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高一暑假数学第2讲
集合的运算
高一暑假数学第2讲
集合的运算
高一年级的同学报名参加数学建模组与数学思维组.
除该高一年级的全体同学组成的集合false外，还有参加数学建模组的同学组成的集合false，参加数学思维组的同学组成的集合false，两个组都参加的同学组成的集合false，两个组中至少参加一个的同学组成的集合false，此外，还有未参加数学 建模组的同学组成的集合false，等等.
可以看到，集合false 等都是集合false的子集，集合false是由集合false与false的公共元素组成的，集合false是由集合A与B的所有元素组成的，集合false是由集合false中去掉false中的元素后剩下的元素组成的.
在数学上，集合false称为全集，false称为false与false的交集，false称为false与false的并集，false称为false在全集false中的补集.
本节我们要从已知的集合出发，通过“交、并、补”的运算得到新的集合.
02139951. 交集、并集、补集
（1）交集
首先，我们可以对任意两个集合取公共元素，从而得到一个新的集合.
定义 由既属于集合false又属于集合false的所有元素组成的集合，叫做集合false与false的交集，记作false（读作“A 交B”），即
false.
定义 由既属于集合false又属于集合false的所有元素组成的集合，叫做集合false与false的交集，记作false（读作“A 交B”），即
false.
文氏图反应false三种不同情况：
（1）集合false与false既有公共元素，又有非公共元素，阴影部分false同时是集合false与false的真子集；
（2）集合A是集合B的子集，此时false；
（3）集合false与false没有公共元素，此时false；
归纳交集运算的性质：
false，falsefalsefalse，falsefalsefalse；
归纳交集运算的性质：
false，falsefalsefalse，falsefalsefalse；
-63585725例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）已知集合false，false，false，false，求false，false并说明它们的意义.
【答案】A∩B=[0,+∞)；C∩D={(2,4),(?5,25)}
【解答】
解:
false，
所以false，这是两个区间的公共部分.
C∩D=(x,y)|&y=10?3x&y=x2，解方程组&y=10?3x&y=x2得&x=2&y=4 或&x=?5&y=25
C∩D=2,4,(?5,25).
C∩D表示方程组&y=10?3x&y=x2的解的集合，
也可以理解为一次函数y=10?3x与二次函数y=x2图像的交点坐标的集合.
0132715例1.2
例1.2
（2019七宝中学期中★★☆☆☆）若集合false，false若false，则实数false .
【答案】-2
【解答】
解：
false集合false，false，false，false，false，false，
falsefalse或false，
解得实数false．
故答案为：false．
091440例1.3
例1.3
（2020杨浦区期中★★★☆☆）已知集台false，false，false，false，且false非空，则实数false的取值范围是　　 .
【答案】[2,+∞)
（2）并集
我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一个新的集合.
定义 由所有属于集合false或者属于集合false的元素组成的集合叫做集合false与false的并集，记作“false”，读作“false并false”，即
false
定义 由所有属于集合false或者属于集合false的元素组成的集合叫做集合false与false的并集，记作“false”，读作“false并false”，即
false
文氏图直观反映false的三种不同情况如下所示：
（1）集合false与false既有公共元素，又有非公共元素，此时集合false与false都是false的真子集；
（2）集合false是集合false的子集，此时false；
（3）集合false与false没有公共元素，此时和（1）类似，集合false与false都是false的真子集；
归纳并集运算性质：
false，falsefalsefalse，falsefalsefalse
归纳并集运算性质：
false，falsefalsefalse，falsefalsefalse
0133350例1.4
例1.4
（新课程优选★☆☆☆☆）已知集合false，false，则falsefalsefalse= ．
【答案】A∪B=x|x≤3,或x>4
0110490例1.5
例1.5
（新课程优选★★★☆☆）已知集合false，且false，求实数false的取值范围.
【答案】(?∞,2]
【解答】
解：
首先把集合false在数轴上表示出来，再表示出集合false，使之满足false，结合数轴，可知，所求实数false的取值范围是false.
false
2
false
false
2
false
（3）补集
定义 当我们研究某个领域的问题时，通常把该领域内的全体对象组成特定的集合叫做全集，常用符号false表示，全集含有该领域内各个集合的全部元素.
定义 当我们研究某个领域的问题时，通常把该领域内的全体对象组成特定的集合叫做全集，常用符号false表示，全集含有该领域内各个集合的全部元素.
若集合false是全集false的一个子集，那么属于false而不属于false的元素构成的集合，又是一种怎样的运算呢，他与数的哪一种运算具有相似性呢？这就是我们将要继续研究的“补集”：
定义 设全集为false，false是false的子集，则由false中所有不属于false的元素组成的集合叫做集合false在全集false中的补集，记作“false”，读作“false补”.即false.
定义 设全集为false，false是false的子集，则由false中所有不属于false的元素组成的集合叫做集合false在全集false中的补集，记作“false”，读作“false补”.即false.
有些资料中，也用符号false表示集合false在全集false中的补集.
用文氏图表示集合false在全集false中的补集.通常用一个矩形来表示全集false，矩形内的一个圆表示false的子集false.于是在矩形内但在圆外的阴影部分表示false的补集false；
归纳补集运算性质：
false；falsefalse；false
归纳补集运算性质：
false；falsefalse；false
0146685例1.6
例1.6
（新课程优选★☆☆☆☆）已知全集falsefalsefalse，则false（ ）．
　A. false B. false C. false D. false
【答案】D
0274320例1.7
例1.7
（新课程优选★★☆☆☆）已知全集false，求实数false的值.
【答案】a=2
【解答】
由题意可知，false.
当false时，false，合题意.
当false时，false，不合题意，舍去.
因此，所求实数false.
0114300练习1
练习1
1. （新课程优选★★★☆☆）已知集合false或false，false，若false中恰好含有2个整数，则实数false的取值范围是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解答】
解：
根据题意，false，
若false，则false，仅含有一个整数，不合题意；
若false，则false或false，其中恰好含有2个整数，
则false．
故选：false．
2. （新课程优选★★★☆☆）已知集合false，当false时，求实数false的取值范围.
【答案】(?∞,2]
3. （新课程优选★★★☆☆）已知全集为false，集合false，false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
【解答】
解：
false，false，false，false，且false，
false，
false，false．
2. 集合的运算与集合的关系
若false，则false有什么关系？
若false，则false有什么关系？
若false，则false有什么关系？.
若false，则false；反之也成立.
若false，则false；反之也成立.
若false，则false；反之也成立.
若false，则false；反之也成立.
若false，则false；反之也成立.
若false，则false；反之也成立.
0144145例2.1
例2.1
（2019秋浦东新区校级月考★★☆☆☆）设集合false，false，且false，则实数false的取值范围是 ．
【答案】{3，?3，0}
【解答】
解：
false，
则false，
根据集合的性质，当false，解得：false或false，
当false时，解得false或0，
根据集合的互异性可知，false，
故false，3或false．
故答案为：false，false，false．
0113665例2.2
例2.2
（新课程优选★★★☆☆）已知全集false，false，false，且false，求实数false的取值范围.
【答案】{a|0【解答】
解：
根据题意，可得false
又false所以false
因此false，解得false.
于是，所求实数false的取值范围是false．
//例2.3此类问题难度较大，放在此处让学生有认知即可，并强调将在秋季专题系统讲解
0121285例2.3
例2.3
（2020华二附中期中★★★★☆）已知集合false，false，其中false，false．
（1）若false，求false，false的值；
（2）若false，求false，false的取值范围．
【答案】（1）m=?12，n=?2，或m=1，n=?2．
（2）m∈Rn∈(?53,1)或m=?2n=1或m=0n=?53或m=?12n=?2
【解答】
解：
（1）集合false，
false，其中false，false．
解false得：false，或false，
若false，则false，
分类讨论：
若false中只有一个元素，
false，false，解得false；
将false代入false得：false，
则false，false，false．
若false中有两个元素，
则false，则false，
综上false，false，或false，false．
（2）若false，则集合false，
当△false时，false，false，false，false，
或false时，false，false，false；
当△false，即false，或false时，则false，由（1）得：false，false；
当△false时，即false时，false，对false，故成立，
综上，false或false或false或false．
0121920练习2
练习2
1.（新课程优选★★☆☆☆）已知集合false，false，且false，则false　 　．
【答案】0或14
【解答】
由false知false，又根据集合元素的互异性，
所以有false或false，解得false或false，
故false或false．
答案：0或false
2. （2020崇明区期中★★★☆☆）已知全集为false，集合false，false．
（1）当false时，求false；
（2）若false，求实数false的范围．
【答案】（1）{x|x≤1或x≥2}； （2）(?1，1]．
【解答】
（1）false时，false，且false，
falsefalse；
（2）false，false，
false，
false，
falsefalse，解得false，
false的取值范围为false，false．
3. 集合的混合运算
0112395例3.1
例3.1
（新课程优选★☆☆☆☆）已知全集false，false，false，求false，并比较哪些集合具有相等关系.
【解答】
解：
∵false，false，
∴false,false.
∴false,false,
false.
相等的集合有：falsefalse，falsefalse.
用文氏图表示false，并比较哪些集合具有相等关系.
归纳集合运算性质：falsefalse，falsefalse.
归纳集合运算性质：falsefalse，falsefalse.
0109220例3.2
例3.2
（2019闵行区期中★☆☆☆☆）设全集false，false，false，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．false，false B．false C．false，false D．false，false
【答案】C
【解答】
解：
图中阴影部分表示的集合为：属于A但不属于B的元素组成的集合，
全集false，false，
false，
所以阴影部分为false，false．
故选：false．
0107315例3.3
例3.3
（新课程优选★★★☆☆）如图，false为全集，false、false、false是false的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
0126365例3.4
例3.4
（2020杨浦区校级期中★★★☆☆）全集false是不大于20的素数false，若false，false，false，则集合false ．
【答案】{3，5，11，13}
【解答】
解：
false全集false取不大于20的质数false，3，5，7，11，13，17，false，
false，false，false，false，false，false，
false由韦恩图可知false，5，11，false，false，11，13，false．
故答案为：false，5，11，false．
0129540练习3
练习3
1. （新课程优选★★☆☆☆）设全集false，集合false，false，false，false，则false　　false
A．false B．false
C．false D．false
【答案】C
【解答】
false集合false，false，false，false，
false集合false中的元素是偶数，集合false中的元素是可以被4整除的数字，
false，
false，
故选：false．
2. （2016闸北区校级期中★★☆☆☆）如图，集合false，false是全集false的两个子集，则图中阴影部分可表示为false　　false
A．false B．false
C．false D．false
【答案】D
3. （2019徐汇区校级期中）若全集false，false、false为false的子集，且false，false，false，则集合false　 ．
【答案】{2，3，5，7}
【解答】
作出文氏图，
由false，false，false，false，6，false
得false，3，5，false，
故答案为：false，3，5，false.
658495169545
3 5 2 7
7

3 5 2 7
7
57086534290 4
6

8
4
6

8
1290955400051
9
1
9
随堂练习
1. （2020交大附中期中★☆☆☆☆）已知全集false，1，2，3，false，集合false，false，false，false，则false　　 ．
【答案】{1}
2. （2018静安区二模★☆☆☆☆）已知集合false，3，5，7，false，false，1，2，3，4，false，则图中阴影部分集合用列举法表示的结果是 　　 ．
【答案】{0，2，4}
3. （2019浦东新区校级月考★★☆☆☆）已知false，false均为集合false，3，5，7，false的子集，且false，false，则false　 　．
【答案】{3，9}
【解答】
解：
故答案为：{3，9}．
4. （2017杨浦区二模★★★☆☆）集合false，3，false，集合false，false，若false，则实数false　 　．
【答案】2
【解答】
解：由false，得到false，
false，3，false，集合false，false，
false，false，或false，false，或false，false，或false，false，
解得：false．

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