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高一暑假数学第7讲
分式不等式&绝对值不等式
高一暑假数学第7讲
分式不等式&绝对值不等式
分式不等式
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.那分式不等式又该如何解呢？例如：
-63585725例1.1
例1.1
（教材P43例13改 ★☆☆☆☆）解不等式false.
对应的分式方程是false，解这种分式方程的思路，是通过同乘以分母的公倍式去分母，从而化为整式方程.
很多同学解不等式false时，将这种思路迁移过来.
错解：
false，两边同乘以false，得到false，解得false
但这里出现了一个错误，即对于不等式，两边同乘以一个数时，一定要注意这个数的符号，从而确定不等号的方向要不要改变.
所以，需要改进一下：
解：
false，false是分母，显然不为false，
当falsefalse，即false时，两边同乘以false，不等号方向不变，
得到false，解得false，
此时false.
当false，即false时，两边同乘以false，不等号方向改变，
得到false，解得false，此时无解.
所以原不等式的解集为false.
那有没有更方便的解法呢？
我们先看一种特殊情况：
（教材P43例13 ★☆☆☆☆）解不等式false
【解答】
解：
两个数的商是正数，那么这两个数必然同号，即
false或false，同时还等价于false，
从而将分式不等式转化为一元二次不等式，解得false，即原不等式解集为false.
通过对符号的判断，我们避免了分类讨论，就将分式不等式转化为整式不等式.考虑一般情况，我们有以下结论：
分式不等式
等价形式
false
false
false
false
false
false
false
false
在解分式不等式的时候，一定要注意分母不为false.
再反过来看不等式false，这里不等号的右侧不为false，无法使用上表中的等价形式.我们只需要移项通分之后，转化为上面的等价性质即可.
即：
false，
即原不等式解集为false.

0132715例1.2
例1.2
（2016位育中学高三月考★★★☆☆）解关于false的不等式:false
【解答】
解：
（1）false时，不等式恒成立，解集为false；
false时，不等式化为false，即false且false，
false时，不等式为false且false，∴false，
false时，不等式化为false且false，false，
false时，不等式化为false且false，
false时，false或false，
false时，false或false．
综上不等式解集为：
当false时,false，
当false时,false，
当false时,false，
当false时,false，
当false时,false．
那么不等式两边同乘的思路是不是就不好用了呢？
091440例1.3
例1.3
1、（教材P43例15 ★☆☆☆☆）解不等式：false.
2、（2020行知中学高三开学考★★★☆☆）关于false的不等式false的解集为_________.
3、（新课程优选★★★☆☆）若不等式false对一切实数x均成立，求实数a的范围．
【答案】1、false；2、false； 3、false；
【解答】
解：
1、false，
即false，解得falsefalse.
2、false
首先false，false，
其次由false,falsefalse得原不等式等价于
false且false，false，
解得falsefalse
3、false，
所以false恒成立等价于false恒成立，
即不等式false恒成立，
所以false，
解得false.
092710例1.4
例1.4
1、（2019上海中学期中★★★☆☆）关于false的不等式false解集是false，则false的解集为　 　．
2、（新课程优选★★★★☆）若关于x的不等式false的解集为false，关于x的不等式false的解集为________．
【答案】1、false，false； 2、false
【解答】
解：
1、false不等式false解集是false，
false和2是方程false的两个根，且false，
falsefalse，解得false，
falsefalse即为false，即false，解得false．
故答案为：false，false．
2、解：关于false的不等式false的解集为false，用false替换false
不等式可以化为：false可得false
即false或false
可得false或false
故答案为：false
078105例1.5
例1.5
（2020上师大附中高一期中改 ★★★☆☆）
（1）已知关于false的不等式false的解集是M，若false，则实数false的取值范围_________．
（2）已知关于false的不等式false的解集是M，若false，则实数false的取值范围_________．
【答案】（1）false； （2）false；
【解答】
解：
若3∈M，则有false，解得false或false，
若5?M，则有false或false，解得false.
2. 含绝对值不等式
我们在第4讲已经复习过绝对值的代数意义和几何意义，据此和不等式的性质，我们可以解一些基本的含绝对值的不等式.
根据绝对值的代数意义，false 我们总可以通过对绝对值中的代数式的符号进行分类讨论，从而去掉绝对值，将不等式转化为我们已经熟知的不等式类型再求解.
0133350例2.1
例2.1
（教材P45例19 P46例20 ★☆☆☆☆）解不等式
（1）false； （2）false
【答案】（1）false； （2）false；
【解答】
解：
（1）
false即false时，原不等式化为false，即false，此时不等式的解集为false；
false即false时，原不等式化为false，即false，此时不等式的解集为false；
综上，原不等式的解集为false.
（2）
当false时，原不等式化为false，解得false，此时不等式的解集为false；
当false时，原不等式化为false，即false，恒成立，此时不等式的解集为false；
当false时，原不等式化为false，解得false，此时不等式的解集为false.
综上知，原不等式的解集为false
0110490例2.2
例2.2
（2017宝山区校级期中★★★☆☆）若对任意false，不等式false恒成立，则实数false的取值范围是　 ．
【答案】false，false
【解答】
解：当false时，false恒成立，即false，
当false时，false恒成立，即false，
当false时，false恒成立，即false，
故若对任意false，不等式false恒成立，有false，
故答案为：false，false．
同样的，我们想了解，有没有可以避免分类讨论的办法？
对于一些特殊形式的含绝对值不等式，可以利用绝对值的几何意义或者不等式的性质直接去绝对值.
根据绝对值的几何意义，我们知道，
（1）对于false，false或false；
（2）false表示在数轴上，数false和数false之间的距离.
（1）对于false，false或false；
（2）false表示在数轴上，数false和数false之间的距离.
0187960例2.3
例2.3
1、（新课程优选★☆☆☆☆）解不等式false；
2、（2019普陀区校级月考★★☆☆☆）解不等式false
【答案】1、false； 2、false
【解答】
解：
1、false，
所以false，所以false
2、
falsefalse．
falsefalse 或者false，
移项通分得false 或者false，
解之得false 或false，
故答案为：false．
0186690例2.4
例2.4
1、（2020浦东新区期末★★☆☆☆）若不等式false在false上有解，则实数false的取值范围为　　 ．
2、（2020交大附中高一期中★★★☆☆）已知false恒成立，求a的取值范围.
3、（2015七宝中学高一期中★★★☆☆）false，false，若false，则false的取值范围为　　 ．
【答案】1、false； 2、false； 3、false，false
【解答】
解：
1、false不等式false在false上有解，
false的最小值小于false．
在第4讲我们学过根据绝对值的几何意义求这种绝对值形式的最小值.
可知false的最小值为1，
故false的最小值为1，false，
故false的范围为false．
故答案为：false．
2、根据绝对值几何意义，false的最小值为false
false，解得：false或false，
false的取值范围为false.
3、根据绝对值的意义可得false表示数轴上的false对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
false表示数轴上的false对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1；
故false的最小值为2．
再根据false，可得 只有false，
此时，false，false，false，
故答案为：false，false．
（3）根据不等式的性质，若false均为非负数，则false.而一个数的绝对值总是非负的，且对于任意false，false.
（3）根据不等式的性质，若false均为非负数，则false.而一个数的绝对值总是非负的，且对于任意false，false.
0195580例2.5
例2.5
1、（新课程优选★☆☆☆☆）解不等式false
2、（2020嘉定区期中★☆☆☆☆）不等式false的解集为　　 ．
【答案】1、false； 2、false，false
【解答】
解：
1、由false
得false
即false
解得falsefalse
2、由false知必有false，
不等式false两边同时平方，化简可得false，
解得false，
综上，可得不等式false的解集为false，false．
随堂练习
1.（新课程优选★☆☆☆☆）解下列不等式：
（1）false； （2）false；
（3）false； （4）false；
【答案】（1）false；（2）false；（3）false；（4）false
2.（2019七宝中学期中★★☆☆☆）若关于false的不等式false的解集是false，则false　 　．
【答案】5
【解答】
解：由题意可得，false可转化为false，
由解集是false可得false，false或false，false，
所以false．
故答案为：5．
3.（2020格致中学期中改★★☆☆☆）设不等式false的解集为false，则false　　．
【答案】1．
【解答】
解：由false，得false，
false的解集为false，
false且false，false，false，
所以false

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