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高一暑假数学第1讲
集合的意义、表示与关系
高一暑假数学第1讲
集合的意义、表示与关系
在现实生活和数学中，我们常把一些对象放在一起，作为整体加以研究，例如：
（1）十二星座：白羊座、金牛座、双子座、巨蟹座、狮子座、处女座、天秤座、天蝎座、射手座、摩羯座、水瓶座、双鱼座；
（2）八卦：乾（?）、坤（?）、震（?）、艮gèn（?）、离（?）、坎kǎn（?）、兑（?）、巽xùn（?）；
（3）平面直角坐标系第一、三象限的点的全体；
（4）至少有一组对边平行的四边形的全体；
（5）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29；
（6）不等式false的解的全体.
在小学和初中，我们通常是把对象罗列在一个框图内来表示具有某一特征的全体对象（或用文字加以描述这些对象）.
显然，这样的表述冗长，又不便于推广使用. 因此，我们有必要引进新的语言或符号来描述这种特定的对象组成的整体，这就是我们将要学习探究的内容“集合”.
集合的意义
定义 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.
集合所含的各个对象叫做这个集合的元素.
定义 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.
集合所含的各个对象叫做这个集合的元素.
集合常用大写字母false表示，集合中的元素用小写字母false表示.
如果false是集合false的元素，记作“false”，读作“false属于false” ；如果false不是集合false的元素，记作“false”，读作“false不属于false”.
例如，由2，3，5，7，11，13，17，19，23，29组成的集合为false，那么false，false.
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的.即任何一个对象，要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一.譬如，至少有一组对边平行的四边形的全体组成集合false，则三角形不是集合false的元素，而正方形则是集合false的元素.
对于一个给定的集合，集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.
相等集合：如果组成两个集合false与false的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作false.
相等集合：如果组成两个集合false与false的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作false.
-63585725例1.1
例1.1
（新课程优选★☆☆☆☆）下列所给对象不能构成集合的是________.
（1）2021年上海中考试卷上所有的难题；
（2）古代中国有名的诗人；
（3）中国的大城市；
（4）不超过false的正整数；
（5）上海所有的聪明人.
【答案】（1）（2）（3）（5）
0132715例1.2
例1.2
（新课程优选★☆☆☆☆）
（1）用 false中的某些数组成的集合中最多含有 个元素；
（2）由元素false 组成的集合，与由元素false组成的集合有区别么？
【答案】（1）3个 （2）没有区别
思考：集合的元素有哪些性质？
思考：集合的元素有哪些性质？
总结 集合的元素的性质：确定性，互异性，无序性.
总结 集合的元素的性质：确定性，互异性，无序性.
091440例1.3
例1.3
（新课程优选★★☆☆☆）已知集合false有两个元素：false，集合false有两个元素：false，且false，则false的值为 .
【答案】0
092710例1.4
例1.4
（2020黄浦区校级月考★★☆☆☆）已知集合false有两个元素：false，若false，则实数false的值为　　 .
【答案】?1
【解答】
false，false，false，
所以false或false，
所以false或false，
当false时，false，false与元素的互异性矛盾，
当false时，false，false.
故答案为：false.
317581915例1.5
例1.5

（2013大同中学高一上期中改★★★☆☆）集合false的三个实数元素可表示为false，也可表示为false，求false的值.
【答案】1
【解答】
由false，可得false，false（否则不满足集合中元素的互异性）.
因为含有三个实数的集合可表示为false，也可表示为false，false，false，
所以false或false解得false或false
经检验false，false满足题意.
所有false.
2. 集合的分类
（1）按照集合中元素的数量分类
有限集：元素个数为有限的集合称为有限集；
无限集：元素个数为无限的集合称为无限集；
空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作false. 所有的空集都是相等的 .
有限集：元素个数为有限的集合称为有限集；
无限集：元素个数为无限的集合称为无限集；
空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作false. 所有的空集都是相等的 .
例如，方程false的实数解所组成的集合是空集. 又如当两条直线平行时，他们没有公共点，就可以说这两条直线的公共点组成的集合是空集.
0133350例2.1
例2.1
（新课程优选★☆☆☆☆）判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由：
（1）6的正倍数的全体组成的集合；
（2）600的正约数的全体组成的集合.
【答案】（1）无限集； （2）有限集
【解答】
（1）6的正倍数可表示为6n，其中false是正整数.因为正整数有无限个，所以6的正倍数组成的集合是无限集；
（2）600的正约数一定是小于或等于600的正整数，其个数不超过600，所以600的正约数组成的集合是有限集；
拓展：false，三个2有4种选择（0~3个），一个3有两种选择，两个5有3种选择，其正约数个数为false个.
（2）按元素类型分类
元素的类型有数，点，平面图形（例如三角形），动物，植物等等，甚至一个集合本身也可以成为另一个集合的元素.数学上，常用到数的集合和点的集合.
数集：数的集合简称数集.
点集：点的集合简称点集.
数集：数的集合简称数集.
点集：点的集合简称点集.
常用数集的符号：
数集
符号
自然数集
false
整数集
false
正整数集
false
有理数集
false
实数集
false
点集示例：平面直角坐标系中一三象限所有点的集合.
0110490例2.2
例2.2
（新课程优选★☆☆☆☆）
集用符号“false”或“false”填空：
（1）false false； （2）false false；
（3）false false； （4）false false.
集合false是一次函数false图像上的点的集合；
直线false的解析式为：false；
集合false是由所有斜率为false的直线的全体所组成的集合；
（5）false false； （6）false false.
【答案】（1）∈； （2）∈； （3）?； （4）∈； （5）∈； （6）∈
61595014605思考： （拓展）长度为1的线段和长度为2的线段，哪条线段上的点更多？
思考： （拓展）长度为1的线段和长度为2的线段，哪条线段上的点更多？
一样多，如下图所示，两条线段上的点可以构建一一对应的关系.（不是因为都是无限个就一样多）.
3. 集合的表示
除了用自然的语言描述集合，我们还有一些其他方法用来表示集合.
（1）列举法与描述法
列举法：将集合中的元素不重复地一 一列举出来并写在一对大括号内 .
列举法：将集合中的元素不重复地一 一列举出来并写在一对大括号内 .
例如，方程false的解组成的集合可以表示成false，或者false也可以.
描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即
false满足性质false.
描述法：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即
false满足性质false.
例如，方程false的解组成的集合可以表示成false.
0200025例3.1
例3.1
（新课程优选★☆☆☆☆）用列举法表示下列集合：
（1）所有不大于10的正整数组成的集合；
（2）方程false的解组成的集合；
（3）集合false中任意两个不同元素之和组成的集合.
【答案】（1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}； （2）{1,2,3,4}； （3）{3,4,5,6,7}；
能用列举法表示的集合一般是有限集.对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示，例如全体正偶数组成的集合可以表示为false.
0128905例3.2
例3.2
（新课程优选★☆☆☆☆）用描述法表示下列集合：
（1）所有不大于100的正整数组成的集合；
（2）第一象限所有的点组成的集合；
（3）不等式false的解组成的集合；
【答案】（1）{x|x≤100,x∈N?}；（2）{(x,y)|x>0,y>0}；
（3）{x|x2?3x+2>0}；
092710例3.3
例3.3
（新课程优选★★☆☆☆）已知集合false，false，false，试判断下列元素与这三个集合之间的关系：
（1）false； （2）false； （3）false； （4）false.
【答案】（1）1∈A,1∈B,1?C；
（2）?1∈A,?1?B,?1?C；
（3）(0,0)?A,(0,0)?B,(0,0)∈C；
（4）(?1,1)?A,(?1,1)?B,(?1,1)∈C
078105例3.4
例3.4
（新课程优选★★☆☆☆）下列集合中能表示整数集的是 .
（A）false （B）false
（C）false （D）false
【答案】D
086995例3.5
例3.5
（新课程优选★★☆☆☆）已知集合false，false，false，试确定集合false的元素的个数.
【答案】19.
【解答】
∵集合false的元素是1false19的奇数，集合false的元素是2false10的偶数，
∴集合false的元素为3false39的奇数.而3false39的奇数共有19个.
∴集合false的元素的个数是19.
317591440例3.6
例3.6
（新课程优选★★★★）设false是两个整数平方差的集合，即false.证明：
（1）若false，则false；
（2）若false，false，则false，其中false是有理数.
注：一个数是有理数，当且仅当它可以表示成两个整数的商false.
【解答】
证明：
（1）由false，可设
false，
其中false均为整数，于是
false
即false是两个整数的平方差， 故false.
（2）由于false，由（1）知false.令false，false.
又false，因此false.
而false、false 均为有理数.故命题得证.
（2）区间法与图示法
数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成的集合.为了方便起见，我们引入区间的概念，
当false且false时，规定：
（1）满足不等式false的全部实数false所组成的集合称为闭区间，记为false；
（2）满足不等式false的全部实数false所组成的集合称为开区间，记为false；
（3）满足不等式false或false的全部实数false所组成的集合称为半开半闭区间，分别记为false与false.
这里的实数false统称为这些区间的端点.
（1）满足不等式false的全部实数false所组成的集合称为闭区间，记为false；
（2）满足不等式false的全部实数false所组成的集合称为开区间，记为false；
（3）满足不等式false或false的全部实数false所组成的集合称为半开半闭区间，分别记为false与false.
这里的实数false统称为这些区间的端点.
区间在数轴上的表示如下：
119951588265
此外，满足不等式false或false的全部实数false所组成的集合可分别用区间符号表示为false，false，false与false.
实数集false可用区间表示为false.（符号“false”读作无穷）
图示法：
数学上还可以用图像来直观的表示集合，根据不同的场景可以选用不同的图像.例如：
（1）数轴：常用来表示区间，如上所示；
（2）平面直角坐标系：用直角坐标系中的区域来表示点集；例如圆心在原点，半径为1的圆内的点组成的集合；
（3）文氏图（也叫韦恩图，Venn图）：基本想法就是用一个简单的、通常以圆、椭圆或矩形等为边界的平面图形来表示一个集合.在后面要学习到的集合之间的关系和集合的运算中会经常用到.
图示法：
数学上还可以用图像来直观的表示集合，根据不同的场景可以选用不同的图像.例如：
（1）数轴：常用来表示区间，如上所示；
（2）平面直角坐标系：用直角坐标系中的区域来表示点集；例如圆心在原点，半径为1的圆内的点组成的集合；
（3）文氏图（也叫韦恩图，Venn图）：基本想法就是用一个简单的、通常以圆、椭圆或矩形等为边界的平面图形来表示一个集合.在后面要学习到的集合之间的关系和集合的运算中会经常用到.
3123565192405
081915例3.7
例3.7
（新课程优选★☆☆☆☆）
1. 用区间表示下列集合，并在数轴上画出来：
（1）false；
（2）不等式false的解组成的集合；
2. 在平面直角坐标系中表示出以下点集：
（3）第一、三象限角平分线与x轴之间的点所组成的集合；
（4）false.
【答案】（1）false； （2）false ；
（3） （4）

086360例3.8
例3.8
（2010徐汇区二模★★★☆☆）已知false时，集合false，false有且只有3个整数，则false的取值范围是 .
【答案】?1【解答】
根据题意，有false，即false，
false，false，集合false，false中必然含有元素1，
集合false，.false.有且只有3个整数，分3种情况讨论：
①若这三个元素为1、2、3，则必有false，false，无解，
②若这三个元素为0、1、2，则必有false，false，解可得false，
③若这三个元素为false、0、1，则必有false，false，无解，
综合可得false.
4. 集合之间的关系
在现实生活和数学中，我们常常会遇到集合之间的如下关系：
（1）false是本班所有女生组成的集合，false是本班所有学生组成的集合；
（2）false是一平面上所有矩形组成的集合，false是该平面上所有四边形组成的集合；
（3）false；
（4）false，false是奇数false
容易发现，在上述每组集合中，集合false中的每个元素都属于集合false.但第（1）（2）组和第（3）（4）组不同：
第（1）（2）组，false中有些元素不属于false；
第（3）（4）组，集合false中的每个元素也都属于集合false. 即false与false的元素是完全相同的，所以false.
这些集合之间的关系是非常的常见的.
定义 对于两个集合false与false，如果集合false的每个元素都是集合false的元素，那么集合false叫做集合false的子集，记作false（或false），读作“false包含于false”（或“false包含false”）
定义 对于两个集合false与false，如果集合false的每个元素都是集合false的元素，那么集合false叫做集合false的子集，记作false（或false），读作“false包含于false”（或“false包含false”）
定义 对于两个集合false与false，如果false，且集合false中至少有一个元素不属于集合false（即false不是false的子集），那么称集合false是集合false的真子集，记作false（或false），读作“false真包含于false”（或“false真包含false”）
定义 对于两个集合false与false，如果false，且集合false中至少有一个元素不属于集合false（即false不是false的子集），那么称集合false是集合false的真子集，记作false（或false），读作“false真包含于false”（或“false真包含false”）
我们常用文氏图来直观表示集合以及集合之间的关系.如下图，是false的文氏图.
对于集合之间的包含关系，有以下结论：
（1）false；
（2）传递性：若false且false，则false；
（3）若false，则false或false
对于集合之间的包含关系，有以下结论：
（1）false；
（2）传递性：若false且false，则false；
（3）若false，则false或false
思考：常用数集之间有没有包含关系？
思考：常用数集之间有没有包含关系？
解：
false
084455例4.1
例4.1
（新课程优选★★☆☆☆）确定下列每组中两个集合之间的关系：
（1）false是false的正约数false，false；
（2）false，false；
（3）false，false；
（4）false，false
【答案】（1）A?B；（2） C?D；（3） E?F；（4） G=H.
【解答】
（1）false，所以false；
（2） false，false，所以false，又false，即存在false，所以false；
（3）false，false，false是所有奇数除以2的值的集合，false是所有整数除以2的值的集合，所以 false；
（4）false是所有偶数组成的集合，false也是所有偶数组成的集合，所以false.
0126365例4.2
例4.2
（新课程优选★★☆☆☆）用恰当的符号填空：
（1）false false ； （2）false false；
（3）false false； （4）false false；
【答案】（1）?； （2） ?； （3）=； （4） ?或∈.
0222250例4.3
例4.3
（2019进才中学月考★★☆☆☆）集合false，在下列集合中：
①false； ②false；
③false，false； ④false，false；
与集合false相等的集合序号是 .
【答案】①②④
【解答】
①false是有理数，false也是有理数，故与集合false相等；
②false，
因为false都是有理数，符合集合false的形式，故与集合false相等；
③false，则false；
④令false，则，false，
因为false，.false.都是有理数，符合集合false的形式，与集合false相等；
故答案为：①②④.
//例4.4为集合的关系与方程/不等式结合的问题，将在秋季进行专题系统讲解0229235例4.4
例4.4
（2019嘉定区高一上期中★★★☆☆）若集合false，false，false，false，则实数false的取值范围是 　　.
【答案】[1,+∞)
【解答】
因为false，false，false
所以：false，false，false，false，false，
①由△false，解得false，
false时，false，满足条件.
②若△false，解得false，可得false，解得false，因此false，不可能等于false.
③当△false时，解得false.若false，false，则false（韦达定理），不成立，舍去.
综上可得：实数false的取值范围为false，false.
故答案为：false，false.
866140394335思考：集合falsefalse的子集一共有多少个？
思考：集合falsefalse的子集一共有多少个？
5. 子集的数量
集合false的子集为：false，共1个；
集合false的子集为：false，false，共2个；
集合false的子集为：false，false，false，false，共4个；
集合false的子集为：false，false，false，false，false，false，false，false，共8个；
那么集合falsefalse呢？
定理 若集合中有false个元素（false），则有false个子集，false个非空子集，false个真子集，非空集合有false个非空真子集.
定理 若集合中有false个元素（false），则有false个子集，false个非空子集，false个真子集，非空集合有false个非空真子集.
证明：
集合falsefalse，
则对于集合false的任一子集，false每个元素都有两种可能：属于或不属于这个子集，乘法原理得到：共false种可能，即false个子集，进而false个非空子集，false个真子集.
0126365例5.1
例5.1
（2017交大附中月考★★☆☆☆）集合false，则A的非空真子集的个数是（　　）
A.62 B.126 C.254 D.510
【答案】B
【解答】
∵4﹣|2x﹣1|∈N*，
∴x＝2，或x=32，或x＝1，或x=12，或x＝0，或x=?12，或x＝﹣1，
∴A＝{﹣1，?12，0，12，1，32，2}，∴A的非空真子集的个数是27﹣2＝126.
084455例5.2
例5.2
（2016延安中学高一上期中★★☆☆☆）已知集合false满足false，这样的集合false有 个.
【答案】7
【解答】转化为求false的真子集个数，故答案为false
085090例5.3
例5.3
（2019闵行区校级月考★★★★☆）已知集合falsefalse，则false的所有非空子集的元素和为 （只需写出数学表达式）.
【答案】(n2+n)?2n?2
【解答】
若false，2，3，false，
则集合false的所有非空子集中，集合false中的任何一个元素出现的次数都是相等的；
考查1出现的次数，可看成集合false的子集个数，故共有false个1，
故false的所有非空子集的元素和为false
故答案为：false.
随堂练习
1. （新课程优选★☆☆☆☆）由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号).
①不超过π的正整数；
②高一数学课本中所有的难题；
③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；
⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生.
【答案】①④⑤
2. （新课程优选★☆☆☆☆）由false组成一个集合false，false中含有false个元素，则实数false的取值可以是（ ）
A.1 B.false C.6 D.2
【答案】C
3. （新课程优选★☆☆☆☆）用恰当的符号填空：
（1）false false； （2）false false；
（3）false false； （4）false false；
（5）false false； （6）false false；
（7）false false； （8）false false；
（9）false false； （10）{1，2，3} N .
【答案】(1)∈　(2)?　(3)∈　(4)∈　(5)?　(6)∈ （7）? （8）? （9）? (10) ?
4. （交大附中讲义★★☆☆☆）设false，则false　 　.
【答案】{?1,2,3,4}
【解答】
false集合false，且false，
false是false的正约数，
false
false
5.（交大附中讲义★★☆☆☆） 如果集合false，false，false，那么下列结论中正确的是（ ）
A. false B. falsefalsefalse C. false D. false
【答案】C
【解答】
通分得到false，false，
故false集合中分母为所有整数，false集合中分母为所有除以3除不尽的整数，false和false相同，
故false.

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