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1215390010960100高一暑假数学第12讲
指数函数
高一暑假数学第12讲
指数函数

对于false的形式，我们已经很熟悉了，上一讲中，我们把指数固定，底数作为自变量，指数幂的值作为因变量，即false形式，研究了幂函数.
如果把底数固定，指数作为自变量，指数幂的值作为因变量，即false形式，就得到我们今天要认识的指数函数.
这里我们假设false，以使得对任意的实数false，false都有意义.此外还要假设false，因为false时false恒等于1，这种极为特殊的情况没必要专门研究.
1. 指数函数的概念
定义 当底数false固定，且false时，等式
false
确定了变量false随变量false变化的规律，且每个false都有唯一的false与之对应，称为底为false的指数函数.
定义 当底数false固定，且false时，等式
false
确定了变量false随变量false变化的规律，且每个false都有唯一的false与之对应，称为底为false的指数函数.
因为对任意false，false都有意义，所以指数函数的定义域是全体实数.
0122555例1.1
例1.1
（1）（2020·浙江高一期末★☆☆☆☆）已知false是指数函数，则实数m的值是___________．
（2）（2017浦东新区高一期末★☆☆☆☆）已知指数函数false（false且false）的图像过点false，则实数false___________.
【答案】（1）3； （2）false；
2. 指数函数的图像与性质
同样的，我们借助指数函数的图像来研究指数函数的性质，这里我们画出false的图像：
1113790237490
总结：
此外，对于指数函数false，其图像上任意一点false关于false轴的对称点false恰好满足false，即点false在函数false图像上，反之亦然.
故false的图像与false的图像关于false轴对称.
0147320例2.1
例2.1
（2021大同中学高一期末★☆☆☆☆）已知函数false的图像恒过定点false，则false的坐标为_____________.
【答案】false
【答案】（1）false； （2）false
0121920例2.2
例2.2
1、（2010虹口区校级期末★☆☆☆☆）函数false的图像一定不经过第________象限；
2、（2020徐汇区校级期末★☆☆☆☆）已知函数false的图像不经过第二象限，则false的取值范围为________；
3、（2015松江区期末★☆☆☆☆）若函数false的图象经过第一、二、三象限，则false的取值范围是________.
【答案】 1、二； 2、false； 3、false
042545例2.3
例2.3
1、（2019华二附中高三月考★★☆☆☆）函数false的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
2、（2019曹杨二中高一月考★★★☆☆）在下列图象中，二次函数false及指数函数false的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】1、D； 2、A
【详解】
1、试题分析：∵false，∴false，∴函数false需向下平移false个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当false时，∴false，所以排除B，
当false时，∴false，所以排除C，故选D.
2、根据指数函数false知a，b同号且不相等，
∴二次函数false对称轴false，可排除选项B，D；
对于选项C，当false时，二次函数false，且false，
false，则指数函数在R上单调递增，则C不正确；
故选：A.
6159588900例2.4
例2.4
（2018兴庆区校级期末★★☆☆☆）如图①false，②false，③false，④false，根据图象可得false、false、false、false与1的大小关系为false　　false
A．false B．false C．false D．false
【答案】B
【解答】
解：由图，直线false与四条曲线的交点坐标从下往上依次是false，false，false，false
故有false
故选：false．
0100330例2.5
例2.5
（2021行知中学高一期末★★★☆☆）设平行于false轴的直线false分别与函数false和false的图像相交于点false，false，若在函数false的图像上存在点false，使得false为等边三角形，则false点的纵坐标为_________.
【答案】false
【详解】
设直线false的方程为false，由false，得false，所以点false，
由false，得false，所以点false，从而false，
如图，取false的中点false，连接false，
因为false为等边三角形，则false，所以false，false，
则点false，
因为点false在函数false的图象上，则false，
解得false，所以false点的纵坐标为false.
故答案为：false.
097155例2.6
例2.6
（新课程优选★☆☆☆☆）比较下列各题中两数的大小：
（1）false与false；
（2）false与false；
（3）false与false；
（4）false与false（其中false且false）.
【答案】（1）false； （2）false； （3）false；
（4）当false时，false；当false时， false.
0107315例2.7
例2.7
（新课程优选★★☆☆☆）解下列关于false的不等式
（1）false；
（2）false；
（3）false
【答案】（1）false； （2）false； （3）false；
【解析】
（1）因为false，函数false在R上单调递减，
所以false，解得false或false，
所以原不等式的解集为false.
故答案为：false.
（2）
原不等式可化为：false
根据指数函数false的增函数性质得：
false
解得：false
故答案为false
（3）因为false，
因为false，false单调递增，
原不等式等价于false，解得：false，
所以x的取值范围是false.
0129540例2.8
例2.8
（新课程优选★★★☆☆）
（1）如果false（false，且false），求false的取值范围.
（2）不等式false的解集为false，求实数false的取值范围是．
【答案】（1）当false时，false；当false时，false；
（2）false
【详解】
（1）因为false且false,
当false时，false单调递减，
由false可得：false，解得：false，
当false时，false单调递增，
由false可得：false，解得：false，
所以false时，false的取值范围是：false，
false时，false的取值范围是：false
（2）由指数函数单调性易知，
不等式false的解集为false，即false，
false，false，解得false或false，实数false的取值范围是false，
故答案为：false.
3. 指数函数模型
0111125例3.1
例3.1
（课本P93例7★★☆☆☆）统计资料显示：某物种现有种群数量为false，若有理想的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为false.试建立该物种的种群数量增长模型，并预测30年后该物种的种群数量是现有种群数量的多少倍（精确到个位）
【解答】
设经过1年后，该种群数量为false
经过2年后的种群数量为false………..
以此类推，经过false年后该种群的数量为false .
当false时，该种群的数量为false.
因此，若不加控制，该种群的数量在30年之后差不多是现在的237倍，从而可能极大地破坏当地的生态系统的稳定，这说明指数函数可以用于预测种群数量，便于及早进行干预.
0174625练习3
练习3
（2017交大附中高一月考★★★☆☆）有一种细菌false，每小时分裂一次，分裂时每个细菌都分裂为2个，现有某种饮料200毫升，其中细菌false的浓度为20个/毫升；
（1）试将饮料中细菌false的个数false表示成经过的小时数false的函数；
（2）若饮料中细菌false的总数超过9万个，将对人体有害，那么几小时后该饮料将对人体有害；（精确到0.1小时）
【答案】（1）false，false；（2）false
【解答】
(1)根据题意可知：刚开始细菌false的数量为false，
所以false，false；
(2)令false，
所以false，解得：false，
所以false小时后该饮料将对人体有害.
随堂练习
1.（2018徐汇区期末★☆☆☆☆）若函数false过点false，则false___________.
【答案】3
2. （2012浦东新区校级月考★★☆☆☆）若函数false的图象经过第二、三、四象限，则false的取值范围是________.
【答案】false，false，false．
【解答】
解：false函数false的图象经过第二、三、四象限，
falsefalse；解，得false；
即false，或false；
false的取值范围是false，false，false；
故答案为：false，false，false．
3. （新课程优选★★☆☆☆）解关于false的不等式：false
【答案】false或false.
【解析】由false得false，即false，
即false，解得：false或false，
即原不等式的解集为：false或false.
4.（2014闸北区二模★★★☆☆）现有某种细胞100个，其中有约占总数false的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过false个，需至少经过false　　false
A．42小时 B．46小时 C．50小时 D．52小时
【答案】false
【解答】解：根据分裂的规律得到细胞总数false与时间false（小时）之间的函数关系为：false，
由false，解得false，即false，即false．
false，
故经过46小时，细胞总数超过false个．
故选：false．

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