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2.2　圆的一般方程
第一章　§2　圆与圆的方程
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐
标和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
学习目标
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.
导语
随堂演练
课时对点练
一、圆的一般方程的理解
二、求圆的一般方程
三、圆的一般方程的综合问题
内容索引
一、圆的一般方程的理解
问题1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；
对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；
对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
问题2　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.
问题3　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
知识梳理
1.圆的一般方程：
(其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程.
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
?
D2＋E2－4F>0
表示以__________为圆心，以_____________为半径的圆
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；
解　由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
解　将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
反思感悟　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标
和半径分别为______________.
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为____.
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
9π
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
解　设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解　由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
反思感悟　求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.
跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为
，求圆的一般方程.
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
即D＋E＝－2.
①
∴D2＋E2＝20.
②
又∵圆心在第二象限，
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
三、圆的一般方程的综合问题
例3　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
证明　原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∵k≠－1，
∴5(k＋1)2>0.
消去k，得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上.
(2)证明：曲线C过定点；
证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.
上式关于参数k是恒等式，
∴曲线C过定点(1，－3).
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值.
解　∵圆C与x轴相切，
∴圆心到x轴的距离等于半径，
两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.
反思感悟　与圆有关的含有参数的二元二次方程解题策略
(1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的求值范围，并可求得有关的最值.
(2)可化为k(Ax＋By＋C)＋(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0，通过联立方程组
求待定系数.
跟踪训练3　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
解　已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0.
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围.
解　当且仅当t2＋1<－7t2＋6t＋1时，点P恒在圆内，
1.知识清单：
(1)圆的一般方程的理解.
(2)求圆的一般方程.
(3)圆的一般方程的综合问题.
2.方法归纳：待定系数法、几何法.
3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.
课堂小结
随堂演练
1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
1
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√
解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
1
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2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为
A.4，－6
B.－4，－6
C.－4,6
D.4,6
√
又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
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3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y＝0对称
C.关于直线x＋3y－2＝0对称
D.关于直线x－y＋2＝0对称
√
√
√
解析　x2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；
圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，故B，C正确，D错误.
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4.已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆的方程为____________________.
x2＋y2－6x－2y＋6＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)若a∈
，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表
示圆，则a的值可以为
√
√
√
解析　根据题意，若方程表示圆，
则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，
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2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为
√
解析　圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
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3.(多选)下列结论正确的是
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则
＋Dx0＋Ey0＋
F>0
√
解析　AB显然正确；
C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；
D正确.
√
√
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4.已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是
A.点
B.直线
C.线段
D.圆
√
解析　∵圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1,0)，
∴1－2a＋a2＋b2－1＝0，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.
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5.若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
√
由圆心在第二象限可得a>0，b>0，
所以该直线一定不经过第三象限.
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6.若圆x2＋y2－2x－2y－k＝0上的点到直线x＋y－10＝0的最大距离为
则实数k的值是
A.－2
B.2
C.－2或2
D.－2或0
√
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解得k＝2或k＝－2(舍去).
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7.过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为__________________.
解析　设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
x2＋y2－8x＋6y＝0
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8.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M
在圆C上，且圆心到直线
2x－y＝0的距离为
，则圆C的一般方程为________________.
解析　设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
x2＋y2－4x－5＝0
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
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9.已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
解　将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2
＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆，
所以－t2－4t－3>0，解得－31
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(2)求该圆半径r的范围.
解　因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1，
所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1，
所以r∈(0,1].
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10.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称.
(1)求直线l的方程；
解　设直线l的方程为x－y＋c＝0，
∵直线l经过点B(2,4)，
∴2－4＋c＝0，∴c＝2，
即直线l的方程为x－y＋2＝0.
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(2)求△ABC外接圆的方程.
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解　设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1，
由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1,3)，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上，
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综合运用
11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
故该圆的圆心在第四象限.
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12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
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解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1).
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
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13.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
√
所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，
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14.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____.
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解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
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令x＝0，则y2＋4y－20＝0，设两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，设两根分别为x1，x2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
拓广探究
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15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为
A.7
B.8
C.9
D.10
√
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解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，
所以圆心为M(1,5)，半径为1.
如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，
此时|SP|＋|SQ|的值最小，
否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，
由于P与P′关于x轴对称，
所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，
所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
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16.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0).若动点C满足|AC|＝
求△ABC面积的最大值.
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即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，
化简整理得(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0.
∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上的点外的任一点，2．2　圆的一般方程
学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
导语
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题．
一、圆的一般方程的理解
问题1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．
问题2　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．
问题3　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点.
知识梳理
1．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆
注意点：
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项．
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)写出圆心坐标和半径．
解　(1)由表示圆的充要条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
反思感悟　圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
跟踪训练1　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________．
答案　，
解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，
可化为2＋2＝，
故圆心坐标为，半径为.
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案　9π
解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
二、求圆的一般方程
例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
反思感悟　求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程．
跟踪训练2　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
解　圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，
即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，
∴－<0，即D>0.则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
三、圆的一般方程的综合问题
例3　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明：曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．
(1)证明　原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∵k≠－1，
∴5(k＋1)2>0.
故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，
半径为|k＋1|的圆．
设圆心为(x，y)，有
消去k，得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．
(2)证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.
上式关于参数k是恒等式，
∴
，解得
∴曲线C过定点(1，－3)．
(3)解　∵圆C与x轴相切，
∴圆心到x轴的距离等于半径，
即|－2k－5|＝|k＋1|.
两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.
∴k＝5±3.
反思感悟　与圆有关的含有参数的二元二次方程解题策略
(1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的求值范围，并可求得有关的最值．
(2)可化为k(Ax＋By＋C)＋(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0，
通过联立方程组
求待定系数．
跟踪训练3　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0.
即7t2－6t－1<0，解得－(2)r＝＝.
当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，
对应的圆的方程是2＋2＝.
(3)当且仅当t2＋1<－7t2＋6t＋1时，点P恒在圆内，
∴8t2－6t<0，即01．知识清单：
(1)圆的一般方程的理解．
(2)求圆的一般方程．
(3)圆的一般方程的综合问题．
2．方法归纳：待定系数法、几何法．
3．常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
所以m>－.
2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为(　　)
A．4，－6
B．－4，－6
C．－4,6
D．4,6
答案　A
解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
∴－＝－2，－＝3，∴D＝4，E＝－6.
3．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　)
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
答案　ABC
解析　x2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，故B，C正确，D错误．
4．已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆的方程为________．
答案　x2＋y2－6x－2y＋6＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得解得
∴圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.
课时对点练
1．(多选)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　)
A．－2
B．0
C．1
D.
答案　ABD
解析　根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈，则a的值可以为－2,0，.
2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　)
A．3
B.
C．5
D．4
答案　D
解析　圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，
即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为＝＝4.
3．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
答案　ABD
解析　AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确．
4．已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点
B．直线
C．线段
D．圆
答案　D
解析　∵圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1,0)，
∴1－2a＋a2＋b2－1＝0，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
5．若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　C
解析　因为圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心坐标为，
由圆心在第二象限可得a>0，b>0，
所以直线x＋ay－b＝0的斜率－<0，y轴上的截距为>0，
所以该直线一定不经过第三象限．
6．若圆x2＋y2－2x－2y－k＝0上的点到直线x＋y－10＝0的最大距离为4＋，则实数k的值是(　　)
A．－2
B．2
C．－2或2
D．－2或0
答案　B
解析　圆x2＋y2－2x－2y－k＝0化成标准形式为(x－1)2＋(y－1)2＝k＋2，圆心(1,1)，半径r＝，显然k>－2；圆心(1,1)到直线x＋y－10＝0的距离d＝＝＝4，
圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝4＋＝4＋，
即＝，
解得k＝2或k＝－2(舍去)．
7．过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为________________．
答案　x2＋y2－8x＋6y＝0
解析　设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________________．
答案　x2＋y2－4x－5＝0
解析　设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
由题意可得＝，
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9．已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求该圆半径r的范围．
解　(1)将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2
＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆，
所以－t2－4t－3>0，解得－3(2)因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1，
所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1，
所以r∈(0,1]．
10．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称．
(1)求直线l的方程；
(2)求△ABC外接圆的方程．
解　(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0，
∵直线l经过点B(2,4)，
∴2－4＋c＝0，∴c＝2，
即直线l的方程为x－y＋2＝0.
(2)设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1，
即＝－1，①
又∵线段AC的中点D在直线l上，
即－＋2＝0，②
由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1,3)，
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上，
∴解得
故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0.
11．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案　D
解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，
故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4故该圆的圆心在第四象限．
12．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
答案　C
解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，
∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
则
解得故C′(－2,3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
13．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.
14．已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________．
答案　－2
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
得
解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，则y2＋4y－20＝0，设两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；
令y＝0，则x2－2x－20＝0，设两根分别为x1，x2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
答案　C
解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，
由于P与P′关于x轴对称，
所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，
所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9.
16．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0)．若动点C满足|AC|＝|BC|，求△ABC面积的最大值．
解　设点C(x，y)，∵|AC|＝|BC|，
∴＝·，
即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，
化简整理得(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0.
∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上的点外的任一点，
∴S＝|AB|·|yC|＝|yC|≤2，
∴△ABC面积的最大值为2.

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