资源简介

(共78张PPT)
习题课　离散型随机变量及其分布列
第六章　概　率
1.掌握离散型随机变量的分布列.
2.掌握离散型随机变量的均值与方差的概念.
3.能区分二项分布、超几何分布.
学习目标
导语
前面学习了离散型随机变量的均值、方差、二项分布、超几何分布等知识点，这节课我们来看一看它们的应用.
随堂演练
课时对点练
一、二项分布与超几何分布的区别
二、与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
三、与统计有关的分布列的均值
内容索引
一、二项分布与超几何分布的区别
例1　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它
们的重量(单位：克)，重量的分组区
间为(490,495]，(495,500]，…，(510,
515]，由此得到样本的频率分布直方
图如图.
(1)根据频率分布直方图，求重量超过
505克的产品数量；
解　重量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以重量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
解　重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布.
∴X的分布列为
∴X的均值为
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，
∴Y的分布列为
反思感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算.
跟踪训练1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
解　方法一　由题意知X的可能取值为0,1,2.
∴随机变量X的分布列为
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差.
二、与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
例2　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰).若该学生身体体能考核合格的概率是
假
设每一次考核是否合格互不影响，该生不放弃每一次考核的机会.用X表示其参加补考的次数，求随机变量X的均值与方差.
解　X的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次、第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，
所以X的分布列为
反思感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.
跟踪训练2　某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知A，D两辆汽车每天出车的概率为
，B，C两辆汽车每天出车的概率为
，且
四辆汽车是否出车是相互独立的.
该公司所在地区汽车限行规定如右：
汽车车牌尾号
车辆限行日
0和5
星期一
1和6
星期二
2和7
星期三
3和8
星期四
4和9
星期五
(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；
解　记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则
为该公司在星期四最多有一辆汽车出车.
(2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和均值.
汽车车牌尾号
车辆限行日
0和5
星期一
1和6
星期二
2和7
星期三
3和8
星期四
4和9
星期五
解　由题意，X的可能值为0,1,2,3,4.
所以X的分布列为
三、与统计有关的分布列的均值
例3　第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口市举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：
分数段
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
1
2
2
8
3
3
1
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
解　记恰好2名学生都是优秀的事件为A，
(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与均值.
解　抽到一名优秀学生的概率为
故X的分布列为：
反思感悟　求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解.
跟踪训练3　为了解游客对
“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄(单位：岁)在[22,52]内的游客中随机抽取了1
000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图所示，同时对这1
000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：
分组
满意的人数
占本组的频率
[22,27)
30
0.6
[27,32)
n
0.95
[32,37)
120
0.8
[37,42)
432
m
[42,47)
144
0.96
[47,52]
96
0.96
(1)求统计表中m和n的值；
分组
满意的人数
占本组的频率
[22,27)
30
0.6
[27,32)
n
0.95
[32,37)
120
0.8
[37,42)
432
m
[42,47)
144
0.96
[47,52]
96
0.96
解　根据题意可得，年龄在[37,42)内的频率为
1－(0.01＋0.02×2＋0.03×2)×5＝0.45，
故年龄在[37,42)内的人数为450，
年龄在[27,32)内的人数为1
000×0.02×5＝100，
故n＝100×0.95＝95.
(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X，求X的分布列和均值.
解　因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52]内且满意的人数为96，因此采用分层随机抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.
依题意可得X＝0,1,2,3,4.
X的分布列为：
1.知识清单：
(1)离散型随机变量的分布列、均值、方差.
(2)二项分布、超几何分布.
2.方法归纳：放回和不放回抽样.
3.常见误区：二项分布和超几何分布判断错误.
课堂小结
随堂演练
1.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是
A.np(1－p)
B.np　
C.n
D.p(1－p)
1
2
3
4
√
解析　用电单位的个数X～B(n，p)，
∴EX＝np.
2.若随机变量X的分布列如下表所示，则EX等于
1
2
3
4
√
解析　因为2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
使用时间/天
10～20
21～30
31～40
41～50
51～60
个数
10
40
80
50
20
1
2
3
4
3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
√
若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为
1
2
3
4
1
2
3
4
4.已知离散型随机变量X的分布列为
则DX的值为
√
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于
A.0.665
B.0.008
56
C.0.918
54
D.0.991
44
√
解析　P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝0.991
44.
2.已知随机变量X的分布列为
√
设Y＝2X＋3，则DY等于
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.某电子管正品率为
现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值EX等于
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
√
解析　由题意可知X服从超几何分布，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝
，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是
A.P(X＝1)＝EX
B.E(3X＋2)＝4
C.D(3X＋2)＝4
D.DX＝
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知随机变量X的分布列如下，且EX＝2，则下列说法正确的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
所以m＋2n＝1，
所以B选项正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.一批产品共50件，其中5件次品，其余均为正品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为______.
解析　设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
解析　箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是
变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是
_______；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差Dξ＝______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
解　设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和均值.
解　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
随机变量X的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.甲、乙两人射击，甲射击1次中靶的概率是p1，乙射击1次中靶的概率是p2，且
是方程x2－5x＋6＝0的两个实根.已知甲射击5次，中靶次数的方差是
(1)求p1，p2的值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　由题意可知，甲射击中靶的次数X甲～B(5，p1).
解　甲、乙两人射击中靶与否互不影响，分两类情况：共击中3次的概率为
共击中4次的概率为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解　两人各射击1次，都未中靶的概率为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
√
11.随机变量ξ的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
又DX＝8＝50p(1－p)，解得p＝0.2或p＝0.8，
∴p＝0.8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若DX＝8，P(X＝20)A.0.16
B.0.2
C.0.8
D.0.84
√
解析　∵P(X＝20)13.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为
，
∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，
∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，
则X的均值为______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　根据题意易知X＝0,1,2,3.分布列如下：
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且EX＝2，DX＝q，则
的最小值为
√
解析　随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，
且EX＝2，DX＝q，
由基本不等式可得
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(记为P元)的情况，并根据统计数据制成如右频率分布直方图.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3次，每次抽取1户，每次抽取相互独立，设ξ为抽出3户中P值不低于65元的户数，求ξ的分布列和均值Eξ.
∴Eξ＝3×0.1＝0.3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　由已知，三次随机抽取为3重伯努利试验，且每次抽取到P值不低于65元的概率为0.1，
∴P(ξ＝0)＝0.729，P(ξ＝1)＝0.243，P(ξ＝2)＝0.027，P(ξ＝3)＝0.001.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001习题课　离散型随机变量及其分布列
学习目标　1.掌握离散型随机变量的分布列.2.掌握离散型随机变量的均值与方差的概念.
3.能区分二项分布、超几何分布．
导语
前面学习了离散型随机变量的均值、方差、二项分布、超几何分布等知识点，这节课我们来看一看它们的应用．
一、二项分布与超几何分布的区别
例1　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
解　(1)重量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以重量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴X的均值为
方法一　EX＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　EX＝＝.
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
反思感悟　不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练1　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差．
解　(1)方法一　由题意知X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
EX＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意知P(X＝k)＝(k＝0,1,2)，
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴EX＝＝＝.
(2)由题意知抽取1次取到次品的概率为＝，
随机变量Y服从二项分布Y～B，
∴EY＝3×＝.
DY＝3××＝.
二、与互斥、独立事件有关的分布列的均值与方差
例2　某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核，每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)．若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响，该生不放弃每一次考核的机会．用X表示其参加补考的次数，求随机变量X的均值与方差．
解　X的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次、第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次、第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，
则P(X＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(X＝2)＝P(1A21B2)＋P(1A212)＝×××＋×××＝.
根据分布列的性质，可知P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
EX＝0×＋1×＋2×＝.
DX＝2×＋2×＋2×＝.
反思感悟　若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
跟踪训练2　某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的．
该公司所在地区汽车限行规定如下：
汽车车牌尾号
车辆限行日
0和5
星期一
1和6
星期二
2和7
星期三
3和8
星期四
4和9
星期五
(1)求该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率；
(2)设X表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求X的分布列和均值．
解　(1)记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车．
P()＝2×2＋C×××2＋
C×××2＝.
所以P(A)＝1－P()＝.
(2)由题意，X的可能值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝2×2＝；
P(X＝1)＝C×××2＋C×××2＝；
P(X＝2)＝2×2＋2×2＋
C×××C××＝；
P(X＝3)＝2×C××＋2×C××＝；
P(X＝4)＝2×2＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
EX＝＋2×＋3×＋4×＝.
三、与统计有关的分布列的均值
例3　第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口市举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：
分数段
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
1
2
2
8
3
3
1
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？
(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与均值．
解　(1)记恰好2名学生都是优秀的事件为A，
则P(A)＝＝＝.
(2)抽到一名优秀学生的概率为
p＝＝，
X的取值为0,1,2，且X～B，
P(X＝0)＝C20＝，
P(X＝1)＝C11＝，
P(X＝2)＝C02＝，
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
方法一　EX＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　EX＝2×＝.
反思感悟　求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解．
跟踪训练3　为了解游客对
“十一”小长假的旅游情况是否满意，某旅行社从年龄(单位：岁)在[22,52]内的游客中随机抽取了1
000人，并且作出了各个年龄段的频率分布直方图如图所示，同时对这1
000人的旅游结果满意情况进行统计得到下表：
分组
满意的人数
占本组的频率
[22,27)
30
0.6
[27,32)
n
0.95
[32,37)
120
0.8
[37,42)
432
m
[42,47)
144
0.96
[47,52]
96
0.96
(1)求统计表中m和n的值；
(2)从年龄在[42,52]内且对旅游结果满意的游客中，采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人做进一步调查，记4人中年龄在[47,52]内的人数为X，求X的分布列和均值．
解　(1)根据题意可得，年龄在[37,42)内的频率为1－(0.01＋0.02×2＋0.03×2)×5＝0.45，
故年龄在[37,42)内的人数为450，
则m＝＝0.96，
年龄在[27,32)内的人数为1
000×0.02×5＝100，
故n＝100×0.95＝95.
(2)因为年龄在[42,47)内且满意的人数为144，年龄在[47,52]内且满意的人数为96，因此采用分层随机抽样的方法抽取的10人中，年龄在[42,47)内且满意的人数与年龄在[47,52]内且满意的人数分别为6,4.
依题意可得X＝0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝＝；
P(X＝1)＝＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；
P(X＝3)＝＝＝；
P(X＝4)＝＝.
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
方法一　EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
方法二　EX＝＝.
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的分布列、均值、方差．
(2)二项分布、超几何分布．
2．方法归纳：放回和不放回抽样．
3．常见误区：二项分布和超几何分布判断错误．
1．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p)
B．np　C．n
D．p(1－p)
答案　B
解析　用电单位的个数X～B(n，p)，∴EX＝np.
2．若随机变量X的分布列如下表所示，则EX等于(　　)
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　因为2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝18x＝1，所以x＝，因此EX＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝40×＝.
3．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
使用时间/天
10～20
21～30
31～40
41～50
51～60
个数
10
40
80
50
20
若以频率视为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)
A.
B.　C.
D.
答案　D
解析　由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为C2×＋3＝.
4．已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
m
则DX的值为(　　)
A.
B.
C.
D．1
答案　B
解析　由分布列的性质，知＋m＋＝1，∴m＝.
∴EX＝0×＋1×＋2×＝1，
DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(1－2)2×＝.
课时对点练
1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于(　　)
A．0.665
B．0.008
56
C．0.918
54
D．0.991
44
答案　D
解析　P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝C×0.10×0.95＋C×0.1×0.94＋C×0.12×0.93
＝0.991
44.
2．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
设Y＝2X＋3，则DY等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　∵EX＝0×＋1×＋2×＝1，
∴DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝，
∴DY＝D(2X＋3)＝4DX＝.
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　)
A．C2×
B．C2×
C.2×
D.2×
答案　C
解析　P(X＝3)＝2×.
4．有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值EX等于(　　)
A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
答案　B
解析　由题意可知X服从超几何分布，
∴EX＝＝2.5.
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝EX
B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4
D．DX＝
答案　AB
解析　随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，∴P(X＝1)＝，EX＝0×＋1×＝，DX＝2×＋2×＝，在A中，P(X＝1)＝EX，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3EX＋2＝3×＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9DX＝9×＝2，故C错误；在D中，DX＝，故D错误，故选AB.
6．(多选)已知随机变量X的分布列如下，且EX＝2，则下列说法正确的是(　　)
X
1
2
3
P
m
n
A.m＝，n＝
B．m＝，n＝
C．DX＝
D．DX＝
答案　BC
解析　依题意知EX＝1·m＋2·n＋3×＝m＋2n＋1＝2，所以m＋2n＝1，结合m＋n＋＝1，解得m＝n＝，所以B选项正确．DX＝2·＋2·＋2·＝，所以C选项正确．
7．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为正品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．
答案　
解析　设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
P(X＝k)＝(k＝0,1,2)．
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
8．已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是________；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的方差Dξ＝________.
答案　　
解析　箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球，则3个小球颜色互不相同的概率是P＝A×××＝.变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ～B，∴ξ的方差Dξ＝3××＝.
9．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和均值．
解　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则
P(A)＝＝.
故选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．甲、乙两人射击，甲射击1次中靶的概率是p1，乙射击1次中靶的概率是p2，且，是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是.
(1)求p1，p2的值；
(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
解　(1)由题意可知，甲射击中靶的次数X甲～B(5，p1)．
∴DX甲＝5p1(1－p1)＝.
∴p－p1＋＝0，解得p1＝.
又·＝6，∴p2＝.
(2)甲、乙两人射击中靶与否互不影响，分两类情况：共击中3次的概率为
C20×C11＋C11×C20＝.
共击中4次的概率为
C20×C20＝.
则所求概率为＋＝.
(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为
×＝，
则两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－＝.
11．随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
2
P
a
b
c
其中2b＝a＋c，若Eξ＝，则Dξ等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　∵2b＝a＋c，Eξ＝，
∴由变量ξ的分布列，知
解得a＝，b＝，c＝，
∴Dξ＝2×＋2×＋2×＋2×＝.故选D.
12．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p.某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X.若DX＝8，P(X＝20)A．0.16
B．0.2
C．0.8
D．0.84
答案　C
解析　∵P(X＝20)，又DX＝8＝50p(1－p)，解得p＝0.2或p＝0.8，∴p＝0.8.
13．“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P＝C×2××＝.
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为______．
答案　
解析　根据题意易知X＝0,1,2,3.分布列如下：
X
0
1
2
3
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
15．已知随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且EX＝2，DX＝q，则＋的最小值为(　　)
A.
B.
C．3
D．4
答案　B
解析　随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，
且EX＝2，DX＝q，
由二项分布的均值与方差公式可得
化简可得2p＋q＝2，即p＋＝1.
由基本不等式可得
＋＝
＝＋＋≥＋2＝，
当且仅当p＝q＝时等号成立，
即＋的最小值为.
16．我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量(记为P元)的情况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图估算P的平均值；
(2)视样本中的频率为概率，现从该市所有住户中随机抽取3次，每次抽取1户，每次抽取相互独立，设ξ为抽出3户中P值不低于65元的户数，求ξ的分布列和均值Eξ.
解　(1)＝(30×0.014＋40×0.026＋50×0.036＋60×0.014＋70×0.01)×10＝48.
(2)由已知，三次随机抽取为3重伯努利试验，且每次抽取到P值不低于65元的概率为0.1，
则ξ～B(3,0.1)，P(ξ＝i)＝C·0.1i·0.93－i(i＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝0.729，P(ξ＝1)＝0.243，P(ξ＝2)＝0.027，P(ξ＝3)＝0.001.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
∴Eξ＝3×0.1＝0.3.

展开更多......

收起↑