②分别用短语“对所有的”、“对任意”、“存在一个”、“至少存在一个”对false的取值进行限定，从而使每一项中的②变成了可以判断真假的语句，因此每一项中的②是命题.
全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词；
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题
全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词；
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题
例如，命题“所有的正方形都是矩形”就是全称命题；
存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词；
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词；
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
例如，命题“有一个素数不是奇数”就是特称命题.
081915例4.1
例4.1
（新课程优选★☆☆☆☆）判断下列命题的真假：
（1）任何实数都有算术平方根；
（2）对任意false是无理数false，false是无理数；
（3）至少有一个整数，它既不是素数，也不是合数；
（4）存在false是无理数false，false是无理数；
【答案】（1）假；（2）假；（3）真；（4）真；

5. 命题的否定
命题的否定，表示对原陈述的全盘否定.常见的的否定，例如“false”的否定是“false”，“false”的否定是“false”都比较易得.
原结论
否定形式
是
不是
等于false
不等于false
大于false
小于或等于false
小于false
大于或等于false
那么含有联结词的命题、含有量词的命题又该如何否定呢？
思考下列命题的否定是什么？
（1）2是素数且3是素数；
（2）0是正数或负数；
（3）每一个素数都是奇数；
（4）有些平行四边形是菱形；
（1）“2是素数且3是素数”，需使得“2是素数”与“3是素数”同时成立，原命题为真.因此其否定应是有一个不成立即可，即“2不是素数或3不是素数”；
（2）“0是正数或负数”，正数与负数有一个成立即可得原命题为真，因此其否定应是两个都不成立，即“0不是正数且不是负数”；
（3）“每一个素数都是奇数”，必须每一个都是，那么将其否定只要存在一个不是即可，即“存在一个素数不是奇数”，等价于“存在一个素数是偶数”；
（4）“有些平行四边形是菱形”，有些，意味着有、存在，那么将其否定应该是没有，即“没有平行四边形是菱形”，等价于“所有的平行四边形都不是菱形”.
一般地，对于含有逻辑联结词或量词的命题的否定，有下列结论：
常见结论形式的否定：
原结论
否定形式
原结论
否定形式
false或false
非false且非false
至少有一个
没有
false且false
非false或非false
至多有一个
至少有二个
对所有的false成立
存在false不成立
至少有false个
至多有false-1个
对任何的false不成立
存在false成立
至多有false个
至少有false+1个
086360例5.1
例5.1
1. （2020嘉定区期末★☆☆☆☆）陈述句“false或false”的否定形式是 .
2. （2019嘉定区月考★☆☆☆☆）对任意实数false与false，都有“false成立”的否定形式为 .
3. （2017闵行区校级期中★☆☆☆☆）“存在false，使得false”的否定形式为 .
【答案】
（1）false且false；
（2）存在实数false与false，false成立；
（3）对任意false，false；
6. 反证法
在前面已经提到，要判断命题“若false，则false”是假命题，只要存在一个满足条件false但不满足结论false的对象就行了.
但是要判断命题“若false，则false”是真命题，就需要证明所有满足条件false的对象都满足结论false.但有时直接验证这一点并不是一件容易的事.
084455例6.1
例6.1
（教材P19例5★★☆☆☆）设false证明：若false是偶数，则false也是偶数.
【解答】
证明：
假设结论“false是偶数”不成立，即假设false是奇数. 由false是奇数，可设false.
因为false，
这说明false是奇数，与已知条件false是偶数矛盾.
所以一开始的假设不成立，即false是偶数.
上例的证明方法与以前的证明方法不同，它首先假设结论false不成立（false为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“false为假”是不可能发生的，即结论false是正确的.
这样的证明方法叫反证法.
应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论这一步是十分关键的只有这步表述得对了，接下来的逻辑推理才有意义.
0126365例6.2
例6.2
（教材P20例7★★★☆☆）证明：false是无理数.
【解答】
证明：用反证法证明.
假设false是有理数，则可设false（false，false互素），
（注：一个数是有理数当且仅当它可以表示成两个整数的商 ，如果有公因子，总可以把公因子约掉.）
于是false，两边平方得false.
所以false是偶数，由例1.13知false也是偶数.
于是可设false.将其带入false，
得false，即false，故false是偶数.
同样由例1.13知false也是偶数.
于是false有公因数2，与false互素的假设矛盾.
所以假设不成立，即false是无理数.
0128905练习6
练习6
1. （2020上海中学高一期中★☆☆☆☆）用反证法证明“已知false，求证：“false”时，应假设( )
A．false B．false
C．false且false D．false或 false
【答案】D
2. （2020上海市实验学校高一期中★★☆☆☆）已知false，false．试证明false至少有一个不小于false．
【解答】
证明：
假设false都小于false，即false
则有false ①
而false ②
①与②矛盾
故false至少有一个不小于false．
随堂练习
1．（新课程优选★☆☆☆☆）指出下列各命题中，false是false的什么条件：
（1）false：false false：false；
（2）false：false false：false；
（3）false：false false：false；
（4）false：方程false无实数根 false：false；
（5）false：false false：false或false.
【答案】（1）必要非充分条件；（2）必要非充分条件；
（3）充分非必要条件；（4）充分非必要条件；
（5）必要非充分条件；
【解答】
解：
（1）解方程false可得false或false，
则“false”是“false”的必要非充分条件；
（2）解：当false时，满足false，但false无意义，即充分性不成立，
若false，则false，此时false成立，
即“false”是“false”的必要不充分条件；
（3）若false，则false，且false，则false，
若false，若false，则false，=；
所以false”是“false”的充分非必要条件；
（4）命题false：方程false无实数根，
则△false，解得false．
命题false，解得false．
由false，而由false推不出false．
那么false是false的充分非必要条件．
（5）A={1}，B={2}，false,即false不能推出false；
反之false或false时，false，即false可以推出false.
所以false是false的必要非充分条件.
2.（2019杨浦区校级月考★★☆☆☆）设false；false，false，若false是false的充分不必要条件，则false的取值范围是　 　．
【答案】false，false
【解答】
解：false，false，false，
若false是false的充分不必要条件，
令false，false，false，false
false集合false，
得false
故答案为：false，false．
3.（2020杨浦高级中学高一期中★★★☆☆）若false，且false，求证：一元二次方程false和false中至少有一个方程有实根.
证明：假设上述两个方程中都没有实数根．
则两个方程的判别式false
即false，false，不等式两边同时相加得false，
∵false．
∴不等式等价为false，
这与false矛盾，故假设不成立，即上述两个方程中至少有一个方程有实数根．

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