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第十三讲：函数的单调性与奇偶性的综合问题
知识点一、运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小：
1.函数的奇偶性和单调性的性质属性
函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的，而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．
2.具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
知识点二、求最值
知识点三、解不等式
二、例题解析
例1.1.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)例1.2.已知定义在(－1，1)上的f(x)＝.
①试判断f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
②解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.
例2.1.已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并用定义证明．
例3.1.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。
（1）求证：； （2）证明：时恒有；
（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围。
例4.1.若函数f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,则F(x)在区间(-∞,0)上(　　)　　　　　　　　
A.有最小值-5 B.有最大值-5
C.有最小值-1 D.有最大值-3
三、练习题
练1.1已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
练1.2设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1)
练2.1已知f(x)是R上的奇函数 ，当x>0时 ，解析式为，
(1)求f(x)在R上的解析式；(2)用定义证明f(x)在(0 ，+∞)上为减函数.
练3.1已知是定义在上的增函数，且．
⑴求证：，；
⑵若，解不等式
练3.2已知定义在R上的函数f(x) ，对于任意实数x ，y都满足f(x+y)=f(x)+f(y) ，且当x>0时 ，f(x)>0 ，试判断函数的奇偶性与单调性 ，证明你的结论.
练4.1如果偶函数f(x)在[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是(　　)
A．增函数，最小值是5 B．增函数，最大值为－5
C．减函数，最小值是5 D．减函数，最大值为－5
作业
选择题（2分/题）
1、若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-),f()的大小关系为(　　)
A.f()>f(-)>f(-1) B.f()C.f(-)2、设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,若m<0且m+n>0,则(　　)
A.f(n)+f(m)<0 B.f(n)+f(m)=0
C.f(n)+f(m)>0 D.f(n)+f(m)的符号不确定
3、偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,若f(-2)=1,则f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[0,2] B.[-2,2] C.[0,4] D.[-4,4]
4、已知函数f(x)=ax3+bx+7(其中a,b为常数),若f(-7)=-17,则f(7)的值为(　　)
A.31 B.17 C.-17 D.15
5、若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)(　　)
A．可能是增函数，也可能是常函数 B．是增函数
C．是常函数 D．是减函数
6、已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是(　　)
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数
D．既不是奇函数，也不是偶函数
7、若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则与的大小关系是(　　)
A． B．
C． D．
8、若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有(　　)
A.最小值－8 B.最大值－8 C.最小值－6 D.最小值－4
9、已知函数f(x)为偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则
f(x－1)＜0的解集是(　　)
A.(0，2) B.(－2，0) C.(－1，0) D.(1，2)
10、已知函数f(x)是R上的增函数，对任意实数a，b，若a＋b＞0，则有(　　)
A.f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b) B.f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
C.f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b) D.f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b)
二、填空题（2分/题）
11、若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是.
12、已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是　　　　　.
13、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)14、若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b为常数)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=　　　　　.
15、已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是　　　　　.?
三、解答题（4分/题）
16、已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:
①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数;
③f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
17、已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
18、已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函数g(x)的定义域;
(2)若f(x)是奇函数,且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.
19、已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
20、已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．

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