资源简介

高一暑假数学第8讲
平均值不等式
高一暑假数学第8讲
平均值不等式
思考：周长一定的情况下，什么样的矩形面积最大？
思考：周长一定的情况下，什么样的矩形面积最大？
对此有过了解的同学知道，是正方形.
假设矩形的周长是false，两个邻边的长度分别为false，false，那么false，矩形的面积false，那么false的最大值是多少？
这里因为false，false是矩形的两个邻边长，所以false.利用消元，false，那么false（false），此时false就可以看做关于false的二次函数.我们之前已经学过怎么求二次函数的最值.
false（false）开口向下，对称轴为false，所以false时false取得最大值，最大值为false，且此时false，即该矩形为正方形.
那么有没有更方便的办法呢？
1. 平均值不等式
在之前的课程中，我们学习了一些不等式的性质求解和证明.在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，统称为基本不等式.本次课将重点学习平均值不等式.
首先来看我们熟悉的完全平方公式：false，我们知道，对于任意一个实数，它的平方总是非负的，所以
false，
256540320040定理 对于任意false，有
false，
当且仅当false时等号成立.
定理 对于任意false，有
false，
当且仅当false时等号成立.
而且取等号的充要条件是false.由此我们可以得到一个常用的不等式：
256540394970定理（平均值不等式） 对于任意的正数false，有
false，
当且仅当false时等号成立.
定理（平均值不等式） 对于任意的正数false，有
false，
当且仅当false时等号成立.
根据上面的不等式，我们可以证明：
证明 因为false，false均为正数，所以
false，
即
false，
当且仅当false时，原不等式两边才相等.
对于正数false，称false是false的算术平均值，并称false是false的几何平均值. 我们以前已经学过算数平均数的概念，所以false可以看作同一个量进行两次测量值的平均. 而false可以理解为，与两邻边长分别为false的矩形面积相等的正方形的边长.
因此平均值不等式可以用语言描述为：两个正数的算数平均值大于等于它们的几何平均值 （在false及false有可能为false时，平均值不等式也显然成立.因此对于任意的非负实数，平均值不等式都成立）.
center234315定理 对于任意false，有
false，
当且仅当false时等号成立.
定理 对于任意false，有
false，
当且仅当false时等号成立.
同样的，我们可以证明：
证明 根据false，有
falsefalse
即
false，
当且仅当false时，等号成立.
-63585725例1.1
例1.1
（教材P51例1改 ★☆☆☆☆）
（1）设false，证明false，并指出等号成立条件.
（2）设false，证明false，并指出等号成立条件.
【解答】
（1）false，所以false，
那么false，
所以false，
当且仅当false，即false时，等号成立.
（2）false，无法直接使用平均值不等式.
考虑到false，所以false，
因为falsefalse，
所以falsefalse，
即false.
当且仅当false即false时，等号成立.
0151765例1.2
例1.2
（教材P52例5★☆☆☆☆）证明：
（1）周长为常数的所有矩形中正方形的面积最大.
（2）面积相同的所有矩形中正方形的周长最小.
【证明】
（1）本题我们在最开始已经用二次函数的思路进行了证明.现在再看一下如何用平均值不等式证明：
假设矩形的周长是false，两个邻边的长度分别为false，false，这里false.那么false，矩形的面积false.则
falsefalse，
当且仅当false，即矩形为正方形时，面积false取得最大值false.
（2）设矩形的面积为false，两个邻边的长度分别为false，false，这里false.那么false，矩形的周长false.则
falsefalse，
当且仅当false，即矩形为正方形时，矩形的周长取得最小值false.
0132715例1.3
例1.3
（1）（新课程优选★★☆☆☆）已知false，求证：false，并说明等号成立条件.
（2）（新课程优选★★★★☆）根据（1）试证明，当false时，false，并说明等号成立条件.
【证明】
（1）false，
falsefalse，
当且仅当false时等号成立，
falsefalse，
当且仅当false时等号成立，
因此false，当且仅当false时等号成立.
（2）false，三个数无法凑对，false无法直接使用平均值不等式，
根据第（1）问，考虑false为四个正数相加，
且false，
由falsefalse，即falsefalse
当且仅当false即false时等号成立.
两边4次方得：false，
所以false，即有false，
当且仅当false时等号成立.
2. 应用平均值不等式求最值
由例1.1，例1.2可知，对于两个正数false，当和false为定值时，乘积false有最大值，而当乘积false为定值时，和false有最小值.
因此我们可以利用平均值不等式false求最值.
首先要确保false；其次，当和false为定值时，乘积false有最大值，而当乘积false为定值时，和false有最小值. 此外，当且仅当false时，才取得最值.
即所谓的“一正二定三相等”.
0133350例2.1
例2.1
1、（新课程优选★★☆☆☆）已知false，求false的最大值为________；
2、（2021宝山区校级月考改★★☆☆☆）则false的最小值为 ；
【答案】1、-4 2、6；
【解答】
1、false，所以false，所以false，
falsefalse，
falsefalse，
所以false.
2、因为false，所以false，所以false，
所以false，
当且仅当false，即false时取等号．
0133350例2.2
例2.2
1、（2020杨高中学高一期中★★☆☆☆）已知false，且满足false，则false的最大值为_________．
2、（教材P60练习B组★★☆☆☆）若false，则false的最小值是_________．
3、（2019七宝中学月考★★☆☆☆）若false，则函数false的最小值为 .
【答案】1、false； 2、1； 3、false；
【解答】
1、falsefalsefalse，当且仅当false即false时等号成立.
2、false，则false，falsefalsefalse
当且仅当false，即false时等号成立.
3、解：false，
函数false，
当且仅当false时取等号．
false函数false的最小值为false．
0200025例2.3
例2.3
1、（新课程优选★★★☆☆）已知false且false，求false的最大值.
2、（新课程优选★★★★☆）已知false且false，求false的最小值.
【答案】1、2； 2、false；
【解答】
1、如果用不等式false（false），取等条件为false，
然而false，故取等条件无法成立.
此时由false，false，得false，
所以falsefalse（false），
所以false时取得最大值2.
2、根据例1.3可知，当false时，false.
故false可看作falsefalse，当且仅当false时等号成立.
注意：虽然将4x拆为其他形式的两部分，例如false，此时false的三项积也为定值，但此时应用平均值不等式时的取等条件为false无法成立.
0168910例2.4
例2.4
1、（2021大同中学高一期末★★☆☆☆）设false、false为正数，且false，则false的最小值为__________.
2、（2020市西中学高一期中★★★☆☆）若false，则false的最小值为__________.
3、（2018市东中学高一期中★★★☆☆）已知正实数false满足false，则false的最小值为__________.
4、（新课程优选★★★☆☆）已知false，且false，则false的最小值是__________.
5、（2020嘉定一中高三月考★★★★☆）若false均为非负实数，且false，则false的最小值为__________.
6、*（2020上海中学高一期中★★★★★）已知实数false满足false且false，若false，则false的最小值是__________.
7、（2019交大附中高一期末★★★☆☆）已知x,false，且满足false，则false的最小值为___________.
【答案】1、4； 2、false； 3、16；
4、false； 5、3； 6、false；7、false；
【解答】
1、因为false、false为正数，且false，
所以false,
当且仅当a=b=1时取等号
即false的最小值为4.
故答案为：4
2、因为x>0，y>0，x+2y=2，
所以falsefalse，当且仅当false，即false时等号成立．
故答案为：false．
3、∵正实数false满足false，
∴false16，当且仅当y＝4x＝8时取等号．
故答案为16．
4、∵false，∴false，
false，当且仅当false时不等式取等号，
∴false，故false的最小值是false．
5、由题意可知：false，故：
false
当且仅当false时等号成立.
6、因为false，所以false，
所以false，
所以false，
所以false，取等号时false，即false，
所以false的最小值为false，
故答案为：false.
7、由题知false，false，满足false，则false，
同除false，得false，
false，当且仅当false，false时取到等号．
故答案为false．
总结 已知正实数false，false满足false（false,false,false为正常数），求false（false为正常数）的最小值.
解法：false
总结 已知正实数false，false满足false（false,false,false为正常数），求false（false为正常数）的最小值.
解法：false
0114300例2.5
例2.5
1、（2016杨浦区高一期中★★★☆☆）设false，false均为正实数，且false，则false的取值范围__________.
2、（2019上海中学高三开学考改★★★☆☆）已知正实数false，false满足false，则false的最大值为__________.
【答案】1、false； 2、false；
【解答】1、由false，false均为正实数且false,
得false,
即false，即false,
所以false或false(舍去)
所以false ,当且仅当false时取等号.
故答案为：false.
2、因为false为正实数,且false，false，
所以falsefalse，令falsefalse，
则false，
解得false.
当且仅当falsefalse时取得最大值.
随堂练习
1. （2020控江中学高一期中★★☆☆☆）设false，false，若false，则false的最大值为 ．
【答案】false．
【解答】false，false，falsefalse，
化为false，当且仅当false 时取等号．
则false的最大值为false．
2. （新课程优选★★☆☆☆）已知false，则false的最小值是__________.
【答案】4
【解答】
因为false，所以false，false，false，
所以false，当且仅当false时取等号.
3. （教材P60拓展与思考4改★★★☆☆）设false，false为正数，证明不等式false.
【证明】false，false为正数，所以false，所以false
所以false.当且仅当false时等号成立.

展开更多......

收起↑