资源简介

(共70张PPT)
2.1　双曲线及其标准方程
第二章　§2　双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题.
学习目标
同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能达到”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生.
导语
随堂演练
课时对点练
一、双曲线的定义
二、求双曲线的标准方程
三、双曲线在生活中的应用
内容索引
一、双曲线的定义
问题1　椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
提示　平面内到两个定点的距离的和是一个常数，且该常数大于这两个
定点之间的距离，根据焦点位置的不同，其标准方程为
或
问题2　把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，
将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，
而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，
于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，
同理可画出另一支.
(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，
其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件.
问题3　在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|的长度，如果截取的长度等于|F1F2|的长度，其轨迹还是题述图形吗？
提示　不是，是以F1，F2为端点的两条射线.
知识梳理
平面内到两个定点F1，F2的距离之
等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作
.这两个定点F1，F2叫作双曲线的
，两个焦点间的距离叫作双曲线的
.
差的绝对值
双曲线
焦点
焦距
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离.
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
例1　已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为
A.双曲线或一条直线
B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线
D.双曲线一支或一条射线
解析　当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
√
反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
跟踪训练1　在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2,0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是
A.(0,4)
B.(0,4]
C.(4，＋∞)
D.(0,4)∪(4，＋∞)
√
解析　由题意知||PF1|－|PF2||＝a，
又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，
可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，
所以0二、求双曲线的标准方程
问题4　类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，
而且直线F1F2是它的一条对称轴，
所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，
则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，
所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，
令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，
问题5　设双曲线的焦点为
F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
?
?
标准方程
____________________?
____________________?
焦点
_________________
____________________
a，b，c的关系
b2＝_______
知识梳理
双曲线的标准方程
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
c2－a2
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.
(2)a与b没有大小关系.
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2　求过点
，
且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
解　设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，
反思感悟　双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
跟踪训练2　焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点
的双曲线
的标准方程为__________.
解得a2＝8，b2＝4，
三、双曲线在生活中的应用
例3　神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
解　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.
如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
且a＝2，c＝3，
反思感悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
跟踪训练3　如图，B地在A地的正东方向4
km处，C地在B地的北偏东30°方向2
km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的
距离远2
km，则曲线PQ的轨迹方程是______________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
则|DA|－|DB|＝2，
根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支.
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
当A，M，C共线时等号成立.
1.知识清单：
(1)双曲线定义.
(2)双曲线方程的求法.
(3)双曲线在实际生活中的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.
课堂小结
随堂演练
1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是
A.双曲线的一支
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
1
2
3
4
√
解析　由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，
则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.
1
2
3
4
2.方程
＝1表示双曲线，则m的取值范围是
A.－2＜m＜2
B.m＞0
C.m≥0
D.|m|≥2
√
解析　∵已知方程表示双曲线，
∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
1
2
3
4
3.双曲线
上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点
的距离为
A.1或21
B.14或36
C.2
D.21
√
解析　设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，
根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，
∴|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1∴舍去|PF2|＝1，
∴点P到另一个焦点的距离为21.
1
2
3
4
4.以椭圆
的焦点为焦点，且过点
的双曲线的方程为
__________.
1
2
3
4
解析　由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是
A.|PF1|－|PF2|＝±3
B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5
D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
√
解析　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，
满足双曲线的定义，
所以P点的轨迹是双曲线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)双曲线
上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为
A.17
B.7
C.22
D.2
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，
∴|PF2|＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.已知双曲线
(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1
的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为
A.4a
B.4a－m
C.4a＋2m
D.4a－2m
√
解析　不妨设|AF2|>|AF1|，
由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.已知双曲线
上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到
坐标原点O的距离为
A.3或7
B.6或14
C.3
D.7
√
解析　设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.焦点在x轴上的双曲线经过点
，且Q(0,5)与两焦点的连线互
相垂直，则此双曲线的标准方程为_________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得
·
＝－1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.设F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点.若P在双曲线上，且
，则
的值为______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设点P(x，y)，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝
，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示.
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.如图，若F1，F2是双曲线
的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
则a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，
解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
代入|PF1|·|PF2|＝32，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.设椭圆
和双曲线
的公共焦点为F1，F2，P是两曲线
的一个公共点，则cos∠F1PF2等于
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
①2－②2，得2d1d2＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于
A.1
B.4
C.7
D.9
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是
A.双曲线的一支
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
解析　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.(多选)已知点P在双曲线C：
上，F1，F2是双曲线C的左、右焦
点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有
A.点P到x轴的距离为
B.|PF1|＋|PF2|＝
C.△PF1F2为钝角三角形
D.∠F1PF2＝
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以|yP|＝4，所以选项A错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由对称性，对于点P，在△PF1F2中，
则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，所以选项C正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由余弦定理得
所以选项D错误.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知P为双曲线
右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右
焦点，M为△PF1F2的内心.若
＝
＋8，则△MF1F2的面积为
A.
B.10
C.8
D.6
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为
＝
＋8，
所以R＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设顶点A的坐标为(x，y)，
其中当－1当m<－1时，椭圆的焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16§2　双曲线
2．1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题．
导语
同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的．创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能达到”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就．课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生．
一、双曲线的定义
问题1　椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
提示　平面内到两个定点的距离的和是一个常数，且该常数大于这两个定点之间的距离，根据焦点位置的不同，其标准方程为＋＝1或＋＝1.
问题2　把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎么样？
提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|的长度)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这个条件．
问题3　在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|的长度，如果截取的长度等于|F1F2|的长度，其轨迹还是上述图形吗？
提示　不是，是以F1，F2为端点的两条射线．
知识梳理
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
注意点：
(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
例1　已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　)
A．双曲线或一条直线
B．双曲线或两条直线
C．双曲线一支或一条直线
D．双曲线一支或一条射线
答案　D
解析　当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．
反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．
跟踪训练1　在平面直角坐标系中，F1(－2,0)，F2(2,0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是(　　)
A．(0,4)
B．(0,4]
C．(4，＋∞)
D．(0,4)∪(4，＋∞)
答案　A
解析　由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，
可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，
所以0二、求双曲线的标准方程
问题4　类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
因为|PF1|＝，|PF2|＝，
所以－＝±2a，①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．
问题5　设双曲线的焦点为
F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
提示　－＝1(a>0，b>0)．
知识梳理
双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝c2－a2
注意点：
(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(2)a与b没有大小关系．
(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
例2　求过点P，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
解　设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
跟踪训练2　焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
三、双曲线在生活中的应用
例3　神舟“九号飞船”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角．
解　设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5，2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，①
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
且a＝2，c＝3，
∴双曲线方程为－＝1(x≥3)，②
联立①②，得P点坐标为(8,5)，
∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
反思感悟　利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
跟踪训练3　如图，B地在A地的正东方向4
km处，C地在B地的北偏东30°方向2
km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2
km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km.
答案　x2－＝1(x>0)　2－2
解析　如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．
则|DA|－|DB|＝2，
根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．
故2c＝4，c＝2,2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故轨迹方程为x2－＝1(x>0)．
根据题意知C(3，)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2.
当A，M，C共线时等号成立．
1．知识清单：
(1)双曲线定义．
(2)双曲线方程的求法．
(3)双曲线在实际生活中的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错．
1．相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　)
A．双曲线的一支
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
答案　B
解析　由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，
根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线．
2．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2
B．m＞0
C．m≥0
D．|m|≥2
答案　A
解析　∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
3．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为(　　)
A．1或21
B．14或36
C．2
D．21
答案　D
解析　设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，∴|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1∴舍去|PF2|＝1，∴点P到另一个焦点的距离为21.
4．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程为________________．
答案　－＝1
解析　由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
根据题意得
解得或(舍去)，
所以双曲线的方程为－＝1.
课时对点练
1．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案　B
解析　2a＝|－|＝4，
所以a＝2，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
2．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
答案　A
解析　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线．
3．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A.
B.
C.
D．(，0)
答案　B
解析　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，
故右焦点坐标为.
4．(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．17
B．7
C．22
D．2
答案　CD
解析　设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
则a＝5，b＝3，c＝，
设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12>a＋c＝5＋)，
∴点P可能在左支，也可能在右支，
由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，
∴|PF2|＝22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为(　　)
A．4a
B．4a－m
C．4a＋2m
D．4a－2m
答案　C
解析　不妨设|AF2|>|AF1|，
由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，
于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
6．已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　)
A．3或7
B．6或14
C．3
D．7
答案　A
解析　设F2是双曲线的右焦点，
连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，
∴|ON|＝|PF2|，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
∴|ON|＝|PF2|＝7或3.
7．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．
答案　－＝1
解析　设焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得·＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵双曲线过点P(4，－3)，
∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
8．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________．
答案　2
解析　由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)．
设点P(x，y)，
则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
∵·＝0，
∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10.
∴|＋|＝＝＝2.
9．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100，
所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，
故所求方程为－＝1(x>2)．
10．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
解　(1)F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，
则a＝3，b＝4，c＝5，
设点M到另一个焦点的距离为m，
由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，
解得m＝10或m＝22，
即点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6，
则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36，
代入|PF1|·|PF2|＝32，
可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，
所以△F1PF2为直角三角形，
所以＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
11．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2，①
|d1－d2|＝2，②
①2＋②2，得d＋d＝18.
①2－②2，得2d1d2＝6.
而c＝2，∴cos∠F1PF2＝.
12．双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．1
B．4
C．7
D．9
答案　B
解析　在双曲线x2－y2＝1中，a＝b＝1，c＝，
设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵∠F1PF2＝60°，
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|，
即|PF1|·|PF2∣＝4c2－4a2＝4b2＝4.
13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)
A．双曲线的一支
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
答案　A
解析　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．
14．(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　)
A．点P到x轴的距离为
B．|PF1|＋|PF2|＝
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝
答案　BC
解析　因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误；
将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，
所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，所以选项B正确；
由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝.
且cos∠PF2F1＝＝－<0，
则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，所以选项C正确；
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝＝≠，∠F1PF2≠，所以选项D错误．
15．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　)
A．2
B．10
C．8
D．6
答案　B
解析　设△PF1F2的内切圆的半径为R，
由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.
因为＝＋8，
所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，
所以R＝2，
所以＝·2c·R＝10.
16．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解　设顶点A的坐标为(x，y)，
则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，
即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，
其中当－1当m<－1时，椭圆的焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．

展开更多......

收起↑