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高一暑假数学第9讲
指数幂的拓展
高一暑假数学第9讲
指数幂的拓展

我们在初中已经学过整数指数幂与根式的概念.
一般地，如果false为大于false的整数，且false，那么false叫做false的false次方根.
当false是奇数时，false的false次方根是唯一的，可用false表示；例如false
当false是偶数时，正数的false次方根有两个，他们互为相反数：false和false，合并简写为false.例如false的false次方根可以表示为false及false，简记为false.负数没有偶次方根.
false的任何次方根都是0，记作false.
初中在此基础上又拓展到有理数指数幂及其运算性质：
false，false，
其中若false，考虑到负数没有偶次方根，因此需要注意，当false为偶数，false为奇数时：
运算性质：设false那么
（1）false，false，
（2）false，
（3）false，false．
0160020练习
练习
1.（课本P63例题★☆☆☆☆）计算：
（1）false的5次方根； （2）81的4次方根；
（3）false； （4）false；
（5）false；
【答案】（1）false ； （2）false ； （3）2 ； （4）8 ； （5）false
0167640练习
练习
2. 将下列各式用有理数指数幂的形式表示：
（1）（课本P63例题★☆☆☆☆）false ;
（2）（2020嘉定区期末★☆☆☆☆）false（false）；
（3）（新课程优选★☆☆☆☆）false
【答案】（1）false ；（2）false；（3）false

数域我们从小学学的自然数一直扩展到今天的实数，那么幂的指数能否也扩展到实数？现在思考一下false有什么意义？它的值应该是多少呢？
1. 指数幂的拓展及其运算
false是个无理数，但我们可以用有理数来逼近它.人类在求false的历史进程中就是在一直不停的接近.
false是个无限不循环小数，1.414213562373…，我们把1.41， 1.414， 1.4142，…称为false的不足近似值，把1.42， 1.415， 1.4143，…叫做false的过剩近似值.
由此我们可以得到false的对应近似值：
false的不足近似值
false的不足近似值
false的过剩近似值
false的过剩近似值
1.41
2.657371628
2.675855110
1.42
1.414
2.664749650
2.666597354
1.415
1.4142
2.665119089
2.665303827
1.4143
1.41421
2.665137562
2.665156035
1.41422
1.414213
2.665143104
2.665144951
1.414214
1.4142135
2.665144027
2.665144212
1.4142136
1.41421356
2.665144138
2.665144157
1.41421357
1.414213562
2.665144142
2.665144144
1.414213563
…
…
…
…
从上表可以看出，false的不足近似值和过剩近似值越来越接近的时候，false的不足近似值和过剩近似值也越来越接近. 在实际应用中，根据一定的精确度要求，例如精确到小数点后4位，在false的不足近似值是1.414213，过剩近似值是1.414214的时候，false的不足近似值和过剩近似值就已经相等了.
而当false的不足近似值和过剩近似值无限接近的时候，false的不足近似值和过剩近似值将趋于同一个实数.
同学们在高二的课程中学到极限的相关概念后，将会对此有更深的理解.
可以证明，对于给定的实数false，对于false，false也是一个确定的实数.且对任意给定的正实数false，false及实数false，false，初中学习的有理数指数幂的三个运算性质依然成立，即有
对任意给定的正实数false，false及实数false，false，成立
false，
false,
false．
对任意给定的正实数false，false及实数false，false，成立
false，
false,
false．
0140335例1.1
例1.1
1、（新课程优选★☆☆☆☆）false___________；
2、（课本P63例题★☆☆☆☆）化简：false ;
3、 （2020浦东新区校级期中★☆☆☆☆）化简：false___________（其中false，false;
1、（新课程优选★☆☆☆☆）化简false （false）.
【答案】1、6； 2、false； 3、false； 4、false
0136525例1.2
例1.2
1、（课本P63例题★☆☆☆☆）计算：falsefalse; falsefalse；
2、（新课程优选★★☆☆☆）若false，则实数false的取值范围是 .
【答案】1、-2 ；2 ; 2、false
072390例1.3
例1.3
1、（2020天津三中高一期末★☆☆☆☆）已知false，false，则false__________．
2、（2020闵行区校级期中★★☆☆☆）设false，false，则false__________．
【解答】1、false； 2、false；
解：
1、false，false，false
故答案为：false.
2、false，false，
则false，
原式false，
故答案为：false．
081915例1.4
例1.4
1、（2018浦东新区期末★★☆☆☆）如果false，false，那么false__________.
2、（2019建平中学期末★★☆☆☆）已知false，false为非零实数，且false，则false的值为__________.
【答案】1、1 ； 2、2
【解答】
解：1、由false，得false，false，
则false．
false．
故答案为：1．
2、设false，
false，false，false，
falsefalse，又falsefalse，
falsefalse，
falsefalse，
false，
故答案为：2．
081915例1.5
例1.5
1、（2020·上海嘉定区·高一期末★★★☆☆）若false，false，则false的最小值为________．
2、（新课程优选★★★☆☆）已知false，false，false，则false的最小值是______.
【答案】1、false； 2、false．
【详解】
1、false，且false
false
当且仅当false时取等号，即false的最小值是false
故答案为：false
2、false，false.
又false，false，false，
当且仅当false，false时等号成立，所以false的最小值是false.
故答案为：false.
2. 指数方程
（1）最简形式
22860122555例2.1
例2.1
（2018春?嘉定区期末★★☆☆☆）方程false的解为__________.
【解答】
解：false方程false，
false，
false或false，
解得false或false．
故答案为：false或false．
0128905练习2.1
练习2.1
1、（2015松江区期末★☆☆☆☆）方程false的解为false__________．
2、（2010嘉定区期中★★☆☆☆）满足方程false的false的值为__________．
【解答】
1、解：false，
false，
false，
解得false．
故答案为：2．
2、解：由false，得false，
所以false，false，解得false或false．
故答案为false或3．
（2）同底形式
098425例2.2
例2.2
（新课程优选★★☆☆☆）解关于false的方程：false
【答案】false
【解答】false
0113665练习2.2
练习2.2
（新课程优选★★☆☆☆）解关于false的方程：false
【答案】false
【解答】由原方程，得false,解方程，得false
（3）可换元形式
0133350例2.3
例2.3
1、（2020浦东新区校级期中★★☆☆☆）若false，则false__________.
2、（新课程优选★★★☆☆）解关于false的方程false.
3、（新课程优选★★★★☆）方程false的非负整数解false　 　．
【答案】1、2； 2、false； 3、false，false；
【解答】
1、解：false，false，
则false，
故答案为：2．
2、 原方程可化为false，可化为
false，
所以false或false（舍），即false，
所以原方程的解为false．
3、解：方程false变形为false．false
false，false为非负整数，
false当false，1时，经验证无解，应舍去．
当false时，false化为false，解得false．此时方程的非负整数解为false．
当false时，false化为false，即false，解得false．
当false时，false，左边false右边，false无非负整数解．
综上可知：方程false的非负整数解false，false，false，false．
故答案为：false，false．
0212725练习2.3
练习2.3
1、（2018青浦区期末★★☆☆☆）方程false的解集是__________．
2、（2018浦东新区校级月考★★☆☆☆）方程false的解是__________．
【解答】
1、解：由false得false，
设false，则false，
则原方程等价为false，即false，
解得false或false．
由false，解得false．
由false，解得false．
故方程的解集为false，false．
故答案为：false，false．
2、解：false，
false，
false，
false，false．
故答案为：false．
3、解：由false，得false，
解得false（舍false，或false，
false．
故答案为：false．
0106045例2.4
例2.4
1、（新课程优选★★★☆☆）关于false的方程false有两个不相等的实数根，求实数false的取值范围.
2、（新课程优选★★★☆☆）若关于false的方程false有实数解，求实数false的取值范围.
【答案】1、false; 2、false.
【解答】
1、false即false
令false，所以方程false应有两个不相等的正数解，设为false,
所以false解得false.
2、解法一：false
解法二：令false
令false，false，所以方程false有正实数解，
对应的二次函数false过定点false，因此还应满足：
false，解得false.
随堂练习
1. （新课程优选★☆☆☆☆）化简（其中false）：
（1）false ；
（2）false；
【答案】（1）false； （2）false；
2.（2020上海中学高一期中★★★☆☆）若false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【详解】
false，false，
因此，false.
3. （新课程优选★☆☆☆）解关于false的方程：
（1）false；
（2）false
【答案】（1）false； （2）false
解：
（1）原方程可化为false.
（2）原方程可化为false.
设false,代入上述方程，得false.解得false.
由false.所以原方程的解为false.

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