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3.6圆的内接四边形
教案
课题
3.6圆的内接四边形
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．理解圆内接四边形的概念；2．掌握圆内接四边形的性质．
重点
圆内接四边形的性质定理.
难点
例1图形比较复杂，
牵涉定理较多，是本节的教学难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题思考：怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？想一想1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？不在同一条直线上的三点确定一个圆．2.
什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.3．（1）任意三角形都有外接圆吗？（2）过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？（1）一定（2）不一定如图：定义一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．问题探究1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？∠A+∠C=180°∠ABC+∠ADC=180°四边形的内角和等于360°再探究2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？你发现了什么？关系成立发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。证明猜想已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°新的发现：圆内接四边形的外角等于它的内对角。
二、提炼概念圆内接四边形的性质定理:
圆内接四边形的对角互补。几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O
∴
∠A+∠C=180°
∠B+∠D=180°推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角。
思考自议回顾三角形的外接圆以及圆的内接三角形相关知识，得出圆内接四边形的定义
圆内接四边形的性质常与圆周角定理结合在一起运用．
讲授新课
三、典例精讲
例1
如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.证明
：∵AD
是∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD＋∠DCB＝180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠DCB＝∠DAE（根据什么？）.
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC.例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：∵AC，BD是⊙O的直径∴AO=OC=OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
圆内接四边形的性质是利用“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”来证明的；
引导
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)学生从感性认识到理性认知的过渡，培养、形成抽象思维的意识和能力。
课堂检测
巩固训练1．如图，四边形ABCD内接于圆，则下列结论中正确的是
(　
　)A．∠A＋∠C＝180°　　B．∠A＋∠C＝90°C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠B＝90°答案：A2.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)A．115°
B．105°C．100°
D．95°答案：B如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC交于点D，E.则下列判断：①BD＝CD；②BD＝DE；③AE＝DE；④△ABC为锐角三角形．其中正确的有
(　
　)
A．1个
B．2个C．3个
D．4个
答案：C4.如图，AD为△ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．(1)求证：BD＝DC；(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠DAE＝∠DCB.又∵AD是△ABC外角平分线，∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB；∴△DCB是等腰三角形，∴BD＝DC；(2)若F为BC中点，则DF经过圆心．∵△DBC是等腰三角形，∴DF是底边中线．∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，∴DF必过圆心．
课堂小结
1．圆内接四边形的概念圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在_____
________上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形；四边形的外接圆：这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的___________．拓展：圆内接四边形的一个外角________和它不相邻的一个内角．同一个圆，对角互补，等于
O
C
A
B
D
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BAD
+
BCD=360°
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C
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3.6圆内接四边形
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材，并使截面正方形的面积尽可能地大？
合作学习
　　1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
不在同一条直线上的三点确定一个圆．
想一想
2.
什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
O
C
A
B
D
O
C
A
B
D
O
C
A
B
D
如图：
3．（1）任意三角形都有外接圆吗？
（2）过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
（1）一定
（2）不一定
　　一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
　　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．
定义
1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
∠A+∠C=180°
∠ABC+∠ADC=180°
四边形的内角和等于360°
问题探究
2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？你发现了什么？
再探究
关系成立
发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。
已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
BAD
+
BCD=360°
证明猜想
提炼概念
几何语言
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴
∠A+∠C=180°
∠B+∠D=180°
圆内接四边形的性质定理:
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补。
想一想：
∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，则∠DCE与∠A相等吗？
为什么？
新的发现：
圆内接四边形的外角等于它的内对角。
A
E
B
C
D
O
视角新现
∠DCE=∠A
圆内接四边形的外角等于它的内对角。
典例精讲
新知讲解
例1
如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.
证明
：∵AD
是∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD＋∠DCB＝180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠DCB＝∠DAE（根据什么？）.
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC.
例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
A
O
D
C
B
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
课堂练习
1．如图，四边形ABCD内接于圆，则下列结论中正确的是
(　
　)
A
A．∠A＋∠C＝180°　　B．∠A＋∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠B＝90°
【解析】∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＋∠C＝180°.
2.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)
A．115°
B．105°
C．100°
D．95°
B
3．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC交于点D，E.则下列判断：①BD＝CD；②BD＝DE；③AE＝DE；④△ABC为锐角三角形．其中正确的有
(　
　)
C
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】连结AD，则∠ADB＝90°.
△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC.
∴BD＝CD，故①正确．
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠CED＝∠B；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
∴∠DEC＝∠C，即DE＝CD＝BD.
故②正确．
根据线段AC与圆的位置关系，从点E的位置情况可分别讨论，得到∠A一定是锐角．
由∠A是锐角，∠B＝∠C，则△ABC一定是锐角三角形，因此④正确；
4.如图，AD为△ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．
(1)求证：BD＝DC；
(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠DAE＝∠DCB.
又∵AD是△ABC外角平分线，
∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB；
∴△DCB是等腰三角形，
∴BD＝DC；
(2)若F为BC中点，则DF经过圆心．
∵△DBC是等腰三角形，∴DF是底边中线．
∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，
∴DF必过圆心．
课堂小结
1．圆内接四边形的概念
圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在_____________上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形；四边形的外接圆：这个圆叫做四边形的外接圆．
2．圆内接四边形的性质
定理：圆内接四边形的___________．
拓展：圆内接四边形的一个外角________和它不相邻的一个内角．
同一个圆
对角互补
等于
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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3.6圆的内接四边形
学案
课题
3.6圆的内接四边形
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．理解圆内接四边形的概念；2．掌握圆内接四边形的性质．
重点
圆内接四边形的性质定理.
难点
例1图形比较复杂，
牵涉定理较多，是本节的教学难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
想一想1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？2.
什么是三角形的外接圆？什么是圆的内接三角形？3．（1）任意三角形都有外接圆吗？（2）过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？圆内接四边形的定义：一个四边形的
都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做
。如图，四边形ABCD是⊙O的
，⊙O是四边形ABCD的
．问题探究1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？再探究2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？你发现了什么？已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°归纳：圆内接四边形的性质定理：
。
新知讲解
提炼概念圆内接四边形的性质定理:
圆内接四边形的对角互补。几何语言∵四边形ABCD内接于⊙O
∴
∠A+∠C=180°
∠B+∠D=180°推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角。典例精讲
例1
如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC.例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
课堂练习
巩固训练1．如图，四边形ABCD内接于圆，则下列结论中正确的是
(　
　)A．∠A＋∠C＝180°　　B．∠A＋∠C＝90°C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠B＝90°2.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(
)A．115°
B．105°C．100°
D．95°如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC交于点D，E.则下列判断：①BD＝CD；②BD＝DE；③AE＝DE；④△ABC为锐角三角形．其中正确的有
(　
　)
A．1个
B．2个C．3个
D．4个
4.如图，AD为△ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．(1)求证：BD＝DC；(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．答案：引入思考想一想：1.不在同一条直线上的三点确定一个圆．2.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.3.（1）一定（2）不一定定义：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．问题探究：∠A+∠C=180°∠ABC+∠ADC=180°四边形的内角和等于360°再探究：关系成立发现：每一组对角相加等于180°，即对角互补。归纳：圆内接四边形的性质定理:
圆内接四边形的对角互补。提炼概念典例精讲
例1
证明
：∵AD
是∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD＋∠DCB＝180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠DCB＝∠DAE（根据什么？）.
而∠DAC＝∠DBC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠DCB＝∠DBC，∴DB＝DC.例2
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：∵AC，BD是⊙O的直径∴AO=OC=OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形又∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）巩固训练
1.答案：A2.答案：B3.答案：C4.解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠DAE＝∠DCB.又∵AD是△ABC外角平分线，∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB；∴△DCB是等腰三角形，∴BD＝DC；(2)若F为BC中点，则DF经过圆心．∵△DBC是等腰三角形，∴DF是底边中线．∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，∴DF必过圆心．
课堂小结
1．圆内接四边形的概念圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在_____
________上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形；四边形的外接圆：这个圆叫做四边形的外接圆．2．圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的___________．拓展：圆内接四边形的一个外角________和它不相邻的一个内角．同一个圆，对角互补，等于
A
O
D
C
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精品试卷·第
2
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