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高一暑假数学第13讲
对数函数
高一暑假数学第13讲
对数函数
对于false的形式，我们已经把指数固定，底数作为自变量，指数幂的值作为因变量，即false形式，研究了幂函数；又把底数固定，指数作为自变量，指数幂的值作为因变量，即false形式，研究了指数函数.
如果把底数固定，指数幂的值作为自变量，指数作为因变量，得到false，即本讲要探索的对数函数.
根据对数的定义，这里我们假设false且false.
1. 对数函数的概念
定义 当底数false固定，且false时，以false为底的对数
false
确定了变量false随变量false变化的规律，且每个false都有唯一的false与之对应，称为底为false的对数函数.
定义 当底数false固定，且false时，以false为底的对数
false
确定了变量false随变量false变化的规律，且每个false都有唯一的false与之对应，称为底为false的对数函数.
因为仅当false时，false才有意义，所以对数函数的定义域是正实数的全体.
099060例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）求下列函数的定义域;
（1）false；
（2）false；
（3）false.
【答案】（1）false； （2）false； （3）false
0160020例1.2
例1.2
（2020南汇中学高一期末★☆☆☆☆）对数函数false（false且false）的图象经过点false，则此函数的解析式false________．
【答案】false
【详解】
由已知条件可得false，可得false，因为false且false，所以，false.
因此，所求函数解析式为false.
故答案为：false.
2. 对数函数的图像与性质
同样的，我们借助对数函数的图像来研究对数函数的性质，这里我们画出false的图像：
316547556515y=log3x
y=log2x
y=log13x
y=log12x
y=log3x
y=log2x
y=log13x
y=log12x
归纳总结：
此外，对于对数函数false，其图像上任意一点false关于false轴的对称点false恰好满足false，即点false在函数false图像上.反之，函数false图像上任意一点关于false轴的对称点也在函数false的图像上.
故false的图像与false的图像关于false轴对称.
在学习对数的时候，我们提到过可以将对数看作指数幂的“逆运算”，我们将指数函数false与对数函数false的图像画在同一个直角坐标系中，看看有什么发现.
考虑函数falsefalse上的任意一点false，即有false，其关于直线false的对称点的坐标为false，而false，即点false在函数false的图像上.反之，函数false图像上任意一点关于直线false的对称点也在函数false的图像上.
故函数false与函数false的图像关于直线false对称.
0144145例2.1
例2.1
1、（2020市二中学高一月考★☆☆☆☆）函数false且false的图象所过定点的坐标是________.
2、（2021松江区高一期末★★★☆☆）已知函数false的图像恒过定点A，若点A在一次函数false的图像上，其中false，则false的最小值是__________．
3、（2018位育中学高二开学考）已知函数false的图像不经过第四象限，则实数false的取值范围是______.
【答案】1、false； 2、8； 3、false
0128905例2.2
例2.2
1、（2020浦东新区高一期中★★☆☆☆）当false时，在同一坐标系中，函数false与false的大致图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2021普陀区曹杨二中高一期末★★☆☆☆）函数false与false在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】1、C； 2、B
【详解】
1、当false时，false
函数false在其定义域上是增函数，故图象从左向右看是上升的；
false在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.
故选：C．
2、由对数和指数函数的性质可得false且false，
当false时，false过点false在false上单调递减，false过点false在false单调递减，所以排除选项C，
当false时，false过点false在false上单调递增，false过点false在false单调递增，所以排除选项AD，
0160020例2.3
例2.3
（新课程优选★★☆☆☆）
1、图中曲线分别表示false的图像，false，的关系是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
2、幂函数，指数函数，对数函数是生活中三类常见基本的初等函数，可以刻画客观世界不同的变化规律．已知函数false，false，false的图像如图所示，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false


【答案】1、C； 2、A
【详解】
1、如图所示：
当false时，false，
因为false，
所以false
故选：C
2、由图象可得曲线①为对数函数false，在定义域为为增函数，则false，
曲线②为指数函数false，为减函数，则false
曲线③为幂函数false，在false上为减函数，则false
所以false
故选：A
0198120例2.4
例2.4
（新课程优选★☆☆☆☆）比较下列各对数的大小（填“>”“<”或“=”）：
（1）false____________false； （2）false________false；
（3）false________false； （4）false___________false；
（5）false_______false； （6）false_______false；
（7）false_________1； （8）false__________0.
【答案】（1）< （2） < （3） > （4） <
（5） > （6） < （7） > （8） <
0190500例2.5
例2.5
（新课程优选★★★☆☆）解不等式：
（1）false；
（2）false；
（3）false；
【答案】（1）false； （2）false； （3）false
【详解】
（1）因为false在false上单调递增，所以false，
解得false或false，所以不等式的解集为false
（2）
由题意，不等式false可化为false，
可得false，即false，解得false，
所以不等式false的解集为false.
（3）当false时，不等式false化为false，解得false；
当false时，不等式false化为false，解得false，
综上所述false；
故答案为：false．
0189865例2.6
例2.6
（2016延安中学高一期末★★★★☆）设false，false，试讨论false和false的大小．
【答案】当false时，①false，false，②false，false，③false，false.
当false时，①false，false，②false，false，③false，false.
【详解】
有题知：false，解得：false.
当false时，false在false为减函数.
①当false，即false时，false，即false.
②当false，即false时，false，即false.
③当false，即false时，false，即false.
当false时，false在false为增函数.
①当false，即false时，false，即false.
②当false，即false时，false，即false.
③当false，即false时，false，即false.
3. 对数函数模型
0136525例3.1
例3.1
（2021控江中学高一期末★★★☆☆）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数false与听课时间false（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当false时，曲线是二次函数图像的一部分；当false时，曲线是函数false图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
（1）求函数false的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
【答案】（1）false；（2）14分钟.
【详解】
（1）当false时，设函数false，
因为false，所以false，所以false，
当false时，false，
由false，解得false，所以false，
综上，函数的解析式为false.
（2）当false时，令false，
即false，解得false或false（舍去），所以false，
当false时，令false，得false，
所以false，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为false分钟.
0144145练习3
练习3
（2020交大附中高一期中★★★☆☆）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数false，单位是false，其中false表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数false表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据falsefalse）
（1）若false，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
（2）若雄鸟的飞行速度为false，雌鸟的飞行速度为false，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？
【答案】（1）466；（2）3倍.
【详解】
（1）将false，false代入函数false，得：false，
即false，
所以false，
所以false．
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．
（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为false，雌鸟每分钟耗氧量为false，由题意可得：
false，
两式相减可得：false，
所以false，即false，
随堂练习
1. （2020杨浦高级中学高一期末★☆☆☆☆）已知false，则false___________.(结果用区间表示)
【答案】false
【详解】
由false得false，由false得false，所以falsefalse，
故答案为：false.
2．（2021浦东新区高一期末★☆☆☆☆）设函数false且false，则该函数的图象恒过定点的坐标是___________.
【答案】false
3. （新课程优选★☆☆☆☆）较下列各数的大小：
（1）false与false；
（2）false与false；
（3）false与false.
【答案】（1）false.（2）false.（3）false.
4.（2021第二中学高一期末★★★☆☆）国际视力表值（又叫小数视力值，用false表示，范围是false）和我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天容创立，用false表示，范围是false）的换算关系式为false.
（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；（保留1位小数）
（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，求乙的对数视力值.（保留1位小数，参考数据：false，false）
【答案】（1）① 5.2；② 1；③ 4.6；④ 0.1；（2）4.8.
【详解】
（1）①当false时，
false，
②false时，false;
③false时，false
④false时，false；
（2）甲的对数视力值为4.5，则false，
false，false 乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，
false.

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