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(共50张PPT)
章末检测试卷五(第六章)
第六章　概　率
(时间：120分钟
满分：150分)
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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于
√
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解析　由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，
即10a＋4b＝1，
又X的均值E(X)＝3，
则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3，
解析　由题意得，随机变量X～B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，
2.随机变量X～B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，则n，p的值分别为
√
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3.已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等于
A.0
B.1
C.2
D.4
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解析　∵ξ＝2η＋3，
∴Dξ＝4Dη，
又Dξ＝4，
∴Dη＝1，故选B.
√
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4.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是
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√
解析　袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率
5.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为
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√
解析　记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，
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故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，
于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(06.设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)＝
，P(X>2)＝p，则P(0√
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在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为
A.0.7
B.0.5
C.0.3
D.0.2
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7.某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：
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√
年降水量X
X<100
100≤X<200
200≤X<300
X≥300
工期延误天数Y
0
5
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30
概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
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解析　设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，
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故选B.
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的均值Eξ为
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解析　由于对称轴在y轴左侧，
ξ的可能性有0,1,2三种，
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示：
下列选项中正确的是
A.a的值为0.1
B.EX＝0.44
C.EX＝1.4
D.DX＝1.4
√
√
X
0
1
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P
a
4a
5a
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解析　由离散型随机变量的分布列的性质知
a＋4a＋5a＝1，
∴a＝0.1.
∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，
∴均值EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，
方差DX＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5
＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
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X
0
1
2
P
a
4a
5a
10.某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是
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√
√
√
故选ACD.
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11.若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立的有
A.φ(－x)＝1－φ(x)
B.φ(2x)＝2φ(x)
C.P(|ξ|≤x)＝2φ(x)－1
D.P(|ξ|>x)＝2－φ(x)
√
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解析　∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，
∴正态分布关于ξ＝0对称，
∵φ(x)＝P(ξ≤x，x>0)，
根据曲线的对称性可得
对于A，φ(－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，
∴该命题正确；
对于B，φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，φ(2x)≠2φ(x)，
∴该命题错误；
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对于C，P(|ξ|≤x)＝P(－x≤ξ≤x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，
∴该命题正确；
对于D，P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，
∴该命题错误.故选AC.
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12.下列说法中正确的是
A.设随机变量X服从二项分布
B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(0C.E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋3
D.已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0，则Eξ随着x
的增大而减小，Dξ随着x的增大而增大
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√
√
√
所以选项A正确；
对于选项B，因为随机变量ξ～N(2，σ2)，
所以正态曲线的对称轴是直线x＝2，
因为P(X<4)＝0.9，所以P(X<0)＝0.1，
所以P(01
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对于选项C，E(2X＋3)＝2EX＋3，
D(2X＋3)＝4DX，故选项C不正确；
对于选项D，由题意可知，Eξ＝1－x，
Dξ＝x(1－x)＝－x2＋x，
由一次函数和二次函数的性质知，
Dξ随着x的增大而增大，故选项D正确.
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解析　正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线
x＝μ对称，μ的意义就是期望，而区间(－3，－1)和(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布总体的均值是1.
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.如果正态分布总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态分布总体的均值是________.
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解析　P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)
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14.袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝______.
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15.排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为
，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙
队获胜的概率是_____.
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解析　最后乙队获胜含3种情况：(1)第三局乙胜；
(2)第三局甲胜，第四局乙胜；
(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜.故最后乙队获胜的概率P＝
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16.王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依
次为
若走L1路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为_______，若走L2路线，王先生遇到红灯次数X的均值为________.
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解析　走L1路线最多遇到1次红灯的概率为
依题意X的可能取值为0,1,2，
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率.
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解　设A1＝“第一次患病心肌受损害”，
A2＝“第二次患病心肌受损害”，
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18.(12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
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解　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，
l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，
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(2)两种大树各成活1棵的概率.
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解　两棵大树各成活1棵的概率为
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19.(12分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03,0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？
＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)
＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98
＝0.968
5.
解　设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1,2,3,4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，
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20.(12分)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为
两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
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解　
若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，
两人都付80元的概率为
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(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值Eξ.
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解　由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.
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ξ的分布列为
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(1)若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于
200元，一人低于200元的概率；
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21.(12分)某大型企业组织员工进行爱心捐款活动.原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：
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员工编号
1
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捐款数额
120
80
215
50
130
195
300
90
200
225
1
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3
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5
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解　10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人，
故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为
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(2)若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和均值.
1
2
3
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5
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解　由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，
则随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
1
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3
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则X的分布列为
1
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22.(12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖，否则，该节目不能获一等奖.
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
17
18
19
20
21
22
解　设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票.
因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为
，且三人投票相互没有影响，
1
2
3
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5
6
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(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及均值.
17
18
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20
21
22
解　所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3.
1
2
3
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因此X的分布列为
所以X的均值为
1
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22章末检测试卷五(第六章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值为E(X)＝3，则a－b等于(　　)
A.
B．0
C．－
D.
答案　A
解析　由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0，∴a－b＝.
2．随机变量X～B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，则n，p的值分别为(　　)
A．400　
B．200　
C．400　
D．200　
答案　A
解析　由题意得，随机变量X～B(n，p)，其均值等于200，方差等于100，
所以
解得n＝400，p＝.
3．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
答案　B
解析　∵ξ＝2η＋3，∴Dξ＝4Dη，
又Dξ＝4，∴Dη＝1，故选B.
4．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C×2×＝.
5．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　)
A.
B．1
C.
D．2
答案　B
解析　记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，
则EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
6．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0A.p
B．1－p　C．1－2p
D.－p
答案　D
解析　由正态曲线的对称性知P(X<1)＝，
故μ＝1，即正态曲线关于直线x＝1对称，
于是P(X<0)＝P(X>2)，
所以P(0＝P(X<1)－P(X>2)＝－p.
7．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X(单位：mm)对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：
年降水量X
X<100
100≤X<200
200≤X<300
X≥300
工期延误天数Y
0
5
15
30
概率P
0.4
0.2
0.1
0.3
在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为(　　)
A．0.7
B．0.5
C．0.3
D．0.2
答案　B
解析　设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，
则P(B|A)＝＝＝0.5，故选B.
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，
－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的均值Eξ为(　　)
A.
B.　C.
D.
答案　A
解析　由于对称轴在y轴左侧，故－<0，故a，b同号，样本点总数有3×3×7×2＝126.
ξ的可能性有0,1,2三种，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
故均值为0×＋1×＋2×＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知离散型随机变量X的分布列如表所示：
X
0
1
2
P
a
4a
5a
下列选项中正确的是(　　)
A．a的值为0.1
B．EX＝0.44
C．EX＝1.4
D．DX＝1.4
答案　AC
解析　由离散型随机变量的分布列的性质知
a＋4a＋5a＝1，
∴a＝0.1.
∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，
∴均值EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，
方差DX＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5
＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.
10．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(A)＝
B．P(B)＝
C．P(AB)＝
D．P(B|A)＝
答案　ACD
解析　由题意，得P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(B)＝1－＝，
由条件概率公式可得P(B|A)＝＝.
故选ACD.
11．若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立的有(　　)
A．φ(－x)＝1－φ(x)
B．φ(2x)＝2φ(x)
C．P(|ξ|≤x)＝2φ(x)－1
D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)
答案　AC
解析　∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，
∴正态分布关于ξ＝0对称，
∵φ(x)＝P(ξ≤x，x>0)，
根据曲线的对称性可得
对于A，φ(－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，
∴该命题正确；
对于B，φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，φ(2x)≠2φ(x)，
∴该命题错误；
对于C，P(|ξ|≤x)＝P(－x≤ξ≤x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，
∴该命题正确；
对于D，P(|ξ|>x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，
∴该命题错误．故选AC.
12．下列说法中正确的是(　　)
A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(0C．E(2X＋3)＝2EX＋3；D(2X＋3)＝2DX＋3
D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0答案　ABD
解析　对于选项A，设随机变量X～B，
则P(X＝3)＝C3×3＝，
所以选项A正确；
对于选项B，因为随机变量ξ～N(2，σ2)，
所以正态曲线的对称轴是直线x＝2，
因为P(X<4)＝0.9，所以P(X<0)＝0.1，
所以P(0对于选项C，E(2X＋3)＝2EX＋3，
D(2X＋3)＝4DX，故选项C不正确；
对于选项D，由题意可知，Eξ＝1－x，
Dξ＝x(1－x)＝－x2＋x，
由一次函数和二次函数的性质知，
当0Dξ随着x的增大而增大，故选项D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如果正态分布总体的数据落在(－3，－1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等，那么这个正态分布总体的均值是________．
答案　1
解析　正态分布总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间(－3，－1)和(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义就是期望，而区间(－3，－1)和(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布总体的均值是1.
14．袋中有4只红球、3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.
答案　
解析　P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)
＝＝.
15．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．
答案　
解析　最后乙队获胜含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋2×＝.
16．王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，，若走L1路线，王先生最多遇到1次红灯的概率为________，若走L2路线，王先生遇到红灯次数X的均值为________．
答案　　
解析　走L1路线最多遇到1次红灯的概率为
C×3＋C××2＝，
依题意X的可能取值为0,1,2，
则由题意P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝×＋×＝，
P(X＝2)＝×＝，
∴EX＝0×＋1×＋2×＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．
解　设A1＝“第一次患病心肌受损害”，
A2＝“第二次患病心肌受损害”，
则所求概率为P(12)．
由题意可知，P(A1)＝0.3，P(A2|1)＝0.6，
又P(1)＝1－P(A1)＝0.7，
P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0.4，
所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0.7×0.4＝0.28.
18．(12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，
且P(A1)＝P(A2)＝，
P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1棵成活的概率为1－P(1·2·1·2)
＝1－P(1)·P(2)·P(1)·P(2)
＝1－22＝.
(2)两棵大树各成活1棵的概率为
P＝C·C
＝×＝.
19．(12分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03,0.02，现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？
解　设事件Bi为“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1,2,3,4，事件A为“任取一件产品，抽到合格品”，则
P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝(Bi)[1－P(|Bi)]
＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)
＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98
＝0.968
5.
20．(12分)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值Eξ.
解　(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为
P3＝×
＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝，
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P
Eξ＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
21．(12分)某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：
员工编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
捐款数额
120
80
215
50
130
195
300
90
200
225
(1)若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；
(2)若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X，求X的分布列和均值．
解　(1)10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人，
故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为
P＝＝＝.
(2)由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，
则随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(用超几何分布公式EX＝＝＝计算同样得分)
22．(12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖，否则，该节目不能获一等奖．
(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的分布列及均值．
解　(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．
因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，
所以P(A)＝C21＋C3＝.
(2)所含“获奖”票和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C2＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以X的均值为
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
.(共51张PPT)
章末复习课
第六章　概　率
一、条件概率与全概率公式
二、离散型随机变量的分布列、均值和方差
三、正态分布的综合应用
内容索引
知识网络
随堂演练
知识网络
一、条件概率与全概率公式
1.求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝
求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间
计算AB的概率.
2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
例1　采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品.求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
解　B1＝{取到的是含4个次品的包
}，
B2＝{取到的是含1个次品的包
}，
A＝{采购员拒绝购买}，
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.
由全概率公式得到
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.
反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点
(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率.
(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化.
(3)理解全概率公式P(A)＝
(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想.
解析　设B表示“该小组比赛中射中目标”，
Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，
跟踪训练1　某小组有20名射手，其中1,2,3,4级射手分别为2,6,9,3名.又若选1,2,3,4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为
A.0.542
2
B.0.612
3
C.0.527
5
D.0.324
5
√
二、离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛.
2.通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
命题角度1　二项分布的均值、方差
例2　根据天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为
，至少有一个地方降雨的概率为
，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且
在这段时间甲、乙两地降雨互不影响.
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；
解　设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.
(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差.
解　在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为
X的可能取值为0,1,2,3.
所以X的分布列为
命题角度2　超几何分布的均值、方差
例3　某学院为了调查本校学生4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据
分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，
(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，
如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中
健康上网天数超过20天的人数；
解　由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值EY.
解　随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，
且Y服从超几何分布.
所以Y的分布列为
反思感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值.
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k).
(3)写出X的分布列.
(4)由分布列和均值的定义求出EX.
(5)由方差的定义，求DX，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，EX＝np，DX＝np(1－p).
跟踪训练2　某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
(1)若购进这批生蚝500
kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量(只)
6
10
12
8
4
解　由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
所以购进生蚝500
kg，
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量(只)
6
10
12
8
4
(2)将频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及均值.
解　由表格中的数据可知，任意挑选一只，
随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量(只)
6
10
12
8
4
所以随机变量X的分布列为
三、正态分布的综合应用
1.正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用.
2.熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养.
例4　“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标.
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数
(同一组中
的数据用该组区间的中点值作代表)；
解　根据频率分布直方图可得各组的频率为
[0,10]的频率为0.010×10＝0.1，
(10,20]的频率为0.020×10＝0.2，
(20,30]的频率为0.030×10＝0.3，
(30,40]的频率为0.025×10＝0.25，
(40,50]的频率为0.015×10＝0.15，
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45，50.4)内的概率；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4.
解　∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，
且μ＝26.5，σ≈11.95，
P(38.45∴Z落在(38.45,50.4)内的概率是0.135
9.
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和均值及方差.
解　根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为0.2＋0.3＝0.5，
X的可能取值分别为0,1,2,3,4，
∴X的分布列为
反思感悟　利用正态曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解.并注意正态曲线与频率分布直方图的结合.
跟踪训练3　某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49).
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；
参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4，P(μ－3σ4.
解　因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49)，
所以μ＝69，σ＝7，
所以P(62(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差.
解　因为总体平均分为μ＝69，
所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，
所以X的可能取值为0,1,2,3，
随堂演练
1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，
P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
√
1
2
3
4
解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，
所以DX＝10p(1－p)＝2.4，
所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
1
2
3
4
所以p＝0.6.
1
2
3
4
2.甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束).根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3∶1取得胜利的概率为
A.0.162
B.0.18　
C.0.168
D.0.174
√
1
2
3
4
解析　设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件A1，A2，A3，A4，
∴由概率得，甲以3∶1取得胜利的概率为
＝0.5×0.6×0.3×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＝0.174.
1
2
3
4
3.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________.
0.18
解析　记事件M为甲队以4∶1获胜，
则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，
所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
4.下列命题中，正确的命题的序号为________.
①已知随机变量服从二项分布B(n，p)，若EX＝30，DX＝20，则p＝
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝
④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大.
1
2
3
4
②③④
由组合数的公式，可得当X＝8时取得最大值，所以④正确.
解析　根据二项分布的均值和方差的公式，
可得EX＝np＝30，DX＝np(1－p)＝20，
1
2
3
4
根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；章末复习课
一、条件概率与全概率公式
1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．
2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
例1　采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．
解　B1＝{取到的是含4个次品的包
}，
B2＝{取到的是含1个次品的包
}，
A＝{采购员拒绝购买}，
P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7.
P(A|B1)＝1－＝，
P(A|B2)＝1－＝.
(1)由全概率公式得到
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
＝×＋×＝.
(2)P(B1|A)＝＝＝.
反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点
(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．
(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．
(3)理解全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．
跟踪训练1　某小组有20名射手，其中1,2,3,4级射手分别为2,6,9,3名．又若选1,2,3,4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为(　　)
A．0.542
2
B．0.612
3
C．0.527
5
D．0.324
5
答案　C
解析　设B表示“该小组比赛中射中目标”，
Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，
则P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)
＝×0.85＋×0.64＋
×0.45＋×0.32＝0.527
5.
二、离散型随机变量的分布列、均值和方差
1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．
2．通过求离散型随机变量的分布列，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．
命题角度1　二项分布的均值、方差
例2　根据天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率；
(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差．
解　(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.
由题意得
解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为
P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方差DX＝×2＋×2＋×2＋×2＝.
命题角度2　超几何分布的均值、方差
例3　某学院为了调查本校学生4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值EY.
解　(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，
且Y服从超几何分布．
所以P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
P
所以Y的均值EY＝1×＋2×＝.
反思感悟　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值．
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)由分布列和均值的定义求出EX.
(5)由方差的定义，求DX，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，EX＝np，DX＝np(1－p)．
跟踪训练2　某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量(g)
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量(只)
6
10
12
8
4
(1)若购进这批生蚝500
kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
(2)将频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及均值．
解　(1)由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
＝28.5(g)，
所以购进生蚝500
kg，
这批生蚝的数量为≈17
544(只)．
(2)由表格中的数据可知，任意挑选一只，
质量在[5,25)的概率为＝，
由题意可知，X～B，
随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C··3＝，
P(X＝2)＝C·2·2＝，
P(X＝3)＝C·3·＝，
P(X＝4)＝4＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
因此，随机变量X的均值为EX＝4×＝.
三、正态分布的综合应用
1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用．
2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．
例4　“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45，50.4)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和均值及方差．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4.
解　(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为
[0,10]的频率为0.010×10＝0.1，
(10,20]的频率为0.020×10＝0.2，
(20,30]的频率为0.030×10＝0.3，
(30,40]的频率为0.025×10＝0.25，
(40,50]的频率为0.015×10＝0.15，
所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为
＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，
且μ＝26.5，σ≈11.95，
P(38.45＝[P(26.5－2×11.95＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9，
∴Z落在(38.45,50.4)内的概率是0.135
9.
②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为0.2＋0.3＝0.5，
∴X～B，
X的可能取值分别为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝C4＝，
P(X＝1)＝C4＝，
P(X＝2)＝C4＝，
P(X＝3)＝C4＝，
P(X＝4)＝C4＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∵X～B，
∴EX＝4×＝2，
DX＝4××＝1.
反思感悟　利用正态曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率值求解．并注意正态曲线与频率分布直方图的结合．
跟踪训练3　某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)．
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；
(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．
参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，P(μ－2σ4，
P(μ－3σ4.
解　(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7，
所以P(62＝＝0.84.
(2)因为总体平均分为μ＝69，
所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，
所以X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，
DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝.
1．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于(　　)
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
答案　B
解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，
所以DX＝10p(1－p)＝2.4，
所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，
所以p＝0.6.
2．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3∶1取得胜利的概率为(　　)
A．0.162
B．0.18　C．0.168
D．0.174
答案　D
解析　设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件A1，A2，A3，A4，
由题意，得甲要以3∶1取得胜利可能是A1A23A4，A12A3A4，1A2A3A4，
∴由概率得，甲以3∶1取得胜利的概率为
P＝P(A1A23A4)＋P(A12A3A4)＋P(1A2A3A4)
＝0.5×0.6×0.3×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＋0.5×0.4×0.5×0.6＝0.174.
3．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案　0.18
解析　记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
4．下列命题中，正确的命题的序号为________．
①已知随机变量服从二项分布B(n，p)，若EX＝30，DX＝20，则p＝；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝－p；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大．
答案　②③④
解析　根据二项分布的均值和方差的公式，
可得EX＝np＝30，DX＝np(1－p)＝20，
解得p＝，所以①错误；
根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；
由正态分布的图象的对称性可得P(－1<ξ≤0)＝＝＝－p，所以③正确；
由n重伯努利试验的概率的计算公式可得P(X＝8)＝C·(0.8)8(1－0.8)2，
由组合数的公式，可得当X＝8时取得最大值，所以④正确．

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