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2.4　圆与圆的位置关系
第一章　§2　圆与圆的方程
1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
学习目标
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
导语
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
随堂演练
课时对点练
一、两圆位置关系的判断
二、利用两圆的位置关系求圆的方程
三、相交弦及圆系方程问题
内容索引
一、两圆位置关系的判断
知识梳理
1.代数法：设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
个
个
个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
2
1
0
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
?
?
?
?
?
d与r1，r2的关系
d
r1＋r2
d
r1＋r2
|r1－r2|<
dd
|r1－r2|
d
|r1－r2|
2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距的长为d，则两圆的位置关系如下：
>
＝
＝
<
注意点：
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.
例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；
解　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.
(2)相交；
解　当3<|C1C2|<5，即3(3)外离；
解　当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
(4)内含.
解　当|C1C2|<3，即0反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是
A.4
B.6
C.16
D.36
解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，
∴两圆外切，
√
解得a＝16.
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有___条.
解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；
同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，
所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，
4
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
二、利用两圆的位置关系求圆的方程
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，
)的圆的方程”.
解　因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
跟踪训练2　圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
解　因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝
，求圆O2的方程.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
三、相交弦及圆系方程问题
例3　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
解　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
跟踪训练3　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为______________________________
___________.
(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x
＋2y－6＝0)
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，
则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
1.知识清单：
(1)两圆的位置关系.
(2)两圆的公共弦.
(3)圆系方程.
2.方法归纳：几何法、代数法.
3.常见误区：将两圆内切和外切相混.
课堂小结
随堂演练
1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是
A.外离
B.相交
C.外切
D.内切
1
2
3
4
√
解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，
得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，
1
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4
2.(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为
A.2
B.－5
C.－2
D.5
√
解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
√
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
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3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是_______________________________________.
解析　设圆C的半径为r，
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，
则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
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4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为
，则a＝__.
1
解析　将两圆的方程相减，
所以a＝1.
课时对点练
基础巩固
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1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为
A.相交
B.外切
C.内切
D.外离
√
解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，
则d＝|C1C2|＝2，
所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切.
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2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A.x＋y－1＝0
B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
√
解析　圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，
圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，
两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，
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3.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
√
解析　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
故两圆的公切线的条数为3.
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4.已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为
A.0
B.－120
C.0或－120
D.5
√
解析　将圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m，
解得m＝0或－120.
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5.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为
解析　
由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
√
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6.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是
A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C.(x－2)2＋(y－2)2＝25
D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49
√
√
√
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解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，
可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.
A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，
∵|C2C|＝5＝r＋r2，
∴两圆外切，满足条件；
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C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，
∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；
D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，
∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切.
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7.已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是___________.
4a2＋b2＝1
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解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，
化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
整理得4a2＋b2＝1.
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8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为
______________________.
解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，
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9.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
解　由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，
可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，
即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
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(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.
解　设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，
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10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
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解　圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，
设直线l1的方程为y－1＝k(x－1).
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
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(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
解　依题意，设D(a，a＋2).
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
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综合运用
11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距|C1C2|为
√
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解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上.
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
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12.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有
A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
√
√
√
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解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，
两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，
又kAB＝1，
则线段AB中垂线的斜率为－1，
即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，
整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
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对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，
对于D，P为圆O1上一动点，
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13.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为
，则实数a的取值范围是
A.(－3，－1)∪(1,3)
B.(－3，－3)
C.[－1,1]
D.(－3，－1]∪[1,3)
√
解析　依题意，得圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交.
即1<|a|<3.
故－3故|AB|＝2|AC|＝4.
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14.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为____.
4
解析　如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，
因此OA⊥O1A，
又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C，
在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
拓广探究
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15.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1
:
x2
＋y2＝8与圆C2
:
x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____________________.
当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，
则8－a＝0，即a＝8.
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解析　由题意知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，
因为△ABP为等腰直角三角形，
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故圆M与圆N相离.
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证明　设P(x0，y0)，
又PG为∠APB的平分线，2．4　圆与圆的位置关系
学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．
导语
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
一、两圆位置关系的判断
知识梳理
1．代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2个
1个
0个
两圆的位置关系
相交
外切或内切
外离或内含
2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心距的长为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<
dd＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
注意点：
(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系．
(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．
例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
解　圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1.
∴|C1C2|＝＝a.
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即0反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系．
跟踪训练1　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　)
A．4
B．6
C．16
D．36
答案　C
解析　圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，
∵两圆有三条公切线，
∴两圆外切，
∴＝1＋，
解得a＝16.
(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
答案　4
解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
二、利用两圆的位置关系求圆的方程
例2　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝.②
＝r.③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”．
解　因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)，
所以解得
所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．
跟踪训练2　圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解　(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.
又因为圆O2的圆心O2(2,1)，
所以圆心距|O1O2|＝＝2，
由圆O2与圆O1外切，得圆O2的半径为2－2，
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)因为圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，
所以圆心O1到直线AB的距离为＝.
当圆心O2到直线AB的距离为时，
圆O2的半径为＝2.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当圆心O2到直线AB的距离为3时，
圆O2的半径为＝.
此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.
综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
三、相交弦及圆系方程问题
例3　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组
的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝，
∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)方法一　解方程组
得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则＝，
解得a＝，故圆心为，半径为.
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，
解得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
跟踪训练3　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．
答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
解析　方法一　由
解得
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．
由解得
所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由解得
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，
化简可得x2＋y2－x－y－6＝0，
圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，
所以－－4＝0，
解得λ＝－，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
1．知识清单：
(1)两圆的位置关系．
(2)两圆的公共弦．
(3)圆系方程．
2．方法归纳：几何法、代数法．
3．常见误区：将两圆内切和外切相混．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
答案　B
解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　)
A．2
B．－5
C．－2
D．5
答案　AB
解析　圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，
圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.
依题意有＝3＋2，
即m2＋3m－10＝0，
解得m＝2或m＝－5.
3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是______________．
答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析　设圆C的半径为r，
圆心距d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，
则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案　1
解析　将两圆的方程相减，
得相交弦所在的直线方程为y＝，
圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，
所以a＝1.
课时对点练
1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　)
A．相交
B．外切
C．内切
D．外离
答案　C
解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切．
2．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A．x＋y－1＝0
B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
答案　A
解析　圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0.
3．圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有(　　)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
答案　C
解析　圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，
圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.
两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为(　　)
A．0
B．－120
C．0或－120
D．5
答案　C
解析　将圆C：x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m，由两圆内切可得|6－|＝5，解得m＝0或－120.
5．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　)
A.
B．4
C.
D.
答案　D
解析　
由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.
圆心O(0,0)到l的距离d＝，圆O的半径R＝2，
所以截得的弦长为2＝2＝.
6．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C．(x－2)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49
答案　BCD
解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.
A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.
∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，
∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，
∵|C2C|＝5＝r＋r2，
∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，
∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；
D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，
∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切．
7．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________．
答案　4a2＋b2＝1
解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a,0)，半径长为2.
圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，
化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，
所以＝2－1＝1，
整理得4a2＋b2＝1.
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_________________．
答案　x2＋y2－x－y－＝0
解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，
将(1,2)代入，可得λ＝－，
故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
9．已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.
(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，
又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，
可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，
两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.
因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，
即r2＝9(r>0)，解得r＝3.
(2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，
所以2＋2＝，
由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，
可得＝，
解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.
10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，
设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，
解得k＝，
所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2)．
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|＝5，
∴＝5，
解得a＝－1或a＝6.
∴D(－1,1)或D(6,8)，
∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
11．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距|C1C2|为(　　)
A．4
B．4
C．8
D．8
答案　C
解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
12．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　)
A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1
答案　ABD
解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，
两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，
又kAB＝1，
则线段AB中垂线的斜率为－1，
即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，
整理可得x＋y－1＝0，故B正确；
对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确；
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．
13．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，－1)∪(1,3)
B．(－3，－3)
C．[－1,1]
D．(－3，－1]∪[1,3)
答案　A
解析　依题意，得圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交．
又|CM|＝＝|a|，
2－<|a|<2＋，
即1<|a|<3.
故－314．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
答案　4
解析　如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，
因此OA⊥O1A，
所以|OO1|＝＝5.
又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C，
在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
所以|AC|＝＝＝2，
故|AB|＝2|AC|＝4.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1
:
x2
＋y2＝8与圆C2
:
x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为________________．
答案　
解析　由题意知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，
当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，
设C1到AB的距离为d，
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以d＝|AB|，即d＝，
所以d＝2，所以＝d＝2，
解得a＝8±2，
当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，
则8－a＝0，即a＝8.
16．已知圆M与圆N：2＋2＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上．
(1)判断圆M与圆N的位置关系；
(2)设P为圆M上任意一点，A，B，P，A，B三点不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证：△PBG与△APG的面积之比为定值．
(1)解　N关于直线y＝x的对称点为M，
所以圆M的半径r＝＝＝，
所以圆M的方程为2＋2＝.
又|MN|＝＝>×2，
故圆M与圆N相离．
(2)证明　设P(x0，y0)，
则|PA|2＝(x0＋1)2＋2＝(x0＋1)2＋－2＝－x0，|PB|2＝(x0－1)2＋2＝(x0－1)2＋－2＝－x0，
所以2＝，即＝.
又PG为∠APB的平分线，
故＝＝2为定值．

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