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(共58张PPT)
1.2　乘法公式与事件的独立性
第六章　§1　随机事件的条件概率
1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.
2.理解两个事件相互独立的概念.
3.理解事件的独立性与条件概率的关系.
学习目标
导语
常言道：“三个臭皮匠能抵诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
随堂演练
课时对点练
一、概率的乘法公式
二、条件概率与相互独立事件的关系
三、相互独立事件发生的概率
内容索引
一、概率的乘法公式
问题1　小明在登录邮箱时发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9
中的任意一个.那么他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？
知识梳理
乘法公式：P(AB)＝__________其中P(A)>0，
P(AB)＝___________(其中P(B)>0).
P(A)P(B|A)
P(B)P(A|B)
例1　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.求：
(1)第一次取得白球的概率；
解　设事件A表示“第一次取得白球”，事件B表示“第二次取得白球”，则事件
表示“第一次取得黑球”，由题意得，
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
反思感悟　概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想.
(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.
跟踪训练1　已知某品牌的手机从1
m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率.
解　设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，
则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
二、条件概率与相互独立事件的关系
问题2　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A的发生会影响事件B
发生的概率吗？
提示　有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B
发生的概率.于是P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B).
知识梳理
1.如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率
影响，这样的两个事件叫作
.
2.两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B).
没有
相互独立事件
注意点：
如果A与B相互独立，那么A与
也都相互独立.
例2　判断下列事件是否相互独立：
(1)甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.
解　“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出
1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以两个事件独立.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
反思感悟　两个事件是否独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B独立.
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.
跟踪训练2　设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：
(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；
解　设事件A表示“第一次未摸到白球”，事件B表示“第二次未摸到白球”，事件C表示“第三次摸到白球”，
则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC.
有放回时，
P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)
(2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.
解　不放回时，
P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)
三、相互独立事件发生的概率
例3　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与
都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，
所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解　记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
反思感悟　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的.
(2)再确定各事件会同时发生.
(3)先求每个事件发生的概率，再求两个概率之积.
跟踪训练3　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
解　用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
由题意得A，B，C之间互相独立，
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
1.知识清单：
(1)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B).
(2)事件A与事件B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B).
2.方法归纳：正难则反.
3.常见误区：判断事件是否为独立事件.
课堂小结
随堂演练
1.袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.对立事件
D.不相互独立事件
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解析　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件.
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3.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为
A.0.64
B.0.32
C.0.56
D.0.48
√
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4.国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为
假定三人的行动相互之间没有影响，那么国庆假期内至少有1人去北京旅游的概率为
____.
课时对点练
基础巩固
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1.下列式子成立的是
A.P(A|B)＝P(B|A)
B.0C.P(AB)＝P(A)·P(B|A)
D.P(AB|A)＝P(B)
√
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2.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.8
√
解析　记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，
即这个选手过关的概率为0.4.
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3.(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝
，则
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4.某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为
A.0.02
B.0.08
C.0.18
D.0.72
√
解析　设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，
由条件概率公式，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.
5.如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作.已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8，则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于
A.0.752
B.0.988
C.0.168
D.0.832
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√
解析　设Ai表示事件“第i次拨号接通电话”，i＝1,2,3，
6.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为
√
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7.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行
的概率分别是
则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为___.
解析　分别记“汽车在甲、乙、丙三处通行”为事件A，B，C，
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8.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
解析　由已知条件知，第2个问题答错，
第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，
则P(A)＝0.8，故P＝
＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.
0.128
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9.要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲机床、乙机床生产的产品中各任取一件，求：
(1)至少有一件废品的概率；
解　分别记“从甲机床、乙机床生产的产品中取一件是废品”为事件A，B，则事件A，B相互独立.
设“至少有一件废品”为事件C，
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(2)恰有一件废品的概率.
解　设“恰有一件废品”为事件D，
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10.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个，
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(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率.
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综合运用
√
11.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为
，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是
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解析　设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”.
根据题意，知事件A和B相互独立，
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，
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12.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为
√
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解析　满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
13.甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军.若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
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14.事件A，B，C相互独立，如果
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即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
拓广探究
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15.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为
，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)为
√
解　设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，
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16.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
解　用B表示“最后一位按偶数”的事件，则
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(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.1.2　乘法公式与事件的独立性
学习目标　1.结合古典概型，会用乘法公式计算概率.2.理解两个事件相互独立的概念.3.理解事件的独立性与条件概率的关系．
导语
常言道：“三个臭皮匠能抵诸葛亮．”怎样从数学上来解释呢？将问题具体化：假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
一、概率的乘法公式
问题1　小明在登录邮箱时发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个．那么他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？
提示　×＝.
知识梳理
乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)其中P(A)>0，
P(AB)＝P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)．
例1　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：
(1)第一次取得白球的概率；
(2)第一、第二次都取得白球的概率；
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
解　设事件A表示“第一次取得白球”，事件B表示“第二次取得白球”，则事件表示“第一次取得黑球”，由题意得，
(1)P(A)＝＝0.6.
(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
(3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝.
反思感悟　概率的乘法公式
(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．
(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.
跟踪训练1　已知某品牌的手机从1
m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．
解　设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，
因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.
即这样的手机从1
m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.
二、条件概率与相互独立事件的关系
问题2　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”．事件A的发生会影响事件B
发生的概率吗？
提示　有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B
发生的概率．于是P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
知识梳理
1．如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件．
2．两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B)．
注意点：
如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
例2　判断下列事件是否相互独立：
(1)甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
解　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以两个事件独立．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不相互独立．
反思感悟　两个事件是否独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B独立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练2　设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：
(1)有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；
(2)不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率．
解　设事件A表示“第一次未摸到白球”，事件B表示“第二次未摸到白球”，事件C表示“第三次摸到白球”，
则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC.
(1)有放回时，
P(A)＝，P(B|A)＝，P(C|AB)＝，
P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)
＝××＝.
(2)不放回时，
P(A)＝，P(B|A)＝，P(C|AB)＝，
P(ABC)＝P(C|AB)P(B|A)P(A)
＝××＝.
三、相互独立事件发生的概率
例3　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲种保险与购买乙种保险相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，
则C＝AB，
所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
则D＝B，
所以P(D)＝P(B)＝P()P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
反思感悟　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的．
(2)再确定各事件会同时发生．
(3)先求每个事件发生的概率，再求两个概率之积．
跟踪训练3　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解　用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(
)＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．知识清单：
(1)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．
(2)事件A与事件B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)．
2．方法归纳：正难则反．
3．常见误区：判断事件是否为独立事件．
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
答案　D
解析　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为(　　)
A．0.64
B．0.32
C．0.56
D．0.48
答案　B
解析　设事件A为甲击中目标，事件B为乙击中目标，“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.
4．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么国庆假期内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案　
解析　因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.
所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.
课时对点练
1．下列式子成立的是(　　)
A．P(A|B)＝P(B|A)
B．0C．P(AB)＝P(A)·P(B|A)
D．P(AB|A)＝P(B)
答案　C
解析　由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为(　　)
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.8
答案　A
解析　记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，
则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，
即这个选手过关的概率为0.4.
3．(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，则(　　)
A．P(AB)＝
B．P(AB)＝
C．P(B)＝
D．P(B)＝
答案　AC
解析　P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，
由P(A|B)＝，
得P(B)＝＝×2＝.
4．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为(　　)
A．0.02
B．0.08
C．0.18
D．0.72
答案　D
解析　设“这粒水稻种子发芽”为事件A，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.9，由条件概率公式，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.
5．如图所示，用A，B，C，D表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A，B至少有一个正常工作且元件C，D至少有一个正常工作时，系统M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8，则元件连接成的系统M正常工作的概率P(M)等于(　　)
A．0.752
B．0.988
C．0.168
D．0.832
答案　A
解析　P(M)＝[1－P()][1－P()]＝0.752.
6．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，则他第3次拨号才接通电话的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　设Ai表示事件“第i次拨号接通电话”，i＝1,2,3，
第3次拨号才接通电话可表示为1∩2∩A3，
显然1，2，A3相互独立，
所以P(1∩2∩A3)＝××＝.
7．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________．
答案　
解析　分别记“汽车在甲、乙、丙三处通行”为事件A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
停车一次为事件BC＋AC＋AB发生，
故概率为P＝××＋××＋××＝.
8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
答案　0.128
解析　由已知条件知，第2个问题答错，第3,4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，故P＝P[(A＋)AA]＝[1－P(A)]·P(A)P(A)＝0.128.
9．要生产一种产品，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率为0.05，从甲机床、乙机床生产的产品中各任取一件，求：
(1)至少有一件废品的概率；
(2)恰有一件废品的概率．
解　分别记“从甲机床、乙机床生产的产品中取一件是废品”为事件A，B，则事件A，B相互独立．
(1)设“至少有一件废品”为事件C，
则P(C)＝1－P()＝1－P()P()＝1－(1－0.04)×(1－0.05)＝0.088.
(2)设“恰有一件废品”为事件D，
则P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.04×(1－0.05)＋(1－0.04)×0.05＝0.086.
10．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．
解　(1)P(A)＝＝.
∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个，
∴P(B)＝＝.
当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝.
(2)由(1)知P(B|A)＝＝＝.
11．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是(　　)
A.
B.
C.
D．1
答案　C
解析　设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．
根据题意，知事件A和B相互独立，
且P(A)＝，P(B)＝.
记“有且只有一人通过听力测试”为事件C，
则C＝A＋B，且A和B互斥．
故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
12.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中，满足xy＝4的概率为(　　)
A.
B.　C.
D.
答案　C
解析　满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率为
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝×＋×＋×＝.
13．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若每局两队获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　根据已知条件，可知甲队要获得冠军可分为甲队直接胜一局，或乙队先胜一局，甲队再胜一局．甲队直接胜一局，其概率为P1＝；乙队先胜一局，甲队再胜一局，其概率为P2＝×＝.由概率加法公式可得甲队获胜的概率为P＝＋×＝.
14．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
答案　　
解析　∵P(AB)＝P(AB)P()＝P()＝，
∴P()＝，即P(C)＝.
又P(C)＝P()·P(C)＝，
∴P()＝，P(B)＝.
又P(AB)＝，则P(A)＝，
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝.
15．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P()＝，
则P()＝P()＝，∴P(A)＝.
16．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个．某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
解　设“第i次按对密码”为事件Ai(i＝1,2)，
则A＝A1∪(1A2)表示“不超过2次就按对密码”．
(1)因为事件A1与事件1A2互斥，所以由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.
(2)用B表示“最后一位按偶数”的事件，则
P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋＝.

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