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1149350010706100高一暑假数学第11讲
幂函数
高一暑假数学第11讲
幂函数
在前面的课程中，我们学到：对于给定的实数false，当false时，false是一个确定的实数. 类似地，对于给定的实数false，令false，对false在允许的范围内的每一个值，false都是一个唯一确定的实数.
而这种false和false之间的确定的依赖关系，我们在初中学习过，叫做函数.
例如，当false时，false是斜率为1的正比例函数，当false时，false是个反比例函数，当false时，false是个二次函数.
这三个我们在初中已经比较熟悉他们的性质与图像，那么当false固定为其他值时，false又有什么样的性质与图像呢？
1. 幂函数的定义
定义 当指数false固定，形如等式
false
确定了变量false随变量false变化的规律，且对于false允许取值范围内的每一个值，都有唯一个false与之对应，称为指数为false的的幂函数.
定义 当指数false固定，形如等式
false
确定了变量false随变量false变化的规律，且对于false允许取值范围内的每一个值，都有唯一个false与之对应，称为指数为false的的幂函数.
其中使得false有意义的false的取值范围，称为此幂函数的定义域. 根据前面的指数幂的课程我们知道，指数false不同时，幂函数的定义域也可以不同.
0108585例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）求下列函数的定义域：
（1）false；
（2）false；
（3）false.
【答案】
（1）R； （2）false ； （3）false，false，false；
总结：false的定义域：
false
false
false定义域
false定义域
奇数
奇数
false
false
奇数
偶数
偶数
偶数
偶数
奇数
false
false
0120015例1.2
例1.2
（2019七宝中学期中★☆☆☆☆）若false是幂函数，则false__________.
【答案】-32
【解答】
解：falsefalse是幂函数，
false，解得false，
false，
false．
故答案为：false．
0106045练习1
练习1
（新课程优选★★☆☆☆）幂函数false的定义域为false，则false________.
【答案】false
【解答】
解：false函数false为幂函数，
故false，且false，
解得：false，或false，false，
当false时，函数false的定义域为false，不满足条件；
当false时，函数false的定义域为false，满足条件；
综上所述：false，
false，
故答案为：false
2. 幂函数的图像与性质
我们在初中已经学过false的图像，而函数图像是直观理解变量间关系的一个重要手段，函数图像在高中也占据着十分重要的地位.那么当幂函数false中的false取其他值时，幂函数的图像又是什么样子？
在平面直角坐标系中把满足false的一切点false描绘出来，就构成幂函数false的图像.
以falsefalse为例，通过列表描点（这里可以使用科学计算器的列表功能）后在直接坐标系中描出函数的图像，也可以使用图形计算器或计算机的相应软件很方便的画出对应函数的图像：
false
false
false
false
false
false
false
false
-5
-125
无意义
-1.70998
无意义
0.04
无意义
-0.5848
-2
-8
-1.25992
0.25
-0.7937
-1
-1
-1
1
-1
-0.5
-0.125
-0.7937
4
-1.25992
-0.25
-0.015625
-0.62996
16
-1.5874
0
0
0
0
0
无意义
无意义
0.25
0.015625
0.125
0.629961
0.39685
16
2
1.587401
0.5
0.125
0.353553
0.793701
0.629961
4
1.414214
1.259921
1
1
1
1
1
1
1
1
2
8
2.828427
1.259921
1.587401
0.25
0.707107
0.793701
5
125
11.18034
1.709976
2.924018
0.04
0.447214
0.584804

false的图像 false的图像

false的图像 false的图像

false的图像 false的图像
false的图像
由以上的图像，我们可以看到，虽然不同指数false对应的幂函数false的图像不同，但我们可以发现一些共性，以及根据false的值，分析其性质.
上面的幂函数中，所有的函数图像都经过false点，且如果false时有意义，也都经过false点.
观察上面的图像，其中false，false的定义域为false，false的定义域false而且对于其图像上任意一点false，这个点关于坐标原点false的对称点false也在函数图像上. 他们的图像是关于坐标原点中心对称的.
函数false和false的定义域分别是false和false，且对于其图像上任意一点false，这个点关于false轴对称的点false也在函数图像上. 他们的图像是关于false轴对称的.
总结 false的图像的性质：
（1）总在第一象限有图像，且总过定点false；
（2）false有意义时，总过定点false；
（3）当false为偶数时，图像关于false轴对称；当false，false均为奇数时，图像关于原点中心对称.
总结 false的图像的性质：
（1）总在第一象限有图像，且总过定点false；
（2）false有意义时，总过定点false；
（3）当false为偶数时，图像关于false轴对称；当false，false均为奇数时，图像关于原点中心对称.
-63585725例2.1
例2.1
1、（2020浦东新区期末★☆☆☆☆）false在幂函数false的图像上，则该幂函数的表达式为 ．
2、（2020杨浦区校级期末★☆☆☆☆）已知幂函数false的图像不经过原点，则实数false________.
3、（2021宝山区校级月考★★☆☆☆）幂函数false为正整数）的图像一定经过第________象限．
4、（2016宝山区校级月考★★☆☆☆）幂函数false的图像与坐标轴无公共点，且关于false轴对称，则false的值为__________．
【答案】1、false； 2、3； 3、一、二； 4、1
【解答】
1、解：falsefalse在幂函数false的图像上，
falsefalse，
解得：false，
false幂函数的表达式为false，即false．
2、2、解：根据题意，得
false；
解false，
得false，或false；
当false时，false，满足题意；
当false时，false，不满足题意；
false．
故答案为：3．
3、false幂函数false为正整数）为偶函数，故它的图像关于false轴对称，
又函数的图像经过原点，和点false，1 false，在false上单调递增，
故它的图像一定经过第一、第二象限，
故答案为：一、二．
4、解：与坐标轴无公共点，且关于false轴对称，图像只能在一二象限，且false，且false是偶数，false．
解得：false，
故答案为：1．
上面的总结中，幂函数false在第一象限总有图像，而在其他象限，则可以通过定义域与其对称性来确定. 因此我们往往只需研究幂函数在第一象限的图像与性质.
此外，此时false是个有理数，而在前面我们已经经指数拓展到实数，即当false，false时，false总有意义.即对任意幂函数false，其在第一象限总有定义.
我们利用画图工具画出false在第一象限的图像：
-248285581025y=x
y=x√5
y=x12
y=x0
y=x?1
y=x
y=x√5
y=x12
y=x0
y=x?1
441960801370y=x?2
y=x?2
通过图像我们可以发现：在第一象限，对于幂函数false，当false时，false总是随着false的（严格）增加而（严格）增加；当false时，false总是随着false的（严格）增加而（严格）减少.前者称为严格递增，后者则称为严格递减.
这是函数的非常重要的一个性质：单调性. 我们将在秋季对其进行深入的研究.
此外，我们可以看到，
当false时，虽然都是严格递增，但false越大，对应的幂函数上升的越快.
当false时，虽然都是严格递减，但false越小，对应的幂函数下降的越快.
085090例2.2
例2.2
1、（2021长宁区高一期末★★★☆☆）在同一直角坐标系中，二次函数false与幂函数false图像的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
2、（2020浦东新区校级月考★★☆☆☆）已知幂函数false的图像满足：当false时，在直线false上方；当false时，在直线false下方，则实数false的取值范围是________.
3、（新课程优选★★☆☆☆）如图，给出幂函数false在第一象限内的图像，false取false，false四个值，则相应于曲线false，false，false，false的false依次为________.
【答案】1、A； 2、false； 3、false
【解答】
1、对于A，二次函数false开口向上，则false，其对称轴false，则false，即幂函数false为减函数，符合题意；
对于B， 二次函数false开口向下，则false，其对称轴false，则false，即幂函数false为减函数，不符合题意；
对于C，二次函数false开口向上，则false，其对称轴false，则false，即幂函数false为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；
对于D， 二次函数false开口向下，则false，其对称轴false，则false，即幂函数false为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；
故选：A
2、解：false幂函数false的图像满足：当false时，在直线false上方；当false时，在直线false下方，
其图像如图，
由图像可知，false．
若false，符合题意．
故答案为false．
3、解：做直线false，与四个函数图像从上到下的交点依次记为false、false、false、false
而false，从而相应于曲线false，false，false，false的false依次为false
故答案为：false
0132080例2.3
例2.3
（新课程优选★☆☆☆☆）比例下列各组数的大小.
（1）false和false；（2）(–2)–3和(–2.5)–3；
（3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）false和false.
【答案】（1）falsefalse；；（2）(–2)–3＜(–2.5)–3；（3）1.1–0.1＞1.2–0.1；（4）false＜false.
099060例2.4
例2.4
1、（新课程优选★★☆☆☆）已知false，false，false，则（ ）
A．false B． false C．false D．false
2、（新课程优选★★☆☆☆）已知实数a，b满足false，则下列各式中正确的是
A．false B．false
C．false D．false
3、（2016延安中学高一期末★★☆☆☆）若false，则false的大小关系为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】1、B； 2、D； 3、C
【解答】
1、由指数函数false为false上为单调递减函数，由false，可得false，即false，
又由幂函数false在false上为单调递增函数，由false，可得false，即false，
综上可得false.
故选：B.
2、当false时，幂函数false在false上为增函数，
所以当false时有false，
因为false，
所以指数函数false在false上为减函数，
因此有 false，
所以有：false
故选：D
3、由题知：false.
因为幂函数false在false为增函数，所以false.
069215例2.5
例2.5
1、（2018徐汇区校级期末★☆☆☆☆）已知实数false满足false，则实数false的取值范围是________.
2、（2012上海期中★☆☆☆☆）使不等式false成立的实数false的范围是_________.
【答案】1、false； 2、false，false，false
【解答】
1、解：false实数false满足false，
falsefalse，
解得false，
false实数false的取值范围是false．
故答案为：false．
2、解：false函数false为奇函数，且在false和false上均为减函数
故不等式false可化为
false①或false②或false③
不等式①无解
解②得false
解③得false
故实数false的范围是false，false，false
故答案为：false，false，false
3. 简单的分式函数的图像与性质
36195104140例3.1
例3.1
（课本P86例题★★☆☆☆）
（1）已知函数false和false，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像.
（2）已知函数false和false，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像.
【解答】
（1） 在幂函数false的图像上任取一点false，易得点false一定在函数false的图像上，而将点false向右平移两个单位就得到函数false的图像.反之，将函数false的图像向左平移两个单位就得到函数false的图像，见下图.
（2）将false整理变形，得false.若点false在函数false的图像上，则点false就一定在函数false的图像上，即将点false向上平移1个单位就与点false重合.因此，将函数false的图像向上平移1个单位就得到函数false的图像.反之，将函数false的图像向下平移应该单位就得到函数false的图像，见下图.
062230例3.2
例3.2
（课本P87习题★★★☆☆）已知函数false.问：是否存在整数false，使该函数在false上严格递减，并且函数值不恒为负？若存在，找出一个满足此条件的false；若不存在，请说明理由.
【解答】false整理变形：false
作出false的图像，向左平移两个单位得到false的图像.
函数false在false上严格递减于是有false，
在false上函数值不恒为负，有false，
解得：false.故可取false.
随堂练习
1．（2021上海高一期末★☆☆☆☆）函数false的定义域为_______．
【答案】false
【详解】
false，所以，false.
因此，函数false的定义域为false.
故答案为：false.
2. （2019杨浦区校级期末★☆☆☆☆）已知常数false，如图为幂函数false的图像，则false的值可以为false )
A．false B．false C．false D．false
【答案】false
（1）解：根据幂函数false的图像关于false轴对称，函数是偶函数，排除false、false选项；
再根据幂函数false的图像在第一象限内从左到右下降，是单调减函数，
所以false，排除false，即false选项正确．
故选：false．
3．（2021·上海上外浦东附中高一期末）已知幂函数false的图像关于false轴对称，与false轴及false轴均无交点，则由false的值构成的集合是__________．
【答案】false
【详解】
由幂函数false与false轴及false轴均无交点，
得false，
解得false，
又false，即false，
false的图像关于false轴对称，
即函数为偶函数，故false为偶数，
所以false，
故答案为：false.
4．（2021·上海杨浦区·复旦附中高一期末）不等式false的解集为____.
【答案】false
【详解】
不等式false等价于false
因为false在false上单调递增，
所以false，化简得：false
所以false.
故答案为：false.
5. （课本P87练习★★☆☆☆）作函数false的大致图像
【解答】

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