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2.2
二次函数与一元二次方程、不等式
第二章
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.
2.了解二次函数零点与一元二次方程根的关系.
3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
4.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
5.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
学习目标
新知学习
函数、方程、不等式知识回顾
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
?
?
?
?
?
?
?
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
他们的联系又是怎样的呢？
?
?
?
一元二次不等式的概念
【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种
植花卉，若栅栏的长度是24
m，围成的矩形区域的面积要大
于20
m
2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
?
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?
一元二次不等式的概念
?
?
?
二次函数的零点
?
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
一元二次不等式的求解方法呢？
?
?
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?
【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数
一元二次不等式的解法
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一元二次不等式的解法
()
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没有实数根
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R
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一元二次不等式的解法
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即时巩固
一元二次不等式的应用
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一元二次不等式的应用
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【解含参数的一元二次不等式】
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即时巩固
?
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【解含参数的一元二次不等式】
?
?
?
所以原不等式的解集为R
?
即时巩固
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?
【三个“二次”的关系】
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即时巩固
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?
【不等式恒成立的问题】
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即时巩固
解一元二次不等式的过程
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?
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?
?
?
原不等式的解集为
R
随堂小测
课堂小结
1.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法是：
(1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类.
(2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.
(3)判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.
2.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
3.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时，分母不为零.
4.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a5.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
谢
谢！2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时
一元二次不等式的解法
课标解读
课标要求
素养要求
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.数学抽象——能够认识到二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系.
2.数学运算——会求一元二次不等式的解集，能够借助一元二次不等式解决实际应用问题.
自主学习·必备知识
要点一
一元二次不等式
一般地，我们把只含有①
未知数，并且未知数的最高次数是②
的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式是
或
，其中
，
，
均为常数，
.
要点二
三个“二次”的关系
对于一元二次方程
，设
③
，它的根按照④
，⑤
，⑥
可分为三种情况。
相应地，二次函数
的图像与⑦
轴的位置也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式
和
的解集.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图象
的根
有两个不相等的实数根
，
（
）
没有实数根
的解集
有两个相等的实数根
的解集
一般地，对于二次函数
，我们把使
的实数
叫做二次函数
的零点.
自主思考
1.不等式
是一元二次不等式吗？
2.当
满足什么条件时，不等式
是一元二次不等式？
是否存在实数
使得一元二次不等式
的解集为
？
4.若不等式
的解集为
，则实数
应满足什么条件？
求出函数
的零点.
名师点睛
对一元二次不等式概念的两点说明
（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只需明确指出这些字母所代表的量就可以使用，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”.
（2）“最高次数是2”仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制.
互动探究·关键能力
探究点一
一元二次不等式的解法
精讲精练
例
解下列不等式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
解题感悟
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正.
（2）判别式：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式.
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象.
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
迁移应用
1.不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
3.在
上定义运算
，则关于实数
的不等式
的解集为
.
探究点二
含参数的一元二次不等式的解法
精讲精练
例
设
，解关于
的不等式
.
答案：对于方程
，
，
下面分情况讨论：
①当
，即
时，方程
无实根，
所以原不等式的解集为
.
②当
，即
或
时，
方程
有两个实数根，
分别为
，
当
时，原不等式的解集为
；
当
或
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
综上，当
时，解集为
；
当
或
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
解题感悟
解含参数的一元二次不等式的步骤
提醒：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式
，用求根公式计算.
迁移应用
1.求关于
的不等式
的解集.
探究点三
三个“二次”的关系及应用
精讲精练
例
已知关于
的不等式
.
（1）若不等式的解集为
，求
的值；
（2）若不等式只有一个解，求
的值和该不等式的解集.
解题感悟
三个“二次”之间的关系
解决一元二次方程和一元二次不等式问题时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，三者关系如下：
提醒：易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集.
迁移应用
1.若不等式
的解集是
，求不等式
的解集.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
3.设一元二次不等式
的解集为
，则
的值是
.
4.（★）若不等式
的解集为实数集
，求实数
的取值范围.
素养演练
逻辑推理、数学运算——含参数的不等式的求解问题
1.解关于
的不等式
.
素养探究：因为所给的不等式中的二次项系数含有参数a，并且不清楚参数
的符号，所以首先需讨论参数
的符号，在此条件下再通过讨论相应方程的根的大小来确定不等式的解集，过程中培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
迁移应用
1.解关于
的不等式
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021浙江高一期末）已知
，则关于
的不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）（2021山东聊城高一期末）已知不等式
的解集是
，对于系数
，
，c，下列结论正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）（2020河北邢台高一期中）关于不等式的解集，下列判断正确的是(
)
A.不等式
的解集为
B.不等式
的解集为
C.不等式
的解集为
D.不等式
的解集为
4.在关于
的不等式
的解集中至多包含2个整数，则
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2020河北石家庄高一期中）不等式
的解集是
.
6.不等式
的解集是
.
7.求下列不等式的解集：
（1）
；
（2）
.
8.已知关于
的不等式为
.
（1）若
，解关于
的不等式；
（2）若
，解关于
的不等式.
素养提升练
9.（多选）已知不等式
的解集为
，其中
，则以下选项正确的有(
)
A.
B.
C.
的解集为
D.
的解集为
10.已知不等式
的解集为
，那么不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
11.设不等式
的解集为
，若
，则
的取值范围是
.
12.（2021安徽师范大学附属中学高一期末）设
，若关于
的不等式
的解集为
，则
.
13.解关于
的不等式
.
创新拓展练
14.已知
是关于
的不等式
的解集，且
中的一个元素是0，求实数
的取值范围，并用
表示出该不等式的解集.
第2课时
一元二次不等式的应用
互动探究·关键能力
探究点一
分式不等式的解法
1.不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
3.若关于
的不等式
的解集为
，则实数
.
4.不等式
的解集为
.
解题感悟
1.对于不等号一端为零的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分（一般不去分母），使之转化为右边为零的不等式，然后求解.
探究点二
一元二次不等式的实际应用
精讲精练
例
北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件.
（1）据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的售价最高为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价到
元.公司拟投入
万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
万元作为活动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量
至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件的售价为多少元?
解题感悟.解不等式应用题的步骤
迁移应用
1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，则每天能卖出30盏.售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
探究点三
不等式的恒成立问题
精讲精练
例
（1）不等式
的解集为
，求
的取值范围；
（2）若对一切
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
解题感悟
1.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外，还要分清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的取值范围，谁就是主元，求谁的取值范围，谁就是参数.
2.不等式
的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当
时，
，
；当
时，
.不等式
的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当
时，
，
；当
时，
迁移应用
1.当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
1.已知全集为
，
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知关于
的不等式
的解集是
，则
.
3.若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2020江苏江浦高级中学高一月考）下列范围满足不等式
的有(
)
A.
B.
C.
D.
2.不等式
的解集不是空集，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
3.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为
元，要使提价后的销售总收入不低于42万元，则
应满足(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2020武汉钢城第四中学高一期中）若关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围可能是(
)
A.
B.
C.
D.
6.不等式
的解集为
.
7.若对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
.
素养提升练
8.（多选）若不等式
对任意
恒成立，则
的值可以为(
)
A.0
B.-2
C.
D.-3
9.不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
10.（2021山东潍坊高一期中）已知不等式组
的解集是关于
的不等式
解集的子集，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于
的内接矩形花园（阴影部分），则其边长
（单位：
）的取值范围是
.
已知关于
的不等式
对于所有的实数
都成立，则实数
的取值范围是
.
创新拓展练
13.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应提高的比例为
，同时预计年销售量增加的比例为
，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润
与投入成本增加的比例
的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例
应在什么范围内?
章末总结.体系构建
题型整合
题型1
不等关系与不等式
例1
已知
、
均为正实数，试比较
与
的大小.
解题感悟
作差法是比较两式大小最常用的方法，使用时要进行合理的变形，以利于比较.
迁移应用
1.已知
，试比较
与
的大小.
题型2
一元二次不等式的解法及应用
例2
已知不等式
的解集是
，求实数
的取值范围．
解题感悟
解含参数不等式需分类讨论的情况
（1）二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于0、等于0、小于0三种情况进行讨论.
（2）对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论.
（3）若判别式含参数，则在确定解的情况时需分
三种情况进行讨论.
迁移应用
2.已知不等式
的解集是
.
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
，求不等式
的解集.
题型3
利用基本不等式求最值
例3
已知不等式
的解集为
.
（1）求
，
的值；
（2）求
的最小值.
解题感悟
利用基本不等式求最值的三种解题技巧
（1）凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值.
（2）凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值.
（3）换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，再利用基本不等式求最值.
迁移应用
3.已知正数
，
满足
恒成立，则实数
的最小值为
.
4.
的最大值为
.
高考链接
1.（2018课标Ⅰ，2，5分）已知集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020江苏，12，5分）已知
，则
的最小值是
.
3.（2020天津，14，5分）已知
，且
，则
的最小值为
.
4.（2019天津，13，5分）设
，
，
，则
的最小值为
.
5.（2017北京，13，5分）能够说明“设
，
，
是任意实数.若
，则
”是假命题的一组整数
，
，
的值依次为
.
6.（2017江苏，10，5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买
吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为
万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
的值是
.
550
/
611

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