资源简介

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1.2
集合间的基本关系
第一章
1.理解集合之间的包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.能使用Venn图表达集合的关系.
4.了解空集的含义.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
学习目标
集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？
观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？
（1）A={1，2，3，4}，B={1，2，3}
（2）集合A：高一全体学生，集合B：高一全体男生
（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的
每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说
集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意
一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
记作：B?A，或者B，读作B包含于A，A包含B
新知学习
集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？
【对子集的理解】
（1）若A?B，则有任意，
（2）当集合B中存在不属于集合A的元素时，我们就说集合B不是集合A的
子集，记作或，读作“B不包含于A”或“A不包含B”，
（3）集合中的专业术语只有子集，没有母集或父集
举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有
，，
设集合A={0，1，2}，集合B={|,},求A与B的关系。
【解】由题意易知的情况有如下几种：
0+0=0，
0+1=1，
0+2=2，
1+1=2，
1+2=3，
2+2=4，即有0，1，2，3，4一共5种结果，则：
B={0，1，2，3，4}，所以A
?
B
即时巩固
什么是Venn图？
【答】在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做
Venn图。这样，如果，就可以表示如图：
A
B
【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、
也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【解】由Venn图易知B是A的子集，即，选D
A
B
D
即时巩固
两个集合相等是什么意思？
【答】一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，且集合B的任何
一个元素都是集合A的元素，那么集合A和集合B相等，记作：
A=B
也就是说，若，且，则A=B
【举例说明】
①若集合A：0~10之间的质数；集合B={2，3，5，7}，则A=B
②若集合A：中国的直辖市组成的集合；B={北京，上海，重庆，天津}
则A=B
两个集合相等是什么意思？
【问题】怎样证明或判定两个集合相等？
(2)判定两个集合相等，可把握两个原则：
①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同，
且对应元素分别相同，则两个集合相等
【答】(1)若，且，则A=B，这就给出了证明两个集合相等的
办法，即要证A=B，只需证明，且
②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素
及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B
已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={}，求
【解】由题意B中的元素也是1和-1，
因为≥0，
所以=1，
则=-1或1(舍)
综上，则=-1
即时巩固
什么是真子集？难道还有假子集？
【答】若集合，但存在元素，但，即B中有不属于A的元素
存在，那么就称集合A是集合B的真子集，记作：
A?B
或
B?A
如A={1,2,3}，B={1,2,3,4},则A
?
B
【对真子集的理解】
①理解真子集概念时，需明确A?B，首先要满足
其次要满足至少有一个元素，但
②注意符号“”“”“?”的区别，如A={1,2}，
B={1,2,3}，C={1，2，3}，则A?B，，
③没有“假子集”这个概念
1.写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集
【解】子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
其中真子集有?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}
【分析】可把子集分为三类：
①不含元素的：?
②含有一个元素的
③含有两个元素的
④含有三个元素的
【注意】书写子集的时候千万不要漏掉空集?
即时巩固
2.判断下列各组集合A是否是集合B的子集，说明理由。
(1)A={1，2，3}，B={|
是8的因数}；
(2)A={|
是长方形}，B={|
是两条对角线相等的平行四边形}
【解】(1)因为3不是8的因数，所以集合A不是集合B的子集，
(2)因为长方形的一个定义就是“对角线相等的平行四边形”，
所以A=B，当然有
即时巩固
什么是空集?
【答】我们知道：方程没有实数根，所以方程的实数根组
成的集合总没有元素。
都表示没有的意思
都是集合
都是集合
?是集合，
0是实数
?不含任何元素，{0}含有一个元素0
?不含任何元素，{?}是一个集合，它是由集合组成的一个集合，含有一个元素，这个元素是?
0
?
?
?
?
{0}
?
?
{?}
或
?
∈
{?}
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：
空集是任何集合的子集，并且：空集是任何非空集合的真子集
包含关系{}
A与属于关系有什么区别？
【答】①
{}表示含有一个元素的集合，
{}
A表示集合A包含{}，这是
两个集合之间的关系，如{}
{
}
②
，表示是集合A中的一个元素，这是元素与集合间的关系，如
∈{
}
由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即；
（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么
即：包含关系具有传递性
1.用适当的数学符号填空。
(1)
_____
{}
(2)
0
_____
{}
(3)
?
_____
{|}
(4)
{0，1}
_____
N
(5)
{0}
_____
{}
(6)
{2,1}
_____
{}
=
∈
∈
?
?
=
即时巩固
如何求某个集合子集的个数？
【答】以集合{1,2,3}为例，它的子集可以这么来分析：对于集合{1，2，3}中的每一
个元素1，2，3，在它的子集中都有两种情况：①在子集中
②不在子集中，
如下表：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
{1}
{2}
{3}
{1,2}
{1,3}
{2,3}
{1,2,3}
?
随堂小测
1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　)
A．2个　　　
B．4个
C．6个　　
D．8个
解析　根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1},
四个；故选B．
答案　B
2．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2}　　　
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}　
D．{a|a≥2}
D
3．已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解　因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1，或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．
故实数a的值为1.
课堂小结
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
谢
谢！1.2
集合间的基本关系
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.会用子集与真子集的定义求解相关问题.
1.数学抽象——能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.
2.数学运算——会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.
自主学习·必备知识
要点一
子集
一般地,对于两个集合
，
，如果集合
中①
都是集合
中的元素,就称集合
为集合
的子集,记作
（或②
）
,读作“
包含于
”(或“
包含
”）.
要点二
图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为
图.
要点三
集合
与集合
相等
一般地,如果集合
的任何一个元素都是集合
的元素,同时集合
的任何一个元素都是集合
的元素,那么集合
与集合
相等,记作③
.也就是说,若
,且
,则
.
要点四
真子集
如果集合
,但存在元素
,且
,就称集合
是集合
的真子集,记作
（或④
）
,读作“
真包含于
”(或“
真包含
”）.
要点五
空集
一般地,我们把⑤
的集合叫做空集,记为
,并规定:空集是任何集合的⑥
.
要点六
两个重要结论
1.任何一个集合是它本身的子集,即
.
2.对于集体
，
，
,如果
,且
,那么
.
自主思考
1.
用
图怎么表示？
2.若
，
，则
吗？
3.
与
的含义相同吗？
与
有什么区别?
5.若集合
只有一个子集,则集合
是什么集合?
6.已知
,则满足
的集合
有几个?
名师点睛
1.“
”可以理解为集合
中的任何一个元素都是集合
的元素,即对于任意
都能推出
.不能把“
”理解为“
是
中部分元素组成的集合”,因为集合
可能是空集,也可能是集合
.
2.空集只有一个子集,即它本身,即
;若
,则
.
3.在真子集的定义中,
首先要满足
,其次至少有一个
,但
.若
不是
的子集,则
一定不是
的真子集.
4.若
,且
,则
;反之,若
,则
,且
.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证
,只需证
与
同时成立即可．若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.
互动探究·关键能力
探究点一
集合间关系的判断
精讲精练
例
判断下列各组中集合之间的关系:
（1）
，;
（2）
，
，
;
（3）
，
.
解题感悟
判断集合间关系的方法
（1）观察法:一一列举然后观察.
（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,利用集合元素的特征判断集合间的关系.
（3）数形结合法:利用数轴或
图.
提醒：若
和
同时成立,则
更能准确表达集合
,
之间的关系.
迁移应用
1.判断下列各组集合之间的关系：
（1）
;
（2）
;
（3）
（4）集合
集合
探究点二
求集合的子集（真子集）及其个数
精讲精练
例
（1）写出集合
的所有子集,并求出真子集的个数;
（2）写出满足
的所有集合
.
解题感悟
1.求集合子集或真子集的3个步骤
2.与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合
中含有
个元素,则：
（1）
的子集有
个;
（2）
的非空子集有
个;
（3）
的真子集有
个;
（4）
的非空真子集有
个.
迁移应用
1.已知集合
,试写出
的所有子集.
探究点三
集合间关系的应用
精讲精练
例
已知集合
，
,若
,求实数
的取值范围.
解题感悟
利用集合间的关系求参数问题
（1）利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合（含参数）,另一个为静集合（具体的）,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.
（2）空集是任何集合的子集,因此在解
的含参数的问题时,要注意讨论
和
两种情况,前者常被忽视,造成漏解的现象.
迁移应用
1.已知集合
，
,若
,求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.集合
的子集有(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
2.下列表述正确的有(
)
①空集没有子集;
②任何集合都有至少两个子集;
③空集是任何集合的真子集;
④若
,则
.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.已知集合
,若
,则实数
.
4.（2020江西宜春宜丰第二中学检测）已知集合
，
,若
,则实数
的取值范围是
．
素养演练
数学运算——利用分类讨论思想解决集合间的关系问题
1.已知集合
，
，且
求实数
的所有取值组成的集合.
迁移应用
1.已知集合
，
.
（1）若
为非空集合,求实数
的取值范围;
（2）若
,求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.若
,则(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2.下列图形中,表示
的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.满足关系
的集合的个数是(
)
A.4
B.6
C.8
D.9
4.已知集合
,则下列正确的有(
)
①
;②
;③
;④
.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5.已知集合
，
,则(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2020陕西渭南临渭检测）若集合
,且
中至少含有一个奇数,则这样的集合
有
个.
7.集合
有且仅有两个子集,则实数
的取值为
．
8.（2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中）已知集合
,若
,则
;
的真子集有
个.
9.已知集合
，
.
（1）若
,求
的取值范围;
（2）若
,求
的取值范围.
素养提升练
10.若集合
,集合
,则(
)
A.
B.
C.
D.以上均不对
11.设集合
,集合
,若
，
,则
(
)
A.-1
B.0
C.1
D.
12.设集合
和
,那么
与
的关系为
.
13.已知集合
,则集合
.若集合
满足
,则集合
.
14.设
，
．
（1）若
,试判定集合
与
的关系;
（2）若
,求实数
组成的集合
.
创新拓展练
15.已知集合
,集合
.
（1）是否存在实数
,使得对于任意实数
都有
若存在,求出对应的
的值,若不存在,说明理由;
（2）若
成立,求出对应的实数对
.
方法感悟
（1）注意区分子集与真子集的概念;
（2）存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.注意分类讨论思想的运用.
550
/
611

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