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高一暑假数学第10讲
对数
高一暑假数学第10讲
对数
在上节课我们遇到了false（false）的形式，而其中false并不是false的有理次幂，甚至false可能是一个代数式. 比如false.
那么是否存在这样的false满足方程false呢？
1. 对数的意义
想要这样的false存在，首先要保证false有意义. 在上节课我们学过，false时，对任意的false，false都有定义，而且是一个唯一确定的实数. 因此我们假设false.
其次如果false，false恒等于1，那么当false时，方程false就无解，false时，方程false有解但是是一切实数. 所以对于一般性情况，我们还要假设false.
可以证明：
在false且false时，只要false，方程false总有唯一解.
定义 在false，false，且false的条件下，唯一满足false的数false，称为false以false为底的对数，并用符号false表示，而false称为真数.
定义 在false，false，且false的条件下，唯一满足false的数false，称为false以false为底的对数，并用符号false表示，而false称为真数.
根据对数的定义，我们可以理解为，其实对数是指数幂的“逆运算”，指数幂是已知底数和指数，而对数则是知道底数和指数幂的具体值“真数”，反过来表示出对应的指数.
这样一来，false中的false就可以分别表示为：false，false，false.
而且根据定义，我们有：
.
同时根据在false，false，且false的条件下，方程false解的唯一性，易知：若同一个底的两个对数相等，则其真数必相等.即：
false
且由false易知：
false
就像之前遇到的，当真数与底数之间存在明显的次数关系时，可以写出具体的对数数值，但一般情况下，对数的精确值很难估算，实际应用中可以利用对数表来满足一定的精确度要求. 在数学上，则可以直接用对数的形式来表示.
有两个比较特殊的底构成的对数：
一个是以10为底的对数，称为常用对数，即false，通常简记为false；
另一个是以无理数false（false）为底的对数，即false，通常简记为false.自然对数在高等数学和其他科学领域中十分有用，大家将来也会经常和它打交道.
-63585725例1.1
例1.1
1、（2020崇明区期中改★☆☆☆☆）将false改写成对数形式__________.
2、（2020嘉定区期中改★☆☆☆☆）若false且false，根据指数式false将false用对数式表示为__________.
3、（教材P75习题★☆☆☆☆）将对数式false写成指数式 .
【答案】1、false； 2、false； 3、false
0132715例1.2
例1.2
（教材练习★☆☆☆☆）计算：
（1） false=__________； （2）false=__________； （3）false=__________； （4）false .
【答案】（1）2； （2）false； （3）3； （4）-5.
091440例1.3
例1.3
（教材P75习题改改★☆☆☆☆）求下列各式中false的取值范围：
（1）false； （2）false
【答案】（1）false； （2）false；
2. 对数的运算规则
“对数的发现，因其节省劳力而延长了天文学家的寿命.”
——拉普拉斯
我们来看一下，对数是如何实现这样伟大的使命的.
在本节中，我们总假设false且false.
前面提到，我们可以把对数看作指数幂的“逆运算”，那么根据指数的运算规则：false,
假设false，令false，于是false，因此
false，
从而根据对数的定义，有
false对数运算性质1 当false时，成立
false
对数运算性质1 当false时，成立
false
由此可以推出：
false，
从而得到：对数运算性质2 当false时，成立
false
对数运算性质2 当false时，成立
false
即可以把乘除运算转化为加减运算.
又指数的运算性质有false，设false，令false，则false，所以有false，所以false.
对数运算性质3 当false时，对任意给定的实数false，成立
false
对数运算性质3 当false时，对任意给定的实数false，成立
false
即可以把乘方与开方转化为乘除运算.
同时，若将对数运算性质3进一步拓展，考虑false，那么有：
false，false，那么
false
有了这些运算规则，我们来看看对数是如何延长了天文学家的寿命.
在天文领域，天文学家所获得的的数据数量级往往非常之大，在没有计算机的年代，计算起来将会十分的繁琐.
比如近地小行星伊卡洛斯（Icarus），其远日距离为294588365.57584 km，如果从小行星伊卡洛斯上发射一个飞船直线飞向太阳，以远日距离计算，假设飞船的速度可以达到旅行者1号（Voyager 1）探测器的速度，即16979米/秒，那么这艘飞船到达太阳的时间应为：
false，
直接计算费时费力，怎么用对数进行简化呢？
先将此除式取以10为底的对数
false，
根据对数表，可以得知
false，
其中false是查表得到.类似地，false，因此由false，根据反对数表（即指数表）得原商式
false.
当然，在有了计算机之后，我们可以简单地利用计算器就可以得到更精确的结果.但对数并没有因此退出历史舞台，依然在数学与其他科学中发挥着重要的作用.
0133350例2.1
例2.1
计算：
（1）（2020虹口区期末★☆☆☆☆）false　 　； （2）（2020建平中学期末★☆☆☆☆）false　 　；
（3）（2020七宝中学期中★☆☆☆☆）false　 　．
【答案】（1）4； （2）9； （3）4.
【解答】
（1）原式false；
（2）原式false；
（3）原式false.
0110490例2.2
例2.2
1、（2020浦东新区期中★☆☆☆☆）设false，则false用false表示的形式是　 　．
2、（2020杨浦区校级期中★★☆☆☆）设false，false，已知false，则false　 　．
【答案】1、false； 2、8
【解答】
1、解：false，false．
故答案为：false．
2、解：false，false，falsefalse，
false．
故答案为：8．
0154940例2.3
例2.3
1、（2020上海中学期中★★★☆☆）已知false、false、false是不为1的正数，且false，则false的值为 ；
2、（2019上海普陀区高三二模★★★★☆）设实数false、false、false满足false且false，false，则false .
【答案】1、false； 2、12；
【解答】
1、由false，可得false，false，false，
false．
2、由false且false可知false，
可得false，false，false，
所以有false，
又由false，可得false，即false
由false得false
所以有false，false，false，
则false或false，false或false，false或，
由对称思想，不妨false，则false，
所以a+b+c＝12．
故答案为：12．
3. 对数的换底公式
对数运算的另一个便捷之处，在于不同底数的对数可以很方便地互相转换.
仍然总是假设对数底false总是不为1的正数.
设false为另一个底，且false，令false，即false.由对数运算性质3，得
false，因此我们有对数换底公式 当false时，
false
对数换底公式 当false时，
false
由换底公式，易得：
false.
0200025例3.1
例3.1
（教材P73例题★☆☆☆☆）计算
（1）false；
（2）false；
（3）false.
【答案】（1）8；（2）15；（3）3.
0274320例3.2
例3.2
1、（2010春静安区期末★★☆☆☆）false，则false .
2、（2020长宁区期末★★☆☆☆）已知false，false，试用false、false表示false .
【答案】1、false； 2、false；
【解答】
1、false
故答案为：false
2、false，
故答案为：false．
4. 对数方程
解对数方程时，需要格外注意未知数的允许范围，为避免遗漏或者没有注意解方程过程中导致的允许范围变化，可以在解方程之前，先列出未知数的允许范围.
（1）最简型
0144145例4.1
例4.1
（新课程优选★★☆☆☆）false
【解答】
false允许范围：false，
化为指数式为：false，
即false，整理得：false，
解得：false，
经检验，当false时，false 舍
当false时，符合题意
false false是原方程的解.
（2）同底型
0113665例4.2
例4.2
（新课程优选★★☆☆☆）false
解：
false允许范围：false，
原方程可化为：false
false
解得：false（舍）
false是原方程的解.
（3）换元型
0121285例4.3
例4.3
（新课程优选★★☆☆☆）false
解：
false允许范围：false，
原方程化为：false， (检验未知数的允许值范围没有变化)
令false，则false，
解得：false，
由false得false，
由false得false，
false，false都是原方程的解.
（4）换底型
0121285例4.4
例4.4
（新课程优选★★☆☆☆）false
解：两边取常用对数，得false,所以false或false.
0220980练习4
练习4
（新课程优选★★☆☆☆）解下列方程：
（1）false；
（2）false；
（3）false；
（4）false
（5）false．
【解答】
（1）false允许范围：false，
由false，
得false，
即false，false，
解得false或false（舍），
false方程false的解为4．
（2）false允许范围：false，
由false得：false；
falsefalse；
解得false．
（3）false允许范围：false，
falsefalse，
false，
即false，
false（舍去）或false；
false.
（4）由false，得
false，
解得false；
（5）false允许范围：false，
由false，得
false．
解得false或false．
false或false．
随堂练习
1.计算：
（1）false；
（2）false；
（3）false；
（4）false.
【答案】（1）false；（2）false；（3）false； （4）-3.
解：
（1）false.
（2）false.
（3）false
false
false.
（4）false
false
2. （2009浦东新区校级期末★★☆☆☆）若非零实数false、false、false满足false，则false的值=__________
【解答】falsefalse，
false设false，
false，false，false，
falsefalse
false
false
false．
3. （2020奉贤区期中★★☆☆☆）若false，false，则false　　false（用false，false的代数式表示）
【解答】
false，false，
false．
故答案为：false．
4. （新课程优选★★☆☆☆）方程false的解是__________.
【解答】
解：原方程可化为false，
false，
false，又false，
解得false．
因此方程的解为false．
故答案为：false．

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