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第四讲：函数的概念与函数定义域
1.函数的概念：

2.函数三要素：定义域、值域、对应法则
定义域：指自变量x的取值范围
求函数定义域的常用方法
①若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
②若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
③若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
④若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
⑤若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
值域：指因变量改变而改变的取值范围
一般地说，在函数记号y = f(x)中，“f”即表示对应法则，等式y = f(x)表明，对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，即可得到值域中唯一y值。
3.函数的定义域与函数的求值
根据对应法则，结合非负性，有意义性等性质求定义域，根据定义域求解值域
区间表示法：设，且，
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间

开区间

左闭右开区间

左开右闭区间

一类特殊的区间










实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”， “”读作“负无穷大”．
实数集也可以用表示．
例题解析
例1.1 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)
A．0　　　B．1 C．2 D．3
例1.2下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
例2.1求下列函数的定义域：
(1)y＝－； (2)y＝. (3)f(x)＝·＋2；
(4)y＝； (5)f(x)＝＋.
例2.2已知函数的定义域是，求的定义域；
例2.3已知函数的定义域是，求的定义域。
例3.1区间及写法
（1） ； ⑵ ；
⑶ ； ⑷ ；
例4.1下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3.
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．
例4.2下列各组函数表示相等函数的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝|x| B．f(x)＝1与g(x)＝x0
C．f(x)＝与g(x)＝()2 D．f(x)＝x＋1与g(x)＝
例5.1已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f[g(x)]．
例5.2已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．
三、练习题
练1.1函数f(x)＝－的定义域是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R
练2.1下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝x＋3 B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
练3.1 用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________．
练4.1 已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
练4.2下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x|　　B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
练5.1 若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．2
作业
选择题（3分/题）
1．下列各组函数中，是相等函数的是（ ）
A.与
B.与（）
C.与
D.与
2．已知函数，则（ ）
A. 25 B. 11 C. 45 D. 27
3．设函数对任意，满足，且，则等于（ ）
A．-2 B．
C． D.2
4．已知，用表示不小于的最小整数，如，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（3分/题）
5．已知P＝{a，b}，Q＝{－1,0,1}，f是从P到Q的映射，则满足f（a）＝0的映射个数为
6．设函数，若，则=___________。
在映射中，如果，那么称为的像.设，使，则中所有元素的像构成的集合是______.（用列举法表示）
已知函数,其中为常数,若,则 ．
三、解答题（9、10、11题6分/题，12题8分）
9.已知，且），
（1）求；　　　　
（2）求；　　　　　　　
（3）求的值域．　　　　　　　
10.已知函数为常数，且满足，且方程有唯一解，求函数的解析式，并求的值。　　　
11.已知实数，函数，若，求实数的值．
12.二次函数满足，且。
　（1）求的解析式；
（2）在区间上，恒成立，试确定实数的范围。

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