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高三数学一轮复习案
模块二
班级：
姓名：
2022届新高三一轮复习·模块二
【知识点梳理】
专题1
函数及其定义域(B1)
课本篇
研究函数必须树立定义域优先考虑的原则！(很重要，但又很容易忽视)
1．函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任【意一个数，在集合中都有
确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作．其中集合就叫做函数的定义域，函数值的集合就叫做函数的值域．显然值域是集合的子集．
①
这是判断一个图象是不是函数图象的方法．
②点在函数的图象上
③设在某一变化过程中，有两个变量与，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就称是的函数，其中是自变量，是因变量.【这是从运动、对应的观点定义函数.】
2．函数的表示法——
、
、
．【若一个函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应法则不同，则需用分段函数来表示，这样的函数通常称为分段函数．】
3．函数的三要素：
、
、
。
两个函数为同一函数的充要条件是
与
【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．
4．区间表示法：设，则：，，，…．
【学习了区间表示法，就应理解描述法中的数集其实与代表元素无关！用数轴表示数集亦是如此！】
5．①定义域必须用
形式表示！
②集合的含义：
．
③要养成这样一个习惯：一研究函数问题，就指出该函数的定义域！
④设函数的定义域为集合，若在集合上有意义，则．
6．映射的定义：设是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的
一个元素，在集合中都有
确定的元素和它对应，那么就称为从集合到集合的一个映射．
【函数与映射都是：一对一，或多对一．集合中元素任意性，集合中元素对应唯一性.】
7．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：
①中要求
；
②中要求
；
③中要求
；
④
；
⑤
；
⑥
⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集．
⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．
⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．
8．不给出的解析式，函数，三者之间定义域的关系：【定义域都是指的取值范围．】
①已知的定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域．
②已知的定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是的定义域．
③已知的定义域是，求的定义域：
利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域．
【总之，求
的定义域，关键是抓住被
取值范围相同．】
在高一、高二同步学习教材、新知识的时候，要注意知识的前后联系，每一章的知识点一般总可以和其他章节的知识点（包括小学、初中数学知识）联系起来，解题时，思路、视野要开阔，不要只局限在同步所学章节中！要想数学学得好，学习新知识，就不能忘记已经学习过的知识和方法！
专题2
函数解析式的求法(B1)
课本篇
【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于
1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：．】
（1）
【直接法，适用于①由求复合函数，②由、、、等求；
注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段．】
（2）
【整体替换法，适用于、、等类型．】
（3）
【如．换元法与凑配法可以交替使用，如等类型．】
（4）
【告知函数类型或给出函数图象，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；
然后，①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程组，然后解方程组即可．】
（5）
【给出的方程同时含：
①与，或与；
【前者，后者】
②一奇一偶函数与；
【】
③与，或与；
【前者，后者】
方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！
（6）
【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】
（7）
【给出
时使用．】
2．二次函数的解析式的三种形式：
①一般式：
；
对称轴是
；
顶点
．
②顶点式：
；
对称轴是
；
顶点
．
③两根式：
；
对称轴是
；
顶点
．
【提示：⑴二次函数的对称轴很重要，它是解决二次函数的
的关键因素.
⑵：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．
⑶已知二次函数一个零点时，另一零点可由韦达定理求出．】
⑷对于，若，则的图象关于对称，
且可得.
3．应用题中求函数解析式：关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式．
注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．
②要根据实际意义，准确求出函数定义域．（如几何背景下的线段长要求为正数、或为非负数.）
③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）
4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(还可建立分段函数模型)
5．利用奇偶性（或对称性）、周期性求解析式，关键在于利用奇偶性（或对称性）、周期性的函数型恒等式（或变式）.
课外篇
设均为定义域相同的两段式的分段函数，
①若分段标准一致，则，，等函数仍为两段式的分段函数．
②若分段标准不一致，则，，等函数均为三段式的分段函数．
专题3
值域，最值(B1)
一．①值域必须是
！
②集合的含义：即
．
二．求值域、最值的方法
1．
：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．
2．
（对称轴法）：对于形如形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】
3．
：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略．
使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域．
①，令，则．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）
②，令，则；
③，令，则；
④，令，则；
⑤，令，则；
⑥令，则；
⑦令，则．
⑧，令（或令）．
⑨时，令；
⑩令，则．
4．
（数形结合法）：
(直观实用!)■
①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．如：，先观察在轴上方的图象与值域．
②求或的值域，可先分别作出其中所含函数：的图象，再利用它们的交点分段确定的图象，从而确定值域或最值．
③根据函数表达式的几何意义【分式斜率？平方和（的算术根）距离？等】，作出图象，求出值域或最值．
5．
：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值．
(优先考虑!)■
6．
：先转化成的形式，再利用或（一正、二定、三相等）等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法（双勾函数）、单调性法完成，【还可注意柯西不等式的应用．】
7．
：含的函数，若可用表示它们，则常利用其有界性来求值域．
8．
：用于．（，分子、分母无公因式，且无人为限制．）
先化成，再运用求值域（但要注意讨论二次项系数为的情况）．
附：若含参数的函数的值域为，求所含参数的值．
方法①：利用判别式法；方法②：利用恒成立且等号也可成立．
9．
：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值．
(万能方法!)■
三、对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．【分类讨论法】
通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！
⑴二次函数的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．
①讨论对称轴与的三种位置关系；
②讨论对称轴与的两种位置关系；【此时通常要求把最大值、最小值都求出来】
⑵对于函数的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．
与的图象有相似之处：都有顶点，也都有对称轴，也有开口方向.
例、已知，其中常数，求的最大值．
【先作图，再由图悟出讨论标准！当时，；当时，．】
四、方程或不等式，成立、恒成立问题求参数取值范围常需用到求值域、最值的方法．
五、已知函数，若时，值域为（或等情形），求的值．
先求出函数的值域，则由可得或的限制条件，再考察在单调性，
，然后与值域联系起来，则不难解决问题．
六、已知含参函数的最大（小）值为,求参数的值：
方法1：主动求出函数的最大（小）值，然后与已知吻合，而求出参数的值；
方法2：转化为“()恒成立，且等号也成立”，然后考虑用分离参数法完成．
七、如何求或无制约关系)的最值？
课外篇
1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于的方程在定义域内有解，从而求参数的取值范围问题！
求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标组成的集合！
2．可学会使用的符号：①，；
②，．
【含参数时可根据的符号分类确定。】
3．下面几种分式函数求值域要熟练：①（令倒数换元法），②(令倒数换元法)，
③或(令常规换元法)．先化简(换元、化繁分式、分子降次、分子常数化)，再用均值不等式或单调性法或导数法．注意双勾函数的图象与性质的运用．
4．求最值的方法：
①时单调性法；时，平方法．②导数法、向量法、柯西不等式；
5．①已知含参数的二次函数的最值为，求参数的值．
思路：可以令分别等于，解出参
数的值，然后进行检验．
②在上的最大值应该在三者中比较.
专题4
函数图象及其变换(B1)
1．两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】
平移变换：①
；注意：
②
；
翻折变换：③
；
④
伸缩变换：⑤
；
⑥
对称变换：①
；
④
②
；
⑤
．
③
；
⑥
；
快速作出常用函数的图象（利用好
，并抓住
、
．）
【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称），周期性，有界性，渐近线．
【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（
），关键线（
），利用好函数性质（
）．
1．反比例型函数：的图像是双曲线，其对称中心为点，
其图象可由变换得到．【可根据对称中心，先画出两条渐近线，再根据的符号画出双曲线！】
该函数定义域为，值域为；（事实上，．）
2．双勾函数：
，见上图；【，】
可根据奇偶性和基本不等式或导数法，确定极值点．【图象如何画？】
3．含绝对值的函数：．
用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．因此，图象特征为：由两条射线和条线段组成，线段都在中间且依次相连，两条射线在两端，线段的各个端点横坐标就是各绝对值的零点．画图时可以先在轴上标出，再确定线段的各个端点，，，而两端射线的起伏可以通过取点而确定．
①时，的最值如何求最简单？
②特别地，要掌握的快速作图！
4．某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断．
如：，其图象为半圆．
5．在区间上的图形是（向上）凹的（即切线的斜率递增）．
在区间上的图形是（向上）凸的（即切线的斜率递减）．
对分段函数的图象在分段点处是否连续要注意(当然首先要注意定义域是否包含)
专题5
单调性及复合函数的单调性(B1)
课本篇
1．定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量．
①当时，
②当时，
如果函数在区间上是
，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．(定义域内不含区间的函数一定没有单调性.)
2．①写出函数的单调区间时，正确的表示方法是：（在单调性相同的）多个单调区间之间用逗号隔开的方式来书写．
绝对不能出现
．区间端点包不包括没有严格规定，但要注意端点是否在定义域内.
②确定函数的单调性必须指明单调区间，可充分利用图象，数形结合！
③单调函数的图象不一定是连续的曲线，某些分段函数仍然可以在定义域上为单调函数，要通过图象掌握求含参数的分段函数具有单调性的参数取值范围问题．
3．用单调性定义证题的步骤：①
，②
（最后形式一般为各个因式之积商或配方），③
，④
．
用单调性定义证题中的四种区间及其取值(数轴展示)：
⑴，
⑵，
⑶，
⑷．
【另外】当时可通过：①取值，②作商变形，③定号，来证明单调性．
4．单调性定义的变式：设，且，【必要时要规定，以便于等价转化】，那么
①在是增函数恒成立（等号不能漏掉！）
②在是减函数恒成立（等号不能漏掉！）
5．函数的单调性判定方法有：
6．快速判定函数单调性(结构要整理好：分式型函数采取分子常数化，或化繁分式，或分子、分母有理化等手段整理)
设具有单调性，常数，常数，则
①，与有相同的单调性；【但要注意为偶数时）的单调区间的变化．】
②，与有相反的单调性；【但要注意（当存在使得时）的单调区间的变化．】
③若都是区间上的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
④设都是区间上的函数值恒正的增（减）函数，则在区间上也是增（减）函数．
7．单调性性质的应用：
常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），具体应用时还应要求在定义域内！
【转化时，
，然后再解不等式组；又如求函数定义域的问题，也应如此！】
8．讨论二次函数的单调性（或求值域、最值），总是与对称轴有不解之缘，要时刻考虑对称轴的位置．
若二次函数在区间、、上是单调函数，则其图象的对称轴一定不在该区间内！
分别对应；；或(只能用“或”，不能用联立符号“”)，当然还要注意开口方向.
9．①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
10．最大值：一般地，设函数的定义域为，如果满足：⑴对，都有，⑵，使得，则称为的最大值，记作；【或】
最小值：一般地，设函数的定义域为，如果满足：⑴对，都有，⑵，使得，则称为的最小值，记作．【或
课外篇
1．由得到，
2．复合函数的单调性（如右表）：“
”．
（还可用导数法直接研究的单调性！）
下面用单调性定义证明表中的一个结论，如：
令在区间上单调递增，在区间上单调递增，【显然，必须有】
设，且，则，则，可见在区间上单调递增．
3．能根据，这三个函数中任意两个函数的单调性，确定第三个函数的单调性．
4．“
”：①对于，令，则；
②对于，令，则，
这样就变成复合函数来研究单调性问题．【对于，在条件下研究．】
5．“
”：对于，或，【对于，在条件下研究．】
①大同：当时，的增减性与的增减性相同；
②小异：当时，的增减性与的增减性相异．
函数符号的使用说明
函数符号的使用：，，但对于后者一般习惯用．
在使用函数符号时，“”，根据需要可改用“”．如：判断函数单调性、奇偶性、周期性等性质时，就应该使用函数符号．
函数问题主要表现为以下方面
⑴求定义域，⑵求解析式，⑶求值、值域或最值，⑷作图或利用图象（含变换）、给图选式、给式选图，⑸确定单调性，⑹判断奇偶性，⑺比较大小，⑻解方程，⑼解不等式，⑽分段函数、复合函数、抽象函数问题，⑾求定点、定值，⑿含参数分类讨论问题，⒀恒成立、有解、无解求参数取值范围问题，⒁零点问题，⒂函数的应用，⒃函数综合题．
练就火眼金睛
给出函数解析式，如果我们能直接“看出”函数的定义域、值域、零点、定点，单调性、奇偶性（对称性）、周期性等函数性质，那么对于解决函数问题就变得比较容易了，因为利用函数性质才能解决函数问题．
学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！
怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．
学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．
专题6
奇偶性、对称性(B1)
课本篇
1．奇偶性定义：先注意定义域是否关于原点对称，再比较与的关系．【奇函数、偶函数定义域一定关于原点对称．】
⑴
：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有
，那么函数就叫做偶函数．
即为偶函数的图象关于轴对称
【变式：】；
⑵
：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有
，则函数就叫做奇函数．
即为奇函数的图象关于原点对称
【变式：】．
【注意】①奇函数的定义域若包括，则必有．用于求解析式中的参数的值，或用于写分段奇函数.
②为偶函数，常用于解（抽象函数型）不等式或方程．
③若，且的定义域关于原点对称，则既是奇函数也是偶函数．
④奇偶性分类：
⑤判断函数奇偶性有时还需先在定义域内对函数解析式化简或作适当变形．
⑥分段函数可以直接整体代入后判断，或分步判断，也可以考虑合二为一后判断，还可以数形结合判断．
⑦两类非奇非偶函数：定义域不关于原点对称的函数一定为非奇非偶函数；
若，则为非奇非偶函数，也可通过取反例说明，如：．
⑧定义中的变式常用于对数型函数、或抽象函数的奇偶性的判断或证明．
⑨奇函数“负号可进可出”，偶函数“负号可隐可现”.
2．求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式：
偶函数利用
，奇函数利用
．
3．含参数的函数具有奇偶性，一般要先利用奇偶性求出参数！
用定义，或去转化求解，利用恒成立思想、或赋值法完成；
课外篇
1．两段式的分段函数若具有奇偶性，则其构造模式为（注意：必要时可合二为一！）：
奇函数：【】；
．
偶函数：
【】．
．
【两段式的分段函数，只有当上下两段只有“”的符号差异时，则才可能具有奇偶性！】
2．①为奇函数
②为偶函数
3．设的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数．
专题7
对称性
1．轴对称（自对称）：，.
将关于轴对称的偶函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于直线对称．
①图象关于直线对称；
②图象关于直线对称．
恒等式特征：函数值相等，左右两边的的系数相反，可联想偶函数．
2．中心对称（自对称）：，.
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移个单位后，其图象关于点对称．
①函数图象关于点成中心对称；
②函数图象关于点成中心对称；
③函数图象关于点成中心对称．
恒等式特征：函数值的和为常数，所含的两个系数相反，可联想奇函数．
3．若图象关于直线或点对称，且有个零点，则．
若的图象都关于直线对称，且它们有个交点，则交点的横坐标之和为．
若的图象都关于点对称，且它们有个交点，则交点的横坐标之和为，纵坐标之和为．
4．奇函数、偶函数定义域关于原点对称．一般地，函数关于点成中心对称或关于直线成轴对称，则定义域关于直线对称或点对称．
5．证明一个函数图像的自身对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上．
①证明关于点成中心对称的一种简便方法：先证明是奇函数，即关于原点对称，再利用平移变换就可说明关于点成中心对称．
②证明关于直线成轴对称的一种简便方法：先证明是偶函数，即关于轴对称，再利用平移变换就可说明关于直线成轴对称．
课外篇
掌握下列函数性质：定义域，值域(最值)，图象，单调性，奇偶性．它们的单调性、奇偶性与系数的关系要把握住！
1．一次函数：，
⑴定义域为，值域为．
⑵图象：直线()，射线(或)，线段()的图象皆由两点确定．
⑶单调性：时，为上的增函数；时，为上的减函数；
⑷奇偶性：时为奇函数；【时为偶函数】
⑸的值域为．
2．二次函数：，还可阅读讲座：二次方程根的分布.
⑴定义域为；当时，值域为；当时，值域为．
⑵图象：利用与轴两交点、对称轴、顶点作图．【三点一线，两交点，对称轴】
【值域、最值、单调性问题用好对称轴，解集问题用好零点！】
⑶单调性：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
⑷奇偶性：时为偶函数．（时为奇函数）
⑸的值域：
【不能简单类比而得出错误的结论．】
①当时，值域为；
②当时，值域为或（二者必居其一）．
⑹与的图象有相似之处：都有顶点，也都有对称轴，也有开口方向.
3．反比例函数：，
⑴定义域是，值域是．
⑵图象：时一、三象限的双曲线；时二、四象限的双曲线．
⑶单调性：当时，在上为减函数；当时，在上为增函数．
⑷奇偶性：一定是奇函数．
⑸反比例型函数：，其图象可由的图象变换得到；其值域为．
4．高中所学：，，，，，．
不等式的解集：设，，则
⑴；
小于取中间
⑵．
大于取两边
【“小鱼吃中间，大鱼吃两边”，即“小于取中间，大于取两边”；数轴穿根法：奇穿偶切．】
⑶；
小于取中间
⑷．
大于取两边
⑸；
小于取中间
⑹；大于取两边
专题8
指数与指数函数(B1)
一、指数与指数幂的运算
1．若，
．（）
（1）当为奇数时，
；
（2）当为偶数时，
；
2．根式的性质：①
，
②
（）
3．正数的正分数与负分数指数幂的意义：
①
；
②
．
4．正数的指数幂的运算性质：（，）
①
，②
，③
；
④
，
⑤
，
⑥
．
【说明】
．
一般地，运算结果与原式表现形式相同；
运算结果为分数时，不允许分母出现负分数指数幂.
二、指数函数的图象和性质：
【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性．】
三、最终会解决、的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、定点、解集等问题.
课外篇
1．化简技巧：
⑴；⑵若，则．
⑶因式分解：①，
②．
⑷注意，，，，，，，等诸如此类的这些代数式之间的联系：平方法、配方法、换元法，注意求差时值的符号(可正可负！)．
2．根据正数的指数幂的运算性质，上升到抽象函数：，等．
3．比较大小的方法：①利用单调性；②利用中间量0，1或构造的中间量（如指数幂等）．
4．与指数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性：
奇函数：①，【单调性：变形为可快速判断单调性】
②；【奇偶性：】
【单调性：变形为可快速判断单调性】
偶函数：③，【还要掌握其图象！】
5．求值问题：对于含多个式子的求值，有些单个求出，有些组合算出，有些正负抵消，有些约分约掉．
6．掌握两个函数图象的对称性，过定点问题，复合函数单调性问题．
7．解含参数不等式：分类讨论+分类整合.
【补充】1、n为奇数时，=
;n为偶数时=
(a为非负数)=
（a为负数）
2、n次根号0=
负数没有
3、有理数指数幂运算性质：（1）=
(2)=
(3)=
4、（1）常用对数和自然对数①常用对数：以___________为底N的对数，简记为lgN
；
②自然对数：以__________为底N的对数，简记为lnN.
（2）指数式与对数式的相互转化：ab＝N?
_______(其中a＞0且a≠1，N＞0)．
5、对数运算的性质(M＞0，N＞0，a＞0且a≠1)
(1)
loga(MN)＝______________；
(2)
loga＝_____________；(3)
logaMn＝__________.
6、对数换底公式(N＞0，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)logbN＝__________.由换底公式可以得到：logab＝_____，loganbm＝______，logab·logbc＝________.
7、指数式：
=
对数式
8、（1）=
(2)=
（3）=
(4)=
9、函数的平移
将y=f（x）向左平移a个单位得到
将y=f（x）向上平移b个单位得到
将y=f（x）先向左平移a个单位，再向上平移b个单位，得到
专题9
对数与对数函数(B1)
课本篇
一、对数与对数运算
1．如果，那么数叫做以为底的对数，记作
．
2．．
【简记：，，其中】
①
；②
；
③
；④
．【可用于常数化指数式、对数式】
3．对数的运算性质()：
若，则
.（两边取对数）
（1）
；
（2）
；
【
】
（3）
．
【
．】
【注意】①，正确的是：．
②对常用对数式的化简，要充分利用．
4．换底公式：
；(其中，)
推论：①
；②
；③
．
二、对数函数的图象和性质：
【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性】
三、最终会解决、的定义域、
值域、最值、单调性、奇偶性、定点、解集等问题.
四．①互为反函数；②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，反之亦然．
③点与关于直线对称．
课外篇
1．与对数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性：
奇函数：①，【更一般地，】
【奇偶性：，或】
【单调性：先判断时的单调性，而后由奇函数性质得知上的单调性】
②，【更一般地，】
【奇偶性：，或】
【单调性：变形为或利用展开可判断单调性】
偶函数：③，【还要掌握其图象！注意区别于的图象】．
2．研究函数的值域、最值、单调性等问题，必须在的前提下（即应先求出函数定义域）．
3．设函数，记．
①若的定义域为，即恒成立，则或
②若的值域为，即取遍一切正实数，则或
掌握两个函数图象的对称性，过定点问题，复合函数单调性问题．
专题10
幂函数的图像与性质(B1)
课本篇
1．定义：函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．重点掌握：时图象与性质．
(
②
①
③
)2．图象与性质：右边几个函数的图像都只画出第一象限内的部分，
二三象限内的图像可根据定义域，奇偶性确定！
当时，在是增函数；
当时，在是减函数．
3．幂函数，（，且互质）可分别化为：，，再研究函数性质．
课外篇
1．设是（关于的）方程的两根，
【此时对不能用韦达定理】
则是关于的方程的两根．
【此时对才可用韦达定理】
①通过换元法理解上述结论：令，则方程的两根为，．
②在具体问题中，常为，或，或，或，或等．
2．设，是的根，是的根，求的值．
方法：在同一坐标平面中作出的图象，显然的图象关于直线对称，且函数的图象关于直线对称，则和的交点也关于直线对称；由解得交点坐标，则由对称性易知，所以．
3．由，，的图象掌握多项式函数的图象特征，并能求出相关不等式的解集．【数轴穿根法】
4．函数的迭代：，，其函数零点个数问题与递推数列关系密切．
①若的解为，则即的解由确定；
②若的解为，则即的解由确定．
其实就是相当于利用换元法解方程！
分段函数问题
以两段式分段函数为例：⑴，⑵，⑶．对于⑴：
①定义域为；
②值域为；
③奇偶性：当集合关于原点对称时，用判断；
④单调性：既要分段考查，也要整体考查，特别是在求所含参数取值范围时，更要如此；
⑤图象：虽然函数形式上是分段的，但其图象却不一定是分段的，也有可能函数图象是连续的曲线，
如⑵：当时，其图象就是连续曲线，利用数形结合解题时，要特别注意这一点．
⑥解与分段函数有关的不等式，最好转化为几个不等式组去解.
⑦含有的含参函数变分段函数后，最易忽略图象在处是否连续(当定义域包含时).
事实上，对所有分段函数在分段点处是否连续都要注意(当然首先要注意定义域是否包含)！
专题11
函数与方程、二分法(B1)
课本篇
1．零点定义：对于函数，使得的实数叫做的零点．
即函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴交点的横坐标．
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
2．求函数的零点或求方程的根的方法：【根据需要，相互转化．】
①代数法：求函数的零点转化为求方程的根；【此时解方程要熟练，含字母时会分类讨论求解】
②几何法：求方程的根转化为求函数的零点，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
3．连续函数零点判定定理：
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根（亦即的零点）．
说明：①符合该定理的条件，能确定在区间内有零点，但零点不一定唯一．
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定．不满足该定理的函数也可能有零点．（即逆命题为假命题）函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．
③若在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则在区间内有唯一零点．
④设，若在上有零点，则；
⑤会运用放缩法或估算，确定，的符号（正负号），以便确认在区间有零点．
⑥可借助“”，“”等符号或者说“充分大时”，来说明在区间端点值的正负．
4．二分法定义：对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
5．给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）确定区间，验证，给定精确度；
（2）求区间的中点；
（3）计算：
①若，则就是函数的零点；
②若，则令(此时零点)；
③若，则令(此时零点)；
（4）判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（即，的某端点）；否则重复步骤．
【注意】①当区间的长度小于精度时，则该区间上任意一个值都可以做为零点的近似值，只是习惯取端点（即，的某端点，亦即上一个区间，的中点）回答．
【亦可为．】
②由于经过次对分后区间长度为，因此由可以事先确定需要对分区间的次数．
课外篇
1．根据含参数函数的零点个数，求参数取值范围的方法（无论客观题还是解答题，基本上都是要善于数形结合）：
①函数有(个)零点方程有(个)实数根
方程有(个)实数根函数的图象有(个)交点．（正转化、逆转化要熟练）
②分离参数法：方程有个根的图象与直线有个交点．
【注意区别】
方程有根．
，(或等)，求参数取值范围：这种问题中，一般有多个零点，利用距离最远的两个零点，满足，即可求出参数取值范围
专题12
函数的应用(B1)
课本篇
1．函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．在区间上，尽管，，都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．
因此，总会存在一个，当时，就有．[对数增长，直线上升，指数爆炸]
3．根据收集到的数据特点，通过建立函数模型，解决实际问题的过程：
课外篇
1．求解数学应用题的一般步骤：
①审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系．
②建模：通过抽象概括，引进数学符号，将实际问题转化为相应的数学问题，要注明符合实际意义的定义域；
③解模：求解所得的数学问题；
④回归：将所解得的数学结果，回归到实际问题中去．
2．常见的函数模型有：（根据列表作出散点图选择函数模型，即列表法图象法解析法）
①一次函数，二次函数，反比例函数模型：，，．
②指数函数、对数函数、幂函数模型：，，．（）
三角函数模型：
③指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次的增长，该量增长到，则．
复利问题、半衰期（衰减）问题都是符合指数增长模型．
④分段函数模型：若一个函数在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应法则不同，则需用分段函数来表示．（这样的函数通常称为分段函数）
3．在“求当取得最值时的值”的题型中，一般都能建立的函数关系！不管的形式有多么复杂，也不论是在立体几何、解析几何、函数、数列等背景中．
(函数思想)
4．在应用题中，若涉及到的数量关系较多时，最好是先分类说明，然后再建立函数关系式(或不等式)．这样，在考试中，即使不能完全做对，也能得到相应的一些步骤分．而直接列式在错误的情况下，一般是不会给分的．
高分讲座1
定点问题及抽象函数(B1)
1．含参数的函数(或曲线方程)图象经过的定点，关键是找到常数(或)的值，使得(或)的值为常数，即得定点．
①若过点，则过点；
【因为由已知可得．】
②若过点，则过点；
【利用图象平移或．】
③若，其中为参数，则过的定点为；
【利用．】
④若，其中，且，则过的定点；
【利用．】
⑤若，其中，且，则过的定点为．
【利用．】
2．①给出和求，常先研究，此时能推出一个恒等式，利用它能快速求出．
【若为定值，则函数就具有中心对称的特点，显然是由某个奇函数常数而得到的．】
②给出和求，常先研究，此时能推出一个恒等式，利用它能快速求出．
③求一系列函数值的和，若每对函数值中的自变量之和为同一常数，则要考虑是否为定值．
【若是定值，则该函数就还具有中心对称的特点．项数若为不确定的时，求和则用倒序相加法较为简单．】
④求一系列函数值的和，若每对函数值中的自变量之积为同一常数，则要考虑是否为定值．
⑤求的最大值与最小值的和的值，或告知的最大（小）值，求的最小（大）值，应注意是否为中心对称函数：若，则函数图象关于点成中心对称，则．
【说明：对于①③⑤可结合函数图象，掌握中点坐标公式．】
课外篇
1．解客观题中的抽象函数问题，一般先把抽象函数的性质反映到图象上去，再利用图象去解题．
有些具体函数问题的处理也类似抽象函数的处理方法（主要利用奇偶性、单调性、零点等性质）．
2．给出抽象函数的运算性质，常从求函数值（赋值法）、奇偶性（赋值法）、单调性（定义法）、或数值转化成函数值（解不等式时）等方面入手研究．【常用变换：，．】
①，，
一次函数模型，如．
②，，
指数函数模型，如．
③，，
对数函数模型，如，．
④，，
幂函数模型，如，．
⑤，，
正切函数模型，如．
⑥，
函数模型，如．
3．熟悉符号的含义：不超过的最大整数；如需讨论化简，分情形进行．
若令，则，故称为取整函数．
性质：当时，.
4．带绝对值符号的函数、方程、不等式问题，在没有更好方法的情况下，不妨考虑分段去绝对值符号，分段研究．
5．复合函数问题的研究：①换元法；②求出的表达式再求解．
6．涉及运动（应用）型函数图象的判断或某些函数图象的作图，一是会作定性分析，二是会作定量分析．
7．下列分段函数的转换表示要掌握，再利用数形结合容易解决问题！
⑴，⑵.
高分讲座2
成立与恒成立(B1)
重点掌握！多思多悟！每次必考！【分离参数法，含参转化法】
1．结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围．
设函数的值域为或或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】⑴一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
⑵上述结论也适用于为常数0，即没有先行分离出参数时使用！
⑶取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2．分离参数的方法：【常用于求或恒成立、或有解、或无解、或已知函数零点个数命题中的参数取值范围问题．】
分离参数时，尽量让右边的函数简单，即可以把右边整体的负号、常数项等，分离到左边的参数中去，便于研究！
①常规法分离参数：如；又如.
②倒数法分离参数：如；【当的值一定不为0时，可考虑用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如；
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】⑴分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）．
但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
⑵恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
⑶对参数是否可以先适当缩小范围？通常用观察法、反证法就可以说明确认．
3．设，则：
①若在恒成立，则
②若在恒成立，则
③若在上有零点，则；
4．①若在上恒成立，则或
②若在上恒成立，则或
③若()在上恒成立，设，则：
④其他一些关于二次函数恒成立命题，利用对称轴进行讨论，或考虑用分离参数法．
通法先行，随机应变！大胆猜想，小心求证！
课外篇
1．与单调性有关的命题处理
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
方法二：在无实数解或有解也只能是偶次重根(或说无极值点)．
④若是区间上的单调函数，则是区间上的单调函数，且（或）恒成立．
⑤若在上存在递增或递减区间，则或在[上有解．（或利用不存在去转化．）
⑥在上不是单调函数，则在有解且解不全为偶次重根（或说有极值点）．（或用补集思想解）
2．①，，使得方程成立．
②，，使得方程成立．
③设，若，利用(或)可求出(或)的取值范围.
3．任意性、存在性问题的处理
⑴；
【①，；
②，.】
⑵；
【①，；
②，.】
⑶；
【①，；
②，.】
⑷．
【①，；
②，.】
【推广】；
4．①．
(①②两种方法的关键都是先确定的值域!)
②．
(范围相加!)
5．或或或等恒成立，求参数取值范围．其中或或或或或等简单而又容易确定单调性的函数．
【方法】关键在于：不妨令．然后再通过（单调性）去绝对值、去分母，移项等手段，将题设中的不等式转化为：，或等类似的形式，从而确定：为单调递增函数！或为单调递减函数！然后用导数法、分离参数法等方法彻底完成．
6．①恒成立，可用于解决集合中含参数的问题．
②使成立，可用于解决集合中含参数的问题．
③还可利用全称命题与特称命题的相互转换及补集思想解决恒成立命题与存在性命题．
7．含多个参数恒成立问题：逐一处理，并适当注意处理顺序（先易后难）．
8．已知为单调增（或减）函数，则“，使得”
【稳定点】
“，使得”．【不动点】
因为如果，则可设，且不妨令，则，这与矛盾．
9．已知①不等式恒成立、有解、无解，②方程有解、无解，③函数零点个数，求参数取值范围问题．解决此类问题的常用方法：分离参数法、含参转化法．
高分讲座3
二次方程根的分布(B1)
1．三个“二次”问题：二次方程，二次函数，二次不等式.
其中二次函数是核心！解决问题要善于数形结合！充分利用零点、对称轴，解决求解集、值域、单调性、取值范围问题．
二次方程根的分布，有时也叙述成二次函数的零点分布，也可以用二次不等式的解集与其他集合的包含关系体现.
2．以下条件(问题)的转化都是用于求方程中所含参数的取值范围．
设的两根为．令，，则
Ⅰ、两根在同一区间：先画图，再研究⑴的符号、⑵轴与区间关系、⑶区间端点函数值符号；见①②③．
【三抓：一抓判别式，二抓对称轴，三抓端点值！】
（两根在同一区间只有三种情形！）
【实质上也满足函数零点判定定理！】
Ⅱ、两根不在同一区间：先画图，只研究区间端点函数值符号；如④⑤⑥⑦⑧⑨等．
【一抓：只抓端点值！利用函数零点判定定理！】
（两根不在同一区间情形比较多！）
Ⅲ、根的分布问题还可以这样解决：
用求根公式求出两根后加以限制；②或灵活运用韦达定理建立不等式(组)；③分离参数法．
①
②
③
④
⑤
⑥；
⑦
⑧
⑨
3．若一元二次方程在区间上只有一个根，则可从以下三方面入手：
①；②或；③．【还可以考虑用分离参数法．】
4．一般方程根的个数分布：怎么研究？【利用函数的单调性确定函数图象的起伏！这个问题很重要！常考不衰！】
①含参数的方程在只有一个根．
②含参数的方程在只有两个根．
③含参数的方程在只有三个根．
【涉及（含参数的）函数的零点个数问题，应该有预知该函数图象起伏的能力，然后通过运算推理确认．】
(个数分布问题，范围分布问题---常考不衰！)
【补充】1、指数、对数、幂函数的图象和性质
指数函数
对数函数
对勾函数
图象
（标注原点，X，Y轴以及必要数据）
定义域
值域
单调性
奇偶性
定点
2、一元二次方程根的分布
根的分布
图象
满足条件
根的分布
图象
满足条件
【课后练习】
一、单选题
1．（2021·全国高三二模）为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度与其死亡后时间(小时)满足的函数关系式为.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（
）小时后，海鱼的新鲜度变为.(参考数据：，)
A．3.3
B．3.6
C．4
D．4.3
2．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2021·重庆高三三模）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·广州市培正中学高三三模）已知函数，则下列命题正确的是（
）
A．在上是增函数
B．的值域是
C．方程有两个实数解
D．对于满足，则
7．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知是定义在上的函数，则（
）
A．若为增函数，则的取值范围为
B．若为增函数，则的取值范围为
C．若为减函数，则的取值范围为
D．若为减函数，则的取值范围为
8．（2021·江苏南京市·高三二模）已知，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（2021·山西高三三模（文））已知函数，若，则___________．
10．（2021·江苏高二专题练习）设函数，若，则______．
11．（2021·江西宜春市·上高二中高二其他模拟（文））已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则______.
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