资源简介

1259840011734800高一暑假数学第14讲
函数的概念与表示
高一暑假数学第14讲
函数的概念与表示

我们在之前的学习中，已经不停的遇到和应用各种函数，例如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数及对数函数.
这些函数，都是两个变量之间的依赖关系，且其中一个变量的值随另一个变量的值得确定而按一定的对应法则唯一确定.
1. 函数的概念与要素
定义 设false是一个非空数集，且对false中任意给定的实数false，按照某种对应法则，都有唯一确定的实数值false与之对应，则这种对应关系称为集合false上的一个函数，记作
false.
定义 设false是一个非空数集，且对false中任意给定的实数false，按照某种对应法则，都有唯一确定的实数值false与之对应，则这种对应关系称为集合false上的一个函数，记作
false.
其中false叫做自变量，其取值范围（数集false）称为该函数的定义域.
其中对应法则常用小写字母，如false等表示.
如果false存在具体的数学表达式，就称该表达式为该函数的解析式.
对于自变量false，由法则false所确定的与false对应的值false，称为函数在false处的函数值，记作false.
所有函数值组成的集合false称为这个函数的值域.

根据函数的定义，在定义域和对应法则确定的时候，这个函数就完全被确定了，值域也就随之被确定.
因此如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.
我们在之前学习具体的函数时，如false，false，false，只注明了其对应法则，此时则默认其定义域是使得其解析式有意义的全体实数.这里false的定义域为false，值域为false，false的定义域为false，值域为false，false的定义域为false，值域为false.
但有时候我们只想研究在某个区间上函数的变化时，会明显注明定义域，或者在实际问题中，函数的定义域会受到问题实际意义的制约.
例如函数false和函数false，就是两个不同的函数.
而当我们表示一个2006年出生的人，其年龄（周岁）false与年份false的函数关系时，false，其定义域为false，即不小于2006的整数全体.
0122555例1.1
例1.1
1、（2020嘉定区期末★☆☆☆☆）函数false的定义域为 ；
2、（2020奉贤区期末★☆☆☆☆）设集合false，则false ；
3、（新课程优选★☆☆☆☆）函数false得定义域为__________.
【答案】1、false，false； 2、false； 3、false.
总结 常见的使得解析式有意义的制约：
（1）分母不为0：falsefalse；
（2）偶次方根被开方数非负：falsefalse；
（3）false次幂底数不为0：false;
（4）指数函数的底大于0且不为1：falsefalse；
（5）对数函数的底大于0且不为1，真数大于0：false且false，false.
总结 常见的使得解析式有意义的制约：
（1）分母不为0：falsefalse；
（2）偶次方根被开方数非负：falsefalse；
（3）false次幂底数不为0：false;
（4）指数函数的底大于0且不为1：falsefalse；
（5）对数函数的底大于0且不为1，真数大于0：false且false，false.
0121920例1.2
例1.2
1、（新课程优选★☆☆☆☆）若函数false，false，则false__________；
2、（2018上外附中高一月考★☆☆☆☆）已知函数false，false，则false____________.
【答案】1、falsefalse； 2、false
0129540例1.3
例1.3
（2020松江区期末★☆☆☆☆）下列各组函数中，表示同一函数的是false　　false
A．false，false
B．false
C．false，false
D．false，false，0，false，false，false，0，false
【答案】D
【解答】
false．false的定义域是false，false的定义域是false，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
false．false，false，false的定义域是false，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
false．false的定义域为false，false的定义域是false，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
false．false对应点的坐标为false，false，false，false对应点的坐标为false，false，false，
两个函数对应坐标相同，是同一函数，
故选：false．
090805例1.4
例1.4
（2020青浦区期末改★★☆☆☆）求下列函数的值域：
（1）false，false，false；
（2）false，false，false；
（3）false；
（4）false.
【答案】（1）false，false； （2）false； （3）false； （4）false
099060例1.5
例1.5
（新课程优选★★☆☆☆）求下列函数的值域：
（1）false
（2）false；
（3）false;
【答案】（1）false； （2）false； （3）false；
（1）false，
∴在false上，false，即值域为false.
故答案为：false.
（2）false，当false时单调递增，
当false时单调递增，false，
所以函数false的值域是false；
（3）false，令false，则false，
所以false，所以false
060325例1.6
例1.6
（新课程优选★★★☆☆）求下列函数的值域：
（1）false；
（2）false.
（3）falsefalse
【答案】（1）false; （2）false； （3）false；
【解答】
（1）false与false都是严格递增的，所以false，即值域为false
（2）false，当false时，false，
当false时，false，当false，
所以函数false的值域是false；
（3）由false，则false当且仅当false时等号成立，
∴函数值域为false.
故答案为：false.
099060例1.7
例1.7
1、（2019嘉定区期末）已知函数false的值域为false，false，则其定义域是 ．
2、（2020上海中学期中）函数false的值域是false，false，false，则其定义域是　　 ．
【答案】1、false，false； 2、false，false，false
【解答】
1、解：false的值域为false，false，
falsefalse，解得false，
false的定义域是false，false．
故答案为：false，false．
2、解：false函数false的值域是false，false，false，
false，false．
当false时，
false，
解得：false．
当false时，
false，
解得：false．
所以定义域为：false，false，false．
故答案为：false，false，false．
函数的值域在数学上和在生活中都有着至关重要的作用，我们在秋季还将遇到更加复杂的函数，并深入学习各类求函数值域的模型与方法.
2. 函数的表示
我们常用三种办法来表示函数，这三种我们在之前也都使用过：解析法、列表法，和图像法.
用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种方法叫作解析法.例如false等等.
在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间可以有不同的表达式，例如函数false就是通过false来定义的，这样表示函数的方法叫做分段表示法.
列表法就是通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法，列表法常用在定义域为有限集的情况.若定义域是无限集，列表法只能反映一部分自变量与其对应的函数值.例如在学习幂函数时，为了绘画图像，我们列的表.
false
- 2
-1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
1
2
false
-8
-1
-0.125
-0.01563
0
0.015625
0.125
1
8
此外，对于函数false，其定义域中每一个false的值都有唯一一个函数值false与之对应，把这两个对应的数构成的有序实数对false作为点的坐标，所有这些点组成的集合false叫做函数false的图像，即
false.
可以看出，对于函数false，其定义域false内任意一一个实数false，及其对应的函数值false，点false一定在该函数的图像上；反之，如果点false在该函数的图像上，那么必有false且false.
图像法就是利用函数的图像来表示函数的方法.
我们已经在之前学习过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的图像，以及简单的分式函数的图像.
图像同样无法精准的表示函数，而且当定义域足够大时，难以表示函数的全部.但函数的图像可以直观的帮助我们了解函数的性质.“数形结合”也是我们学学习函数重要方法之一.
0120015例2.1
例2.1
（新课程优选★☆☆☆☆）设false，false，函数false的定义域为false，值域为false，则false的图象可以是false　　false
A． B．
C． D．
【答案】false
0190500例2.2
例2.2
（2020杨浦高级中学高一期末★★★☆☆）函数false的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为函数的定义域为false，所以A不符合题意，
当false时，false，false，则false，所以B不符合题意，
当false趋向于无穷大时，false的增长速度快于false的增长速度，所以对的false趋向于零，所以D不符合题意，C符合题意，
故选：C
0137160例2.3
例2.3
（新课程优选★★☆☆☆）已知直角三角形的周长为false，试用解析式将该直角三角形的面积S表示成关于其一条直角边长x的函数.
【答案】false
【详解】
false一条直角边长x，设另一条直角边的边长为false，则false，
由勾股定理得：false，
falsefalse，两边平方得：false，
falsefalse，将false代入并化简得：false，
故答案为： false.
0146050例2.4
例2.4
（2018浦东新区期末★★★☆☆）某地的出租车价格规定：起步费11元，可行驶3千米；3千米以后按每千米2.1元计价，可再行驶7千米；以后每千米都按3.15元计价．
（1）写出车费false（元false与行车里程false（千米）之间的函数关系式．
（2）在右侧的坐标系中画出（1）中函数的图象．
（3）现某乘客要打车到14千米的地方，有三个不同的方案打出租车．甲方案：每次走完起步费的路程后就重新打出租车，直到走完全部路程；乙方案：先乘出租车走完10千米的路程，再重新打出租车一直走完剩下的路程；丙方案：只乘一辆出租车到底．试比较哪种方案乘客省钱？
【解答】解：（1）false，
（2）
（3）甲方案：需要5次打车，共计打车费用为55元；
乙方案：10千米的路程费用为false（元false，
剩下的4千米的费用：false（元false
乙方案共计费用为false（元false，
丙方案：false（元false
所以，丙方案乘客省钱．
随堂练习
1.（2018延安中学高一期中★☆☆☆☆）若函数false,false，则false_____________
【答案】false(false)
【详解】
false 函数false
false false,(false)
故答案为:false(false).
2.（2021杨浦高级中学高一期末★☆☆☆☆）已知函数false的图象如图所示，则该函数的值域为________________.
【答案】false
3.（新课程优选★★☆☆☆）已知A，B两地相距false，汽车以false的速度由A地开往B地，求距离B的路程false与行驶时间false的函数关系式．
【答案】false
【详解】
因为汽车以false的速度由A地开往B地，
所以t小时后汽车行驶了falsekm，
又因为A，B两地相距false，
所以距离B的路程为false，
又因为false，
解得false，且false，
所以false
所以距离B的路程false与行驶时间false的函数关系式为false
4.（新课程优选★★☆☆☆）若false，false，false.
（1）分别求false与false的定义域；
（2）求false的定义域与值域；
（3）在平面直角坐标系内画出函数false的图象，并标出特殊点的坐标.
【答案】
（1）false的定义域为false，false的定义域为false；
（2）false的定义域是false，false的值域是false；
（3）图象见解析.
【详解】
（1）对于函数false，false，则函数false的定义域为false.
对于函数false，有false，解得false且false，
所以，函数false的定义域为false；
（2）false，定义域为false.
由基本不等式可得false，当且仅当false时，等号成立.
因此，函数false的值域为false；
（3）函数false，false为双勾函数图象的一部分，如下图所示：

展开更多......

收起↑