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高三数学一轮复习案
模块三
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2022届新高三一轮复习·模块三
【知识点梳理】
专题1
导数[X22]
课本篇
一、变化率与导数
1．①函数从到的平均变化率为：
变式：
②函数在处附近的平均变化率为：
③平均变化率的几何意义：
平均变化率的物理意义：
（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）．
2．函数在处的瞬时变化率（导数）：
【几何意义：切线的斜率；物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）．】
【导数表示函数在处的瞬时变化率，也反映了函数在附近变化的情况．】
变式：①，……
3．导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率，
即，因此切线方程是：．
①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标.
②若在点处的切线过点，则．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，也还可考虑用判别式法．
4．的导(函)数：．【斜率函数
】
【导(函)数的作用：主要用于了解函数图象的起伏（单调性），解题时要注意定义域．】
5．平均速度：，直线运动位移，瞬时速度：，瞬时加速度．
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．
二、导数的计算
1．几个常用函数的导数：①的导数；②的导数；
③的导数；④的导数；⑤的导数；
2．基本初等函数的导数公式：①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
⑤若，则
⑥若，则
⑦若，则
⑧若，则
【说明：上述公式一般不能进行变量替换！】；
【．】
3．和差积商的求导运算法则：①
②
③
④
4．复合函数的求导法则：复合函数的导数和函数的导数间的关系为．
重点掌握型的求导：由，，得．
三、导数在函数中的应用（研究多项式函数时，最高次不超过三次，即；）
1．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内
；
②如果，那么函数在这个区间内
；
③如果，那么函数在这个区间内
．
2．求单调区间的方法：
①通过解不等式或(等号可要可不要)；
②求，并可适当整理，尽量将整理成之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性．
说明：⑴写函数的单调区间时，正确的表示方法是：在单调性相同的多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写．
绝对不能出现
⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则；(等号一定要！)
⑶设，且，【必要时要规定，以便于等价转化】，那么
①在是增函数恒成立（等号一定要！）
②在是减函数恒成立（等号一定要！）
3．极小值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．
极大值：若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，则把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值．
4．一般地，求函数的极值的方法是：解方程．当时：
⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；【左增右减】
⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．【左减右增】
说明：⑴若，．
⑵显然，单调函数无极值；
⑶设，在处取得极值，则是的必要不充分条件．即，但．
5．利用导数研究函数极值的具体步骤(熟练之后，有些步骤可以简化)：
第一步：确定函数的定义域；定义域为时，可省略不写；为求导方便，函数解析式可适当整理；
第二步：求，并可适当整理；尽量将整理成之积商的形式；
第三步：解出方程在定义域内的所有实数根；
第四步：将函数，随的变化情况分段标注在数轴上下；（数轴上先标注出定义域、以及的根）
【注意】若无偶次重根且无间断点，则在各区间上，的正负、的增减性交替出现！
的偶次重根的两侧不变号，但的间断点（即分母为0的根）的两侧则不一定！
第五步：确定的极值．
6．一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
7．一般地，求函数在区间上的最大值和最小值的步骤如下：
⑴求函数在区间上的极值；
⑵将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，其中最小的一个是最小值．
说明：⑴可以学会使用的符号：①，②．
⑵若函数在区间上无极值点，则它必为单调函数；
⑶若函数在区间上只有唯一极值点，则它必为最值点；
四、优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、成本最低、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
导数是求函数最大值和最小值的有力工具！（当然也不能忽略求最值的其他方法）
⑴几何问题：长度、面积、体积；
⑵物理问题：速度问题；
⑶生产、销售问题：利润最大、用料最省、成本最低、效率最高等问题．
五、导数的广泛应用
1．求平均变化率，瞬时速度，瞬时变化率（导数），及其几何意义，物理意义，实际意义；
2．求切线的斜率、切线方程、切点坐标；求曲线上一点到直线距离的最小值（平行切线法）；
3．求单调区间，作出函数图象，与的图象关系，证明单调性，求极值、最值、值域，解优化问题；
4．证明函数型或数列型不等式；（证明或，都要转化为的函数问题）
5．学习了导数知识后，会出现很多含参数的问题，如已知函数单调性、方程有解、不等式成立或恒成立、函数零点问题（充分利用函数图象、函数与方程的思想），求参数取值范围，更应重视分离参数法．
请阅读讲座：成立与恒成立．（带参转化法、分离参数法）
6．注意要复习以前所学知识，如三角恒等变换公式，对数运算公式，指数运算公式等，还有指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的性质等，奇偶性，对称性，几何图形的面积、体积公式，导数与它们结合得比较密切．
课外篇
1．求曲线在处的切线方程的步骤：①确定切点坐标，②求出后，确定斜率，
③则切线方程为．
2．求曲线过点的切线：设切点坐标为，利用，即，解方程求得，得到切点坐标及，则可得切线方程：．
①点可能不在曲线上，或在曲线上但不一定为切点！因此，此问题的答案可能有多解．
②注意：“过点的切线”与“在点处的切线”含义不同！切线问题一直是高考热点问题！
3．若曲线在点处的切线方程为，则且．
4．单峰函数在有最值在有极值在有解．
5．若连续函数关于直线对称，则必有．若连续函数关于点对称，则必有．
6．讨论含参函数的单调性的思路（1）：
㈠求，㈡解方程，⑴若方程无解，则是单调函数，⑵若方程有解，①解不在定义域内，则是单调函数，②解在定义域内，则需分区间逐个判断单调性．
讨论含参函数的单调性的思路（2）：
㈠求，㈡求的值域，⑴若值域是或的子集，则是单调函数，⑵若值域不是或的子集，则解方程，再分区间逐个判断单调性．
7．几个重要的函数不等式：①；②；③.
如：判断的符号，.
拓展：①；②；③.
一次求导，二次求导或二次局部求导.
【当堂训练】
●能力特训6
函数与导数
例1．已知函数
⑴若是上的单调增函数，则实数的取值范围是______；
⑵若数列满足，且是单调递增数列，则实数的取值范围是______．
⑶若改为，又该如何解答上述问题⑵呢？
例2．已知函数，满足．若当时，，试问函数
在区间上是否可以为单调函数，若可以，求出的取值范围；若不可以，请说明理由．
例3．已知讨论函数的零点个数．
例4．设函数，，若，使得与同时成立，则实数的取值范围是________．
例5．已知函数，当时，对任意的，确定恒成立的充要条件．
例6．为直线外一点，为线段上一点，若，单位向量分别与向量同向，
又，
证明：；⑵求的最小值．
例7．设关于的方程有两个实根．
求的值；
⑵求证：，且；
⑶若，求的最大值．
例8．已知函数满足，试判断，的大小.
【课后练习】
一、单选题
1．（2021·全国高三其他模拟）音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一?三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是，则声音函数的最大值是（
）
A．
B．1
C．
D．
2．（2021·宁波中学高三其他模拟）函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，且，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2021·湖南高三其他模拟）已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．方程无解
6．（2021·全国高三二模）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（
）
A．函数有一个极大值点
B．函数在上存在对称中心
C．若当时，函数的值域是，则
D．当时，函数恰有6个不同的零点.
7．（2021·辽宁高三其他模拟）已知过点A（a，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（
）
A．－2
B．4
C．0
D．6
8．（2021·江苏南通市·）法国数学家柯西(A.Cauchy，研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为对于函数，有如下判断，其中正确的有（
）
A．是偶函数
B．在是上单调递减
C．
D．若恒成立，则的最小值为1
三、填空题
9．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设，则________，其在点处的切线方程为________．
10．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在点处的切线方程为，则t=___________.
11．（2021·全国高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
12．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在上有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
14．（2021·宁波中学高三其他模拟）定义域为D的函数，若对给定的实数y，函数有最大值，我们称为的变换.
（1）设，，求此时的变换；
（2）求证：若，，则.
15．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）已知
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：
16．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知函数
（1）若对任意恒成立，求的最大值；
（2）若，求在上的极值点的个数.
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