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10.2　复数的运算
10．2.1　复数的加法与减法
最新课程标准：1.熟练掌握复数代数形式的加减法运算法则．(重点)　2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)
知识点一　复数代数形式的加减运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝____________.
知识点二　复数代数形式的加法运算律
交换律
z1＋z2＝____________
结合律
(z1＋z2)＋z3＝____________
知识点三　复数加减法的几何意义
1．复数加法的几何意义
如图，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是.
2．复数减法的几何意义
如图所示，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且，不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量－(即)对应，这就是复数减法的几何意义．
这表明两个复数的差z1－z2(即－)与连接两个终点Z1，Z2，且指向________的向量对应．
[基础自测]
1．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．当m<1时，复数z＝2＋(m－1)i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列各式中正确的是(　　)
A．z1>z2
B．z1C．|z1|>|z2|
D．|z1|<|z2|
4．在复平面内，向量对应的复数为－1－i，向量对应的复数为1－i，则＋对应的复数为________．
题型一　复数的加减运算
例1　计算：
(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；
(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；
(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．
【解】　(1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.
(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.
(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.
方法归纳
(1)复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．
(3)准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．
跟踪训练1　计算：
(1)(－2＋3i)＋(5－i)；
(2)(－1＋i)＋(1＋i)；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
题型二　复数加减运算的几何意义
例2　设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出＋.
方法归纳
(1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
(2)利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
跟踪训练2　复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求点C对应的复数．
题型三　复数加减法几何意义的综合应用
例3　已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．
方法归纳
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．跟踪训练3　已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．
10．2　复数的运算
10．2.1　复数的加法与减法
新知初探·自主学习
知识点一
(2)(a－c)＋(b－d)i　
知识点二
z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
知识点三
2．被减数　
[基础自测]
1．解析：z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为(1，－1)位于第四象限．
答案：D
2．解析：由复数的几何意义可知，当m<1时，m－1<0，故复数z在复平面内对应的点Z(2，m－1)位于第四象限．
答案：D
3．答案：D
4．解析：由复数加法运算的几何意义知，＋对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i.
答案：－2i
课堂探究·素养提升
跟踪训练1　解：(1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
例2　【解】　∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，
∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i.
∵＝(5,3)，＝(4,1)，
由复数的几何意义可知，＋与复数z1＋z2对应，
∴＋＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)，
作出向量＋，如图所示．
跟踪训练2　解：∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，
∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
例3　【解】　方法一：设w＝z－3＋4i，
∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.
又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.
可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．
如图(1)所示，∴|w|max＝＋1，|w|min＝－1.
方法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝＋1，|z－3＋4i|min＝－1.
跟踪训练3　解析：由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.
而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，
所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.
答案：7
-
5
-10.1.2　复数的几何意义
最新课程标准：1.理解复平面、实轴、虚轴等概念．　2.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)　3.理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)
知识点一　复数的几何意义及复数的模
1．复平面
(1)定义：________________来表示复数的平面叫做复平面；
(2)实轴：在复平面内，________叫做实轴，单位是________，实轴上的点都表示________；
(3)虚轴：在复平面内，________叫做虚轴，单位是________，除________外，虚轴上的点都表示________；
(4)原点：原点(0,0)表示________．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)________________.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示________复数．
3．复数的模
向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作________或________，且|a＋bi|＝.
知识点二　共轭复数
1．定义
如果两个复数的实部________，而虚部____________，则这两个复数叫做互为共轭复数．
2．表示
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，则＝a－bi.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(　　)
(2)复数的模一定是正实数．(　　)
(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.(　　)
2．复数z＝cos
θ＋isin
θ(i为虚数单位)其中θ∈，则复数z在复平面上所对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________，________.
题型一　复数与复平面内点的关系
例1　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y2＝4x上．
方法归纳
复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式)组．
跟踪训练1　在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的值或取值范围．
题型二　复数与向量的对应关系
例2　已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，求向量对应的复数．
【解】　向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
方法归纳
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练2　在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
题型三　复数模的几何意义及应用
例3　已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i.
(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；
(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？
方法归纳
(1)两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．
(2)复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．
(3)|z1－z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．
跟踪训练3　如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是________．
10．1.2　复数的几何意义
新知初探·自主学习
知识点一
1．(1)建立了直角坐标系　(2)x轴　1　实数　(3)y轴　i　原点　纯虚数　(4)实数0
2．(1)复平面内的点Z(a，b)　(2)同一个　
3．|z|　|a＋bi|　
知识点二
1．相等　互为相反数　
[基础自测]
1．解析：(1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.
(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．
(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：∵θ∈，
∴cos
θ<0且sin
θ<0，
∴该复数所对应的点位于复平面上第三象限．
答案：C
3．解析：∵x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
答案：－1　1
课堂探究·素养提升
例1　【解】　复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．
(1)若z对应的点在实轴上，则有
2a－1＝0，解得a＝.
(2)若z对应的点在第三象限，则有
解得－1(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，
则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，
解得a＝.
跟踪训练1　解：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
∴
∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，
∴m＝2.
跟踪训练2　解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)．
根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.
例3　【解】　(1)|z1|＝＝2.
|z2|＝＝1.
∵2＞1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，
则1≤|z|≤2.
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．
跟踪训练3　解析：由|z|<2知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z＝1＋ai知z对应的点在直线x＝1上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由图可知－答案：(－，)
-
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-10.2.2　复数的乘法与除法
最新课程标准：1.掌握复数代数形式的乘除运算．(重点)　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)　3.理解共轭复数的性质，并能灵活运用．(易错点)
知识点一　复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________.
知识点二　复数的乘法运算律．对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝____________
结合律
(z1·z2)·z3＝____________
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝____________
知识点三　共轭复数的性质
(1)两个共轭复数的对应点关于________对称．
(2)实数的共轭复数是________，即z＝?z∈R.
利用这个性质，可以证明一个复数是实数．
(3)z·＝________＝||2∈R.
知识点四　复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
＝＝________________.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　)
(2)若z∈C，则|z|2＝z2.(　　)
(3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)
2．i是虚数单位，复数＝________.
3．设z＝，则|z|＝(　　)
A．2
B.
C.
D．1
4．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝____________.
题型一　复数代数形式的乘除运算
例1　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)
A．3－4i　　　
B．3＋4i
C．4－3i
D．4＋3i
(2)等于(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(3)计算：＝________.
方法归纳
(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
(2)利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．
跟踪训练1　计算：
(1)(1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．
题型二　共轭复数及其应用
例2　已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.
方法归纳
1．已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
2．关于共轭复数的常用结论
(1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质；
(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数；
(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
跟踪训练2　已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
题型三　虚数单位i的幂的周期性及其应用
例3　(1)计算：＋2
020；
(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2
018的值．
【解】　(1)原式＝＋1
010
＝i＋1
010＝i＋i1
010＝i＋i4×252i2＝－1＋i.
(2)1＋z＋z2＋…＋z2
018＝，
而z＝＝＝＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2
018＝＝＝i.
方法归纳
(1)要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．
(2)如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．
跟踪训练3　若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2
019的值．
10．2.2　复数的乘法与除法
新知初探·自主学习
知识点一
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
知识点二
z2·z1　z1·(z2·z3)　z1z2＋z1z3　
知识点三
(1)实轴　(2)它本身　(3)|z|2
知识点四
＋i
[基础自测]
1．解析：(1)正确．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∵|z|＝，||＝＝，
∴|z|＝||.
(2)错误．举反例：如z＝1＋i，则|z|＝，z2＝2i，|z|2≠z2.
(3)错误．例如z1＝1，z2＝i，显然z＋z＝0，但z1≠z2≠0.
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．解析：＝＝＝2－i.
答案：2－i
3．解析：由z＝，得|z|＝＝＝.
答案：C
4．解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
课堂探究·素养提升
例1　【解】　(1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
(2)＝＝＝＝－1－i.故选D.
(3)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
答案：(1)A　(2)D　(3)－2－2i
跟踪训练1　解：(1)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝＋i.
例2　【解】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得
即
解得或
因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
于是＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＋i.
跟踪训练2　解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i
＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
跟踪训练3　解：∵z＝＝＝＝－i.
∴1＋z＋z2＋…＋z2
019＝＝＝＝＝0.
-
6
-第十章
复数
10．1　复数及其几何意义
10．1.1　复数的概念
最新课程标准：1.了解数系的扩充过程．　2.理解复数相等的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)　3.掌握复数的代数形式，分类等有关概念．(难点、易混点)
知识点一　复数的有关概念
1．复数
(1)定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做________，满足i2＝________，a叫做复数的________，b叫做复数的________．
(2)表示方法：复数通常用________表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
2．复数集
(1)定义：________所构成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母C表示．
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di?____________，a＋bi＝0?____________.
知识点二　复数的分类
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)
2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(　　)
(3)两个虚数不能比较大小．(　　)
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A．－2
B.
C．－
D．2
3．复数i的虚部为(　　)
A．2
B．－
C．2－
D．0
4．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.
题型一　复数的有关概念
例1　(1)下列命题中，真命题的个数是(　　)
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0　　
B．1
C．2
D．3
(2)给出下列三个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0.
其中真命题的个数为(　　)
A．0
B．1　
C．2
D．3
方法归纳
正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1　复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的________条件．
题型二　复数的分类
例2　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解】　(1)当z为实数时，则
∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
则
∴
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
方法归纳
利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))
求解参数时，注意考虑问题要全面．
跟踪训练2　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i.
题型三　复数相等的条件
例3　已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．
方法归纳
应用复数相等的充要条件时，要注意：
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组．
(2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要．
跟踪训练3　若(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，求实数x的值．
题型四　复数的不相等关系
例4　已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
方法归纳
实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小．只有当两个复数都是实数时才能比较大小．换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a＋bi>c＋di(a，b，c，d∈R)，则
跟踪训练4　已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，求实数x的值．
第十章　复数
10．1　复数及其几何意义
10．1.1　复数的概念
新知初探·自主学习
知识点一
1．(1)虚数单位　－1　实部　虚部　(2)小写字母z　
2．(1)全体复数
3．a＝c且b＝d　a＝0且b＝0
知识点二
1．实数　虚数　a＝0，b≠0　a≠0，b≠0
[基础自测]
1．解析：(1)错误．若b＝0，则z＝a＋bi为实数．
(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数．
(3)正确．
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
答案：D
3．解析：由复数定义知C正确．
答案：C
4．解析：由复数相等的条件，得解得
∴m＋n＝－10.
答案：－10
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．
(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i,
其实部是0，所以③为真命题．
【答案】　(1)A　(2)B
跟踪训练1　解析：若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0，故为充分条件；但若a＝0且b＝0时，a＋bi＝0为实数，故不是必要条件．
答案：充分不必要
跟踪训练2　解：(1)∵z∈R，
∴即
∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数，
∴即
∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．
(3)∵z是纯虚数，
∴即
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．
(4)∵z＝－4i，
∴即
∴m＝－1时，z＝－4i.
例3　【解】　∵x，y为实数，
∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数．
由复数相等的定义知
∴
跟踪训练3　解：∵(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，
∴解得x＝2.
例4　【解】　因为x2－1＋(y＋1)i>2x＋3＋(y2－1)i，
所以
即
解不等式x2－2x－4>0，得x>1＋或x<1－.
所以实数x，y的取值范围分别是{x|x<1－或x>1＋}，{y|y＝－1}．
跟踪训练4　解：∵z>0，∴z∈R.
∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.
∵z>0，∴－x>0.
对于不等式－x>0，x＝1适合，x＝3不适合．
∴x＝1.
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