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高三数学一轮复习案
模块一
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姓名：
2022届新高三一轮复习·模块一
【知识点梳理】
▲专题1
集合(B1)
课本篇
一、集合的含义与表示(“集合”一词联想1234：一种数学语言、两种表示方法、三条性质、四个字母)
1．元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．
集合中的元素具有：
、
、
2．元素与集合的关系：
3．常用数集符号：
正整数集，
自然数集，
整数集，
有理数集，
实数集，
无理数集，
复数集，
偶数集，奇数集．
；．
4．集合的三种常用表示方法：
、
（形式可具有多样性）、
（一种解题工具或方法）．
列举法中集合的表示：①数集，如
；②点集或方程组的解集，如
；
当元素个数较多或无限，且规律性较强时，可使用省略号“…”表示.
描述法中集合的表示：①数集
【数集一般都要进一步化简！】，②点集或方程组的解集
．
二、集合间的基本关系
1．集合与集合的（包含）关系：
概念：①子集（若，都有则
）；【显然，；另规定：．】
②集合相等（若，且）；
③真子集（若，但，且，则
．）【显然，空集是非空集合的真子集．】
2．若集合中有个元素，则集合的所有子集个数为
（∵或．）
所有非空子集的个数是
，所有真子集的个数是
，所有非空真子集的个数是
．
3．集合的分类：
三、集合的基本运算
1．①并集：
②交集：
③补集：
【显然与成对出现】
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作．
注意：求解某集合的补集时，最好先求出该集合，然后再写其补集，直接转化集合中的条件（分式，根式，对数式等），容易导致出错，如，则的补集是，而不是．
2．摩根定理：①
；②
．
【右图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分你能用集合符号表示吗？】
3．包含关系的各种等价表示：①．②．
③．④．⑤．
4．含参数的集合满足或等情形时，在求解的时候要注意是否需要分与两种情形讨论．
课外篇
1．求集合（有限集）中的参数的值要注意检验：①是否违反集合中元素的互异性，②是否与已知条件矛盾．
2．求集合交、并、补或求满足或等情形时参数取值范围的方法：
①观察法（有限集），②数形结合法【抽象集利用
图，数集利用
，点集利用
】．
3．你会用补集思想解决问题吗？补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．如.
▲专题2
常用逻辑用语[X21]
课本篇
一、命题及其关系
1．⑴命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；
⑵分类：
．【假命题的判断：只需举出一个反例即可！】
⑶形式：“若，则．”【含有大前提的命题：“当…，若，则”．】
⑷说明：①非恒成立的（单个）不等式一般不是命题；②“”是真命题．
⑸对于命题“若，则”的真假性判断：
①若由条件成立，可以推断出一定成立，则该命题为真命题，否则就是假命题；
②若对应集合，对应集合，则当时，该命题为真命题，否则就是假命题；
③若为某个字母的取值范围，为某种状态，则意味着由也可以推出该字母的取值范围，再利用②判断该命题的真假性．【对语句、命题先转化或化简，是一项重要工作！要养成习惯！】
2．四种命题之间的相互关系(如图)．
⑴两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（等价命题）
【当直接判断一个命题的真假性或直接证明一个命题有困难时，
可转化为判断或证明该命题的逆否命题！正难则反，间接法．】
⑵两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．常见词语的否定：
⑴是不是；
⑵都是不都是；
⑶大于不大于；
⑷小于不小于；
⑸(即，
⑹至少有一个一个也没有；⑺至多有一个至少有两个；
⑻至少有个至多有个；⑼至多有个至少有个；⑽或且；
⑾且或；⑿对所有成立存在某不成立；⒀对任意不成立存在某成立．⒁增大不增大；
⒂是增函数不是增函数；⒃正数非正数；⒄完全不完全；⒅．
4．对于结论含有“不可能、不是、至少、至多、唯一、一定等”字眼的命题或某些单调性命题，直接证明往往比较困难，那么采用间接法（等价命题证明法、反证法）证明就比较容易．
⑴等价命题证明法：先写出原命题的逆否命题，再利用逆否命题的条件去证明逆否命题的结论成立即可，然后习惯写上：可见原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
⑵反证法步骤：①假设结论反面成立；②从这个假设出发，进行推理，得出一个结论，这个结论要与原命题的条件矛盾或与假设矛盾或自身矛盾或与公理、定理等矛盾；③从而肯定原结论正确．
说明：等价命题证明法是利用原命题与逆否命题真假性相同，反证法是利用与真假相反．
二、充分条件与必要条件【充分性，必要性．】
1．当“若，则”为真命题时，即，则
．
【一个关系、两种表述】
【前充分，后必要；小充分，大必要；小范围大范围．】
当“若，则”为假命题时，即，则
．【一个关系、两种表述】
2．⑴若，则
；
⑵若且，则
；
⑶若，则
；
⑷若，则
；
3．充分条件、必要条件的判断方法：
⑴从相互推出关系看：给出，既要判断是否可以推出，还要判断是否可以推出．
⑵从命题真假关系看：判断“若，则”与“若，则”的真假性．
⑶从集合包含关系看：设包含的对象分别组成集合，
①若，则是的充分条件；反之亦然；
【若，则是的必要条件；反之亦然】
②若，则是的充分不必要条件；反之亦然；
【若，则是的必要不充分条件，反之亦然】
③若，则是的充要条件；反之亦然；【若没有任何包含关系，则是的既不充分又不必要条件】
三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．逻辑联结词：且、或、非．
【简单命题、复合命题】
2．复合命题的真假性：①：全真为真，有假为假；
【命题的否定是：；】
②：全假为假，有真为真；
【命题的否定是：；】
③（非，的否定）：与真假相反．
【带有否定意味的命题可视为命题！】
注意命题的否定与否命题的区别：①命题的否定只否定结论；②否命题要同时否定原命题的条件与结论；
3．全称命题及特称命题及其否定：（前提转换，结论否定．）
⑴全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给等，用表示，【也有些命题字面上没有全称量词！】
全称命题：．它的否定：．全称命题的否定是特称命题！
⑵存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等，用表示，
特称命题：．它的否定：．特称命题的否定是全称命题！
【注意】①全称命题、特称命题均无否命题．
②当为数集时，命题“若，则”应视为全称命题．
③命题“若，则”的否定：当“若，则”中含有一个量词（字面上不一定出现）时，按全称命题或特称命题去否定．
课外篇
1．由，既可说是的充分条件，也可以说的充分条件是；
由，既可说是的必要条件，也可以说的必要条件是；
由，既可说是的充要条件，也可以说的充要条件是；
2．证明是的充要条件（即证）：
【法1】⑴充分性：即证；⑵必要性：即证．
【法2】等价转化法一次性完成【书写时使用“”】，即．
而求成立的充要条件，一般用等价转化法．
3．如何由求？若包含的对象组成集合，则应先化简集合，这样再推出，即得到，按这样的顺序做不容易出错．即若，则．
如：①；②，求．【答案：①；②或．】
4．设对应集合，对应集合，当都为关于两个变量的约束条件时，可在坐标平面上作出可行域，再观察的包含关系，就能判断命题“若，则”的真假，或判断之间的充分性和必要性．
5．给出命题或语句，先把它们分别化好简是关键，再根据的真假性求取值范围，也便于判断之间的充分性和必要性．
6．由于本专题与以前所学知识联系比较紧密，所以应该复习以前所学知识！
7．阅读讲座“成立与恒成立”．涉及到求参数的取值范围的充分、必要条件问题，还可以利用大范围对小范围恒成立的思路去完成．
8．对于涉及含参数或变量的(对应集合)，(对应集合)两者间的充分性、必要性，求取值范围问题：
关键在于将，两者间的充分性、必要性，转化为集合的包含关系！（小范围大范围）
▲专题3
不等式的性质(B5)
课本篇
一、不等关系与不等式
1．会从实际生活中提炼出不等式（组），混合不等式组．（不等号；同向不等式，异向不等式）
2．实数比较大小（比差法）的基本理论：⑴；⑵；⑶．
3．比较法步骤：⑴作差(商)；⑵变形；⑶定号．
【比差法：、（与0比大小）；比商法：（与1比大小）】
⑴若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小，
如判断与的大小；
⑵两个无理式比较大小，分子有理化、分母有理化是常用手段，
如判断与的大小；
⑶还可利用函数单调性比较大小．
二、不等式的基本性质：（不等式没有减法、除法的性质）
⑴对称性：
⑵传递性：
⑶可加性（两条）：①
，②
；
⑷可乘性（两条）：
②
（同正同向可相乘）
⑸乘方性：
⑹开方性：
⑺可倒性：若
．【同号可倒要变向】
课外篇
1．若，．【真分数越加越大，假分数越加越小！】
2．①若且，；
②若且，则至少有一个成立．
3．（这类不等式，在单调性定义、三角函数、数列等中均有涉及）．
【思考：求的取值范围．】
4．时，．
▲专题4
解不等式(B5)
课本篇
1、一元二次不等式的解法：
对于一元二次方程，
（当时，方程两根为）
解一元二次不等式的步骤：
⑴整理好不等式，，【系数一般化为整数】
⑵通过判别式或求根公式确定方程的根，
⑶（画出函数图象后）写出不等式的解集．
【注意：①缺省时，意味着．②熟练之后第⑵步书写可省略．】
2．一元二次不等式的解集若已给出，则解集中的端点值是方程的根．
【这个结论可推广到高次不等式，分式不等式可化为同解不等式（整式不等式）．】
3．设的两根为，则：
①的解集为；
小于取中间
另外：；小于取中间
②的解集为；
大于取两边
另外：．大于取两边
【“小鱼吃中间，大鱼吃两边”；即“小于取中间，大于取两边”．或掌握数轴穿根法！】
课外篇
1．含个一次因式的整式（高次）、分式不等式的解法（皆可用数轴穿根法）：
①画波浪线：从右往左、从上往下、奇穿偶切；②读出解集：上正下负．
【口诀：原式化为标准形，数轴上面标出根，奇穿偶切画曲线，上正下负解集明．】
【注意：每个一次因式中的的系数必须为正！带等号的不等式，最后注意在解集端点上确定．】
【说明：其实多项式函数的图象有如数轴穿根法所画的波浪线！】
2．分式不等式①，②的一般解题思路是什么？
⑴移项通分、数轴穿根；
⑵化为同解不等式（整式不等式）；
⑶分类去分母，解两个不等式组．
3．含参二次不等式（或）恒成立，如何求参数取值范围？
【数形结合、分离参数、分类讨论等．可参见讲座“成立与恒成立”．】
4．解指数不等式与对数不等式（注意是否要分类讨论：与，若需讨论，整合时解集不能并．）
①；
②．（要注意真数必须大于零．）
5．不等式与数列、函数的综合联系．
▲专题5
含参数不等式的解法(B5)
1．对于含字母参数的数学问题，要特别注意对参数是否需要分类讨论；在化简、运算、推理无障碍的过程中，不要对参数提前讨论．若能事先确定含参数不等式的讨论标准【所谓标准，就是影响解集的参数的临界值！】，再对参数分段解不等式就容易了！
2．解含参数的一元二次型不等式(或)的分类讨论标准的确定方法：【解高次不等式可借鉴．】
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：①讨论与0的大小；②讨论与0的大小；③讨论两根的大小.
⑴【适合能或已因式分解且二次项系数为正的题型】对两个根的大小直接分三种情形讨论，如：，；
⑵【适合能或已因式分解且一次因式的系数含参数的题型】令含参数的一次项系数，各因式的根，解出参数的值，即得讨论标准．如：．
⑶【适合不能直接因式分解的题型】令含参数的二次项系数，，解出参数的值，即得讨论标准．
如：．
⑷【还可以从能不能确定二次项系数符号，配方之后能不能因式分解的角度去分类讨论！】
即．
如：．
■讨论完之后，要总结：综上所述，当…时，原不等式的解集是…；当…时，原不等式的解集是…；
(分类与整合的思想)
3．含参数的函数其单调性的讨论，如：，或．
除了利用上面2．，的含参数的根在不在定义域内也是一个讨论标准，即令等于定义域的端点值而解得又一讨论标准．
▲专题6
基本（均值）不等式(B5)
课本篇
1．重要不等式：
，变式：
，当且仅当
时取“”号．【】
2．基本不等式：
，当且仅当
时取“”号．【一正、二定、三相等！】
变式：⑴
，
【一般情况下，求和的最小值，则应使积为常数（亦称定值）．】
⑵
，
【一般情况下，求积的最大值，则应使和为常数（亦称定值）．】
注意：⑴当时，
．
⑵“1”的代换：①已知，求的最小值．
②已知，求的最小值．
⑶当等号成立的条件不具备时，注意双勾函数的图象、单调性的运用．
⑷对于“整式分式”型的一元函数，用基本不等式求最值，关键在于先将“整式”凑成与“分式”的分母相同或成倍数关系，当然，如果“分式”的分子含变量，则必须先分子常数化．
①，②，③，
④，⑤(为根式、对数式、三角函数式等)…
课外篇
1．(当时取“”号)．
⑴指数推广：(时取等号)；
⑵项数推广：．
2．⑴，⑵，⑶．
⑷，⑸，
3．不等式的证明方法：比较法、综合法、分析法、换元法、放缩法．
4．可以解决的主要问题：比较大小，求最值，证不等式，不等式（或方程）成立（有解）、恒成立求参数取值范围等．
【课后练习】学生注意！所有的练习题都配有相关的答题卡，请考生将答案内容填涂到答题卡上！
1．（2019·河南郑州市·（理））“”是“方程表示椭圆”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2018·浙江高考真题）已知全集，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·甘肃兰州市·兰州一中高二期中（文））若正实数满足，则
A．有最大值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
4．（2012·天津高考真题（文））设，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（多选）（2020·湖南高二月考）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的是
A．若两直线的斜率相等，则两直线平行
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（多选）（2020·福建宁德市·高三其他模拟）已知命题p：关于x的不等式的解集为R，那么命题p的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2020·武邑武罗学校高一期中）下面命题正确的是（
）
A．“”是“”的
充
分不
必
要条件
B．命题“若,则”的
否
定
是“
存
在,则”.
C．设,则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设,则“”是“”的必要
不充分条件
8．（多选）（2021·江苏南京市·高三二模）已知，，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·湖南娄底市·娄底一中高二期中）当时，的最小值为______.
10．（2018·广东广州市·执信中学高三月考）已知，且，则的取值范围是____.
11．（2017·江苏南通市·高考模拟）若，则实数的取值集合是________．
12．（2021·全国高三专题练习）已知，，，且是成立的必要不充分条件，则实数的取值范围是________．
13．（2019·北京市第二十五中学高一期中）已知集合，（Ⅰ），求；（Ⅱ）若，求实数的值.
14．（2020·民勤县第一中学高二期末（理））已知函数
（1）若，在R上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若成立，求实数的取值范围.
16．（2020·全国高三专题练习（文））设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足x2﹣5x+6＜0．
（1）若a＝1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
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