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(共70张PPT)
第1课时　双曲线的简单几何性质(一)
第二章　2.2　双曲线的简单几何性质
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.会利用双曲线的几何性质解决一些简单的实际问题.
学习目标
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、双曲线的简单几何性质
二、双曲线简单几何性质的实际应用
三、由几何性质求双曲线方程
内容索引
一、双曲线的简单几何性质
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
_____________________?
_____________________
图形
?
?
知识梳理
性质
范围
______________
_____________
对称性
对称轴：
；对称中心：_____
顶点坐标
__________________
___________________
轴长
实轴长＝
，实半轴长＝___
虚轴长＝
，虚半轴长＝___
渐近线
_______________?
___________?
离心率
e＝___，e∈
，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝
(c>a>0，c>b>0)
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
坐标轴
原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
2a
a
2b
b
(1，＋∞)
a2＋b2
注意点：
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)等轴双曲线e＝
，渐近线为y＝±x.
(5)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.
例1　(教材P65例5改编)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
延伸探究　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1　求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；
二、双曲线简单几何性质的实际应用
例2　外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示，已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米.求最小直径圆面的面积.
则A(40，－80)，B(20,10)在双曲线上，
又最小直径的圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，
反思感悟　双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围.
跟踪训练2　某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4
s.已知各观测点到该中心的距离都是1
020
m.试确定该巨响发生的位置(假定当时的声音传播速度为340
m/s，相关各点均在同一平面上.)
解　如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，
设A，B，C分别是西、东、北观测点，
则A(－1
020,0)，B(1
020,0)，C(0，1
020)，
设P(x，y)为巨响发生点，连接PA，PB，PC，AC，
由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，
故P在线段AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，
∵B点比A点晚4
s听到巨响声，
∴|PB|－|PA|＝340×4＝1
360(m).
由双曲线的定义知，
依题意，得a＝680，c＝1
020，b2＝c2－a2＝1
0202－6802＝5×3402.
三、由几何性质求双曲线方程
例3　根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程：
解　若双曲线的实轴在x轴上，
若双曲线的实轴在y轴上，
(2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，
＝
，且离心率为2.
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos∠F1PF2)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
∴3c2＝48.∴c2＝16.∴a2＝4，b2＝12.
反思感悟　由双曲线几何性质求双曲线标准方程的基本思路
根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程.解题时，我们要充分利用这些几何性质.
跟踪训练3　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
(2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
解　由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，
则b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
(3)焦点在x轴上，离心率为
且过点(5,4).
又焦点在x轴上，
解得a2＝9.
设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，
把点(5,4)的坐标代入方程得k＝9，
1.知识清单：
(1)双曲线的几何性质.
(2)双曲线方程的求解.
2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法.
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
课堂小结
随堂演练
1
2
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4
√
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√
√
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4
2.双曲线
的左焦点与右顶点之间的距离等于
A.6
B.8
C.9
D.10
√
解析　由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，
所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
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3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的实轴与虚轴长相等双曲线的方程是
A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
√
解析　令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
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4.中心在坐标原点，离心率为
的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线
方程为________.
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又∵双曲线的焦点在y轴上，
课时对点练
基础巩固
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1.已知双曲线
(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于
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2.已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为
√
解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，
设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，
可得λ＝52－32＝16，
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3.点M为双曲线
上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是
√
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4.已知双曲线C：
(a>0，b>0)的离心率为
，则双曲线C的渐近线方程为
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5.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的
倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为
√
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解析　双曲线一个顶点的坐标为(0,2)，
可得双曲线的焦点在y轴上，且a＝2，
又c2＝a2＋b2＝4＋b2，
②
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6.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程
为
，则下列结论正确的是
√
C.焦点到渐近线的距离为3
D.|PF|的最小值为2
√
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因为c＝5，又c2＝a2＋b2，
所以b＝4，a＝3，
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确.
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7.双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于____.
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8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒
数，则该双曲线的方程为____________.
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a2＝64，c2＝64－16＝48，
从而a′＝6，b′2＝12，
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9.求满足下列条件的双曲线的方程：
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(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为
解　依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，
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(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
解　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，则λ＝3，
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10.已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：
有相同的焦
点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
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故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3，
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综合运用
11.已知双曲线C：
的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为
√
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又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
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解析　如图所示：
所以a2＝m2＋1，b2＝m2，
则c2＝a2＋b2＝2m2＋1，
因为A是双曲线的虚轴上端点，且m>0，
所以A(0，m)，
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14.已知F为双曲线C：
的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两
点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点
在线段PQ上，则△PQF的周长为___.
32
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P，Q为双曲线C右支上的两点，虚轴长为6，
所以|PQ|＝12，双曲线图象如图所示.
|PF|－|PA|＝2a＝4，
①
|QF|－|QA|＝2a＝4，
②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，
所以△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
拓广探究
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15.已知A，B是双曲线Γ：
的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一
象限.若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是
A.k1＋k2
B.|k1－k2|
C.k1·k2
D.
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16.如图，已知双曲线Γ：
(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，
左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P.
(1)若d＝
是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ的正切值；
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即bx±ay＝0，
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(2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程.
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解　设P(xP，yP)，则由条件知，
即P(3,1)，
所以A(2,1)，C(3,3)，第2课时　双曲线的简单几何性质(二)
学习目标　1.掌握求双曲线离心率的方法.2.会解决与渐近线有关的问题.3.进一步熟悉求双曲线标准方程的方法．
一、离心率
例1　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，
即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
则圆心到直线的距离为d＝＝，
则＝2，可得e＝＝.
反思感悟　求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练1　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解　设F1(－c,0)，
将x＝－c代入双曲线的方程得－＝1，
则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
二、渐近线
例2　如图所示，已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
则－＝1，
解得y0＝±，∴|PF2|＝.
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
则|PF1|＝2|PF2|.①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，②
由①②得|PF2|＝2a.
∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2，
∴＝.
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
反思感悟　(1)抓住a，b，c，e之间的关系是求解本题的关键，其中e＝是求解本题的突破口．另外，已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，可由－＝0得到双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)双曲线的焦点三角形相关的问题往往是将三角形的相关知识，如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，与双曲线的相关知识相结合构造出的问题，要想总结对应的解题思路与方法，可从以上知识入手．
跟踪训练2　双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．±
B．±
C．±1
D．±
答案　C
解析　由题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，F(c,0)，将x＝c代入双曲线方程，解得y＝±.
不妨取B，C，
则＝，＝.
根据题意得·＝－1，
整理得＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1.
三、双曲线方程的设法
例3　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等；
(4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为.
解　(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程，解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)易知所求双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(4)因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25)．
因为e＝，
所以＝－1，
解得λ＝21.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
延伸探究　本例(3)条件改为“焦距为2，与双曲线－＝1离心率相等”，求双曲线的方程．
解　当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，
则64λ＋16λ＝5，得λ＝，
所求双曲线方程为－y2＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，
此时64λ＋16λ＝5得λ＝，
∴双曲线方程为－x2＝1，
故所求双曲线方程为－y2＝1或－x2＝1.
反思感悟　巧设双曲线方程的方法
(1)当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
(2)常见双曲线方程的设法．
①渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
②与双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
③与双曲线－＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线方程可设为－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
④与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ跟踪训练3　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(0,2)，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－x2＝1
D．y2－＝1
答案　C
解析　因为双曲线一个焦点的坐标为F(0,2)，所以c＝2.由一条渐近线的斜率为，得＝，
而c2＝a2＋b2，因此有?
故该双曲线的方程为－x2＝1.
(2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线方程为________________．
答案　－＝1
解析　设双曲线方程为－＝1(24∵＝，则＝－1＝，
∴＝，解得k＝29，
∴所求双曲线方程为－＝1.
1．知识清单：
(1)离心率．
(2)渐近线．
(3)求双曲线方程．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：设双曲线方程未考虑到参数的取值范围而致错．
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是(　　)
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C.－x2＝1
D．y2－＝1
答案　D
解析　从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，可知D项正确．
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，所以3b＝4a，所以9(c2－a2)＝16a2，所以e＝＝.
3．设双曲线的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率e＝____________.
答案　或
解析　当焦点在x轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋＝，
所以e＝；当焦点在y轴上时，＝，
所以e2＝1＋＝1＋4＝5，所以e＝.
4．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________________．
答案　－＝1
解析　由－y2＝1，
得双曲线的渐近线方程为y＝±x.
设所求双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，
所以－＝1.
所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.
故双曲线方程为－＝1.
课时对点练
1．双曲线－y2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为(　　)
A.
B.
C.
D．1
答案　A
解析　双曲线－y2＝1的右顶点为(2,0)，
渐近线方程为x±2y＝0，
点(2,0)到x±2y＝0的距离d＝＝.
2.如图，双曲线C：－＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　)
A．3
B．4
C．6
D．8
答案　C
解析　设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
3．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D．y2－＝1
答案　A
解析　依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，
将点(2,2)代入求得λ＝3，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)
A．3
B．2
C.
D.
答案　B
解析　设椭圆与双曲线的标准方程分别为＋＝1(a>b>0)，－＝1(m>0，n>0)，
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝，e2＝，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
即2m＝a，所以＝＝＝2.
5．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，
所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos
30°，
所以(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，
化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.
6．(多选)已知曲线C：＋＝1，下列说法不正确的是(　　)
A．m<2时该曲线为双曲线
B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
D．若该曲线的离心率为，则m＝或m＝－
答案　AB
解析　由题意知，若曲线C为双曲线，则即m<2且m≠0，故A不正确；
若该曲线为等轴双曲线，方程可化为－＝1，则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
∵m2>0，故C正确；
D中，e＝，∴＝7，即6m2＋m－2＝0，解得m＝或m＝－，故D正确．
7．已知双曲线－＝1的离心率是，则n＝____________.
答案　－6或12
解析　由题意知双曲线－＝1的离心率是.
若双曲线的焦点坐标在y轴上，可得＝，
解得n＝12，若双曲线的焦点坐标在x轴上，
可得＝，n＝－6.
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________．
答案　＋1
解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
代入双曲线方程得－＝1，即－＝1.
可得e4－6e2＋1＝0，
解得e2＝3＋2，所以e＝＋1.
9．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．
解　由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0)．
∵点A(2，－3)在双曲线E上，∴－＝t，
∴t＝－，∴双曲线E的标准方程为－＝1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
则双曲线M的标准方程为－＝1.
10．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．
解　直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，
于是有＝c，
即4ab＝c2，
两边平方得，16a2b2＝3c4，
所以16a2(c2－a2)＝3c4，即3c4－16a2c2＋16a4＝0，
即3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝，
因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2，
故e2＝4，所以e＝2.
11．(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为(　　)
A．2
B.
C.
D.
答案　AB
解析　方法一　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，
即＝或＝.
又b2＝c2－a2，所以＝3或＝，
所以e2＝4或e2＝，所以e＝2或e＝.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或＝，所以＝或＝，亦可得到e＝或e＝2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
方法二　根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝＝或2.
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
则离心率e＝＝2或.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D．x2－＝1
答案　D
解析　因为双曲线的离心率为，所以该双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立得A.又因为△AFO的面积为1，所以×c2＝1，解得c2＝5，则a2＝1，b2＝4，即双曲线C的方程为x2－＝1.
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是，左、右焦点分别是F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是________________，∠AF1F2＝________________.
答案　y＝±x　
解析　由题意知，＝，得＝＝3，即＝.
则双曲线的渐近线方程为y＝±x；
如图，不妨设A在第一象限，
则|F2A|＝，|F1F2|＝2c，
所以tan∠AF1F2＝＝＝＝·＝×2＝.
所以∠AF1F2＝.
14．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________．
答案　(2，＋∞)
解析　设双曲线右支上任意一点坐标为(x，y)，则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
∴x2＋y2＝(x－c)2＋y2，得x＝，
∵x≥a，∴≥a，得e≥2.
又∵双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点，
即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以e≠2，
故e>2.
15．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为(　　)
A．2
B.
C．2
D．4
答案　B
解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，
所以渐近线方程为y＝±x，
所以a＝b.
因为顶点到一条渐近线的距离为1，
所以a＝1，
所以a＝b＝.
所以双曲线C的方程为－＝1，
焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，
所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝.
16．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
解　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，
即当|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c?e＝≤3，
所以e∈(1,3]．(共65张PPT)
第2课时　双曲线的简单几何性质(二)
第二章　2.2　双曲线的简单几何性质
1.掌握求双曲线离心率的方法.
2.会解决与渐近线有关的问题.
3.进一步熟悉求双曲线标准方程的方法.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、离心率
二、渐近线
三、双曲线方程的设法
内容索引
一、离心率
例1　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线
(a>0，b>0)的渐近
线相切，则该双曲线的离心率是
√
即bx－ay＝0，
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
反思感悟　求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用
得解.
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
跟踪训练1　已知F1，F2是双曲线
(a>0，b>0)的两个焦点，PQ
是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.
解　设F1(－c,0)，
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以c2－2ac－a2＝0，
即e2－2e－1＝0，
二、渐近线
例2　如图所示，已知F1，F2为双曲线
(a>0，b>0)的焦点，过F2
作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________.
解析　设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，
则|PF1|＝2|PF2|.
①
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，
②
由①②得|PF2|＝2a.
(2)双曲线的焦点三角形相关的问题往往是将三角形的相关知识，如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，与双曲线的相关知识相结合构造出的问题，要想总结对应的解题思路与方法，可从以上知识入手.
跟踪训练2　双曲线
(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别
是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为
√
解析　由题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，F(c,0)，
将x＝c代入双曲线方程，
三、双曲线方程的设法
例3　求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；
解　由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，
将点(1,2)的坐标代入方程，解得λ＝－32.
(2)与双曲线
具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2,0)，与双曲线
离心率相等；
解　易知所求双曲线的焦点在x轴上，
(4)与椭圆
有公共焦点，离心率为
解　因为椭圆焦点在x轴上，
解得λ＝21.
延伸探究　本例(3)条件改为“焦距为
，与双曲线
离心率相等”，求双曲线的方程.
反思感悟　巧设双曲线方程的方法
(1)当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
(2)常见双曲线方程的设法.
跟踪训练3　(1)已知双曲线
(a>0，b>0)的一个焦点为F(0,2)，一
条渐近线的斜率为
，则该双曲线的方程为
√
解析　因为双曲线一个焦点的坐标为F(0,2)，所以c＝2.
(2)与椭圆
有公共焦点，且离心率e＝
的双曲线方程为
__________.
1.知识清单：
(1)离心率.
(2)渐近线.
(3)求双曲线方程.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：设双曲线方程未考虑到参数的取值范围而致错.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
1.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝
的是
√
1
2
3
4
2.若双曲线
(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲
线的离心率为
所以3b＝4a，
所以9(c2－a2)＝16a2，
√
1
2
3
4
3.设双曲线的渐近线方程为y＝
，则该双曲线的离心率e＝_________.
1
2
3
4
4.焦点为(0,6)，且与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程是
___________.
1
2
3
4
所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.
课时对点练
基础巩固
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1.双曲线
的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为
√
渐近线方程为x±2y＝0，
1
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2.如图，双曲线C：
的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴
对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是
A.3
B.4
C.6
D.8
√
解析　设F2为右焦点，连接P2F2(图略)，
由双曲线的对称性，知|P1F1|＝|P2F2|，
所以|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6.
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3.与双曲线
有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是
√
将点(2,2)代入求得λ＝3，
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4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
√
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解析　设椭圆与双曲线的标准方程分别为
因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c，
由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，
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5.设F1，F2是双曲线C：
(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，
若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为
√
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解析　不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，
所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos
30°，
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6.(多选)已知曲线C：
，下列说法不正确的是
A.m<2时该曲线为双曲线
B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上
√
√
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即m<2且m≠0，故A不正确；
则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；
∵m2>0，故C正确；
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7.已知双曲线
的离心率是
，则n＝________.
－6或12
解得n＝12，若双曲线的焦点坐标在x轴上，
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8.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是_______.
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由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，
且过点C，D的双曲线，可得C(c,2c)，
可得e4－6e2＋1＝0，
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9.已知双曲线E与双曲线
共渐近线，且过点
.若双
曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.
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又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，
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10.设双曲线
(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点.已
知原点到直线l的距离为
，求双曲线的离心率.
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即bx＋ay－ab＝0，
两边平方得，16a2b2＝3c4，
所以16a2(c2－a2)＝3c4，即3c4－16a2c2＋16a4＝0，
即3e4－16e2＋16＝0，
1
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11
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16
因为b>a>0，
故e2＝4，所以e＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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16
综合运用
11.(多选)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为
√
√
1
2
3
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5
6
7
8
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16
解析　方法一　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，
若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示.
1
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16
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，
方法二　根据方法一，得当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
1
2
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16
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
1
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7
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12.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：
(a>0，b>0)的离心
率为
，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为
√
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所以该双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，
又因为△AFO的面积为1，
1
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13.已知双曲线
(a>0，b>0)的离心率是
，左、右焦点分别是F1，
F2，过F2且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，则其渐近线方程是
_________，∠AF1F2＝___.
1
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如图，不妨设A在第一象限，
1
2
3
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16
14.如果双曲线
右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等
的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是__________.
(2，＋∞)
解析　设双曲线右支上任意一点坐标为(x，y)，则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
又∵双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点，
即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以e≠2，故e>2.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.设双曲线C：
(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条
渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以渐近线方程为y＝±x，
所以a＝b.
因为顶点到一条渐近线的距离为1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知F1，F2分别为双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双
曲线右支上的任意一点，当
取最小值时，求双曲线的离心率e的取
值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
14
15
16
P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
即当|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
所以e∈(1,3].2．2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质(一)
学习目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.会利用双曲线的几何性质解决一些简单的实际问题．
导语
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．
一、双曲线的简单几何性质
知识梳理
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长
实轴长＝2a，实半轴长＝a
虚轴长＝2b，虚半轴长＝b
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
注意点：
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(2)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(3)焦点到渐近线的距离为b.
(4)等轴双曲线e＝，渐近线为y＝±x.
(5)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．
例1　(教材P65例5改编)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，
即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
延伸探究　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝±
x，即y＝±x.
反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解　把方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5；
c＝＝＝，
焦点坐标是(0，－)，(0，)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.
二、双曲线简单几何性质的实际应用
例2　外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示，已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．求最小直径圆面的面积．
解　如图，由题意设－＝1，则A(40，－80)，B(20,10)在双曲线上，
∴
解得
又最小直径的圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，
∴此时圆面的面积为πa2＝π.
反思感悟　双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围．
跟踪训练2　某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4
s．已知各观测点到该中心的距离都是1
020
m．试确定该巨响发生的位置(假定当时的声音传播速度为340
m/s，相关各点均在同一平面上．)
解　如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，
设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(－1
020,0)，B(1
020,0)，C(0，1
020)，设P(x，y)为巨响发生点，连接PA，PB，PC，AC，由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，故P在线段AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，
∵B点比A点晚4
s听到巨响声，
∴|PB|－|PA|＝340×4＝1
360(m)．
由双曲线的定义知，点P在以A，B为焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)的左支上，
依题意，得a＝680，c＝1
020，b2＝c2－a2＝1
0202－6802＝5×3402.
故双曲线的方程为－＝1(x≤－680)．
又点P在y＝－x上，将y＝－x代入上式，
得x＝±680.
∵|PB|>|PA|，∴x＝－680，
即P(－680，680)，
故|PO|＝680
m.
∴巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680
m处．
三、由几何性质求双曲线方程
例3　根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程：
(1)过点P(3，－)，离心率e＝；
(2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，＝12，且离心率为2.
解　(1)若双曲线的实轴在x轴上，
则设－＝1(a>0，b>0)为所求双曲线的标准方程．
由e＝，得＝，①
由点P(3，－)在双曲线上，得－＝1，②
由a2＋b2＝c2，结合①②得a2＝1，b2＝.
若双曲线的实轴在y轴上，则设－＝1(a>0，b>0)为所求双曲线的标准方程．
同理有＝，－＝1，a2＋b2＝c2，
解得b2＝－(不符合题意)．
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知|F1F2|＝2c，e＝＝2，
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.
由余弦定理得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|·(1－cos∠F1PF2)，
∴4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.
又＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝48.
∴3c2＝48.∴c2＝16.∴a2＝4，b2＝12.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思感悟　由双曲线几何性质求双曲线标准方程的基本思路
根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质．
跟踪训练3　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)．
解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则2b＝8，e＝＝，
从而b＝4，c＝a，
代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，
则b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)方法一　∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.
又焦点在x轴上，
故可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)．
把(5,4)代入方程得－＝1，
解得a2＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由离心率为知，所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，把点(5,4)的坐标代入方程得k＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1.
1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)双曲线方程的求解．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　)
A．实轴长为8
B．虚轴长为4
C．焦距为6
D．离心率为
答案　ABD
解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，
所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.
2．双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　)
A．6
B．8
C．9
D．10
答案　B
解析　由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的实轴与虚轴长相等双曲线的方程是(　　)
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
答案　A
解析　令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　∵＝，∴＝＝，
∴＝，∴＝，
∴＝.
又∵双曲线的焦点在y轴上，
设双曲线方程－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
课时对点练
1．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝.
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案　D
解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1.
3．点M为双曲线－x2＝1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是(　　)
A．1
B.
C．2
D．2
答案　B
解析　设M(x，y)，|OM|＝，
∵点M在双曲线－x2＝1上，∴x2＝－1，|y|≥，
∴|OM|＝＝≥.
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
答案　C
解析　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故选C.
5．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C．x2－＝1
D．y2－＝1
答案　B
解析　双曲线一个顶点的坐标为(0,2)，可得双曲线的焦点在y轴上，且a＝2，
又2a＋2b＝·2c，
所以a＋b＝c，①
又c2＝a2＋b2＝4＋b2，②
联立①②，解得c＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
6．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是
(　　)
A．C的方程为－＝1
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
答案　AD
解析　
双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，又c2＝a2＋b2，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确；
离心率为e＝＝，B不正确；
焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；
|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．
7．双曲线x2－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．
答案　
解析　双曲线x2－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y＝x，
因此焦点到渐近线的距离d＝＝.
8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
答案　－＝1
解析　椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1，
a2＝64，c2＝64－16＝48，
∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝，
则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝，
从而a′＝6，b′2＝12，
故所求双曲线的方程为－＝1.
9．求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(3)过点(2,1)的等轴双曲线．
解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，
∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点(2,1)，则λ＝3，
∴所求双曲线方程为－＝1.
10．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
解　椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则G的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3，
∴＝3，∴a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
11．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
答案　A
解析　由题意，点P(2,1)在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝，即a＝2b.
又2c＝10，∴c＝5.
由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.
故所求双曲线方程为－＝1.
12．已知双曲线C：－＝1(m>0)的焦点为F1，F2，虚轴上端点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　)
A.
B.
C．1
D．2
答案　C
解析　如图所示：
因为双曲线的方程为－＝1，
所以a2＝m2＋1，b2＝m2，
则c2＝a2＋b2＝2m2＋1，
因为A是双曲线的虚轴上端点，且m>0，
所以A(0，m)，
又因为∠F1AF2＝，
所以tan∠AF1O＝tan∠AF2O＝＝，
即＝，解得
m＝1.
13．实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　由题意＝，
所以2a2＝(3－)c2＝(3－)(a2＋b2)，
解得＝.
14．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为______．
答案　32
解析　根据题意，得双曲线C：－＝1的左焦点F(－，0)，
所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，虚轴长为6，所以|PQ|＝12，双曲线图象如图所示．
|PF|－|PA|＝2a＝4，①
|QF|－|QA|＝2a＝4，②
①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8，
所以△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝8＋2|PQ|＝32.
15．已知A，B是双曲线Γ：－＝1的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是(　　)
A．k1＋k2
B．|k1－k2|
C．k1·k2
D．k＋k
答案　C
解析　设P(x0，y0)，其中－＝1，即y＝(x－4)，
则k1＝，k2＝，k1·k2＝＝.
16．如图，已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P.
(1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ的正切值；
(2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程．
解　(1)双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
所以＝<1，
从而tan?＝，tan
θ＝＝4.
(2)设P(xP，yP)，则由条件知，
xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA|＝(|PB|＋|PA|)＝3，
yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC|＝(|PD|－|PC|)＝1，
即P(3,1)，
所以A(2,1)，C(3,3)，
代入双曲线方程得解得
故双曲线Γ的方程为－＝1.

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