资源简介

(共64张PPT)
§3　独立性检验问题
第七章　统计案例
1.掌握分类变量和列联表的概念，并会依据列联表判断
两个分类变量是否独立.
2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想.
学习目标
导语
有关法律规定：香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语，那么吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？“如果你认为健康问题不一定是由吸烟引起的，那么可以吸烟”的说法对吗？要回答这个问题，我们先一起来学习本课时的知识吧！
随堂演练
课时对点练
一、分类变量与列联表
二、独立性检验的基本思想
三、独立性检验的应用
内容索引
一、分类变量与列联表
知识梳理
1.为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6
578人，得到下表数据(单位：人)：
上面是一张2行2列的表，在统计中称为2×2列联表.问题中需要考虑的两个变量是
，
；每个变量应取两个值：
、_____
___，
、
.
　　　　
患肺癌情况
吸烟情况
患肺癌
未患肺癌
吸烟
56
1
932
不吸烟
23
4
567
是否吸烟
是否患肺癌
吸烟
不吸
烟
患肺癌
未患肺癌
2.一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{A1，A2}和
{B1，B2}，其2×2列联表为
注意点：分清有关问题中涉及的变量以及每个变量的取值.
?
B1
B2
总计
A1
a
b
_____
A2
c
d
_____
总计
_____
_____
a＋b＋c＋d
a＋b
c＋d
a＋c
b＋d
例1　某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝________，n＝________.
?
80分及80分以上
80分以下
总计
试验班
32
18
50
对照班
24
m
50
总计
56
44
n
26　
100
反思感悟　2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表，列表时关键是对涉及的变量分清类别.
制作2×2列联表的基本步骤：
第一步，合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值；
第二步，抽取样本，整理数据；
第三步，画出2×2列联表.
跟踪训练1　在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表.
解　根据题目所给的数据作出如下的列联表.
　　色盲
性别
患色盲
不患色盲
总计
男
38
442
480
女
6
514
520
总计
44
956
1
000
二、独立性检验的基本思想
知识梳理
1.χ2的独立性检验是利用χ2的取值推断变量X和Y是否独立的方法.
2.χ2的计算公式：χ2＝_______________________，
其中n＝___________.
3.利用χ2临界值对变量的独立性进行判断
(1)当χ2≤2.706时，
的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
(2)当χ2>2.706时，有
的把握判断变量A，B有关联；
a＋b＋c＋d
没有充分
90%
(3)当χ2>3.841时，有
的把握判断变量A，B有关联；
(4)当χ2>6.635时，有
的把握判断变量A，B有关联.
注意点：结合χ2临界值判断两个变量有关联的程度往往出错.
95%
99%
例2　下列关于χ2的说法正确的是
A.χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关
B.χ2的值越大，两个事件相关的可能性就越大
C.χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量，当χ2的值很小时可以判定两
个变量不相关
√
解析　χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推断两个变量相关，但不能判断两个变量不相关.选项D中公式错误，分子上少了平方.故选B.
反思感悟　理解χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中判断变量相关的重要作用.
跟踪训练2　在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是
A.100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B.1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C.在100个吸烟者中一定有患有肺癌的人
D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
√
解析　独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的.
三、独立性检验的应用
例3　为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
　　　　　　　性别
是否需要志愿者
男
女
总计
需要
40
30
70
不需要
160
270
430
总计
200
300
500
解　调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老
(2)试问：该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关？
因为9.967>6.635，
所以有99%的把握判断该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关.
反思感悟　这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再与临界值相比较，作出判断，解题时注意正确运用公式，代入数据准确计算.
跟踪训练3　某研究小组调查了在2～3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查了71人，其中女性34人，男性37人.女性中有10人晕船，另外24人不晕船；男性中有12人晕船，另外25人不晕船.
(1)根据以上数据建立2×2列联表；
解　2×2列联表如下.
　　　晕船情况
性别　　　
晕船
不晕船
总计
女
10
24
34
男
12
25
37
总计
22
49
71
(2)判断晕船是否与性别有关系.
因为0.08<2.706，
所以我们没有理由判断晕船与性别有关.
1.知识清单：
(1)2×2列联表.
(2)统计量和独立性检验思想.
(3)独立性检验的应用.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：计算出错；计算后不能得出合理的结论.
课堂小结
随堂演练
1.如果有95%的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据
A.χ2>3.841
B.χ2<3.841
C.χ2>6.635
D.χ2<6.635
1
2
3
4
√
解析　χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度.
当χ2>6.635时，有99%的把握认为A与B有关系；
当χ2>3.841时，有95%的把握认为A与B有关系；
当χ2>2.706时，有90%的把握认为A与B有关系；
当χ2≤2.706时，就没有充分的证据认为A与B有关系.故选A.
解析　由10×26＝18m，解得m≈14.4，
所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.
2.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表为：
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱
A.8
B.9
C.14
D.19
1
2
3
4
√
?
Y1
Y2
X1
10
18
X2
m
26
1
2
3
4
3.某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的55名学生，得到数据如下表：
?
喜欢应用统计课程
不喜欢应用统计课程
男生
20
5
女生
10
20
?
喜欢应用统计课程
不喜欢应用统计课程
男生
20
5
女生
10
20
1
2
3
4
参照附表，得到的正确结论是
A.有99%的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别有关”
B.有99%的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别无关”
C.有95%以上的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别有关”
D.有95%以上的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别无关”
√
1
2
3
4
故有99%的把握判断“喜欢应用统计，课程与性别有关”.
4.下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：
1
2
3
4
?
晚上
白天
总计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
总计
98
D
180
那么，A＝______，B＝______，C＝______，D＝______，E＝______.
47　
92　
88
　82　
53
1
2
3
4
课时对点练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.为调查中学生的近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视.在检验这些中学生眼睛是否近视与性别是否有关时，最有说服力的方法是
A.统计
B.回归分析
C.概率
D.独立性检验
√
基础巩固
解析　由独立性检验可知，用独立性检验最有说服力.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如右列联表：
则统计量χ2的值约为
A.0.600
B.0.828
C.2.712
D.6.004
√
解析　根据列联表中的数据，可得统计量
?
优秀
及格
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
3.用独立性检验来考察两个变量X与Y是否有关系，当统计量χ2的观测值
A.越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小
B.越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大
C.越小，“X与Y没有关系”成立的可能性越小
D.与“X与Y有关系”成立的可能性无关
√
解析　χ2越大，X与Y越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.(多选)分类变量X和Y的列联表如下：
则下列说法不正确的是
A.ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B.ad－bc越大，说明X与Y关系越强
C.(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D.(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
?
Y1
Y2
总计
X1
a
b
a＋b
X2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
解析　|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强.
5.已知两分类变量的列联表如下：
最后发现，这两个分类变量没有任何关系，则a的值可能是
A.200
B.720
C.100
D.180
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
?
A
总计
B
200
800
1
000
180
a
180＋a
总计
380
800＋a
1
180＋a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生喜欢攀岩的占80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则
A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C.若参与调查的男、女生人数均为100，则依据独立性检验的思想认为喜
欢攀岩和性别有关联
D.无论参与调查的男、女生人数为多少，都可以依据独立性检验的思想
认为喜欢攀岩和性别有关联
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
解析　由题意设参加调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
?
喜欢攀岩
不喜欢攀岩
总计
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.3m
0.7m
m
总计
1.1m
0.9m
2m
所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错误.
由列联表中的数据，计算得到
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当m＝100时，
所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据独立性检验，我们有99%的把握判断喜欢攀岩和性别有关联，故C正确，D错误，故选AC.
根据表中数据，则下列说法正确的是_____.(填序号)
①性别与知道想学专业有关；
②性别与知道想学专业无关；
③女生比男生更易知道所学专业.
②
7.下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
?
知道想学专业
不知道想学专业
总计
男生
63
117
180
女生
42
82
124
总计
105
199
304
所以性别与知道想学专业无关.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示：
根据上述数据能得出结论：有________以上的把握判断“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”.
?
能按时完成
销售任务
不能按时完成
销售任务
总计
具有相关大学学历
57
42
99
不具有相关大学学历
36
65
101
总计
93
107
200
99%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为9.67>6.635，所以有99%以上的把握判断“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”.
9.某教育机构为了研究成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：
对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
?
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
总计
大学专科以上学历
39
157
196
大学专科以下学历
29
167
196
总计
68
324
392
所以我们没有充分的理由判断成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
休闲方式
性别
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动.
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
解　列表如右.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)判断性别与休闲方式是否有关系.
∵χ2>3.841且χ2<6.635，
∴有95%的把握判断性别与休闲方式有关.
对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是
A.a＝40，c＝20
B.a＝45，c＝15
C.a＝35，c＝25
D.a＝30，c＝30
11.假设2个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
综合运用
?
Y1
Y2
总计
X1
a
10
a＋10
X2
c
30
c＋30
总计
a＋c
40
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　因为χ2≤2.706，
所以没有理由判断电视栏目是否优秀与改革有关系，故选D.
12.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是
A.有99%的人判断该栏目优秀
B.有99%的人判断该栏目是否优秀与改革有关系
C.有99%以上的把握判断电视栏目是否优秀与改革有关系
D.没有理由判断电视栏目是否优秀与改革有关系
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
易得a＝1满足题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.有两个变量X与Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
则正整数a的最小值为__时，有90%以上的把握判断“X与Y之间有关系”.
1
　　Y
X　　
Y1
Y2
总计
X1
a
20－a
20
X2
15－a
30＋a
45
总计
15
50
65
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
乙厂：
分组
[29.86，
29.90)
[29.90，
29.94)
[29.94，
29.98)
[29.98，
30.02)
[30.02，
30.06)
[30.06，
30.10)
[30.10，
30.14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为__________；
72%,64%
解析　甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为
＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
＝64%.
所以有99%的把握判断“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)有________的把握判断“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
99%
解析　
?
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1
000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.2020年英超联赛期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢利物浦队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
拓广探究
?
不喜欢利物浦队
喜欢利物浦队
总计
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
总计
a
b
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢利物浦队的人的概率为
，则有超过________的把握判断年龄与利物浦队的被喜欢程度有关.
95%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢利物浦队的人”为事件A，
所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.
故有超过95%的把握判断年龄与利物浦队的被喜欢程度有关.
16.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
(1)试问喜欢“人文景观”景点与年龄是否有关？
?
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
得χ2≈11.978>6.635，
所以有99%以上的把握判断喜欢“人文景观”景点与年龄有关.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)用分层随机抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率.
解　方法一　由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，
从中任选2人的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的样本点有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为
方法二　由题意知，抽取的6人中大于40岁的市民有4个,20岁至40岁的市民有2个，故所求概率
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16§3　独立性检验问题
学习目标　1.掌握分类变量和列联表的概念，并会依据列联表判断两个分类变量是否独立.
2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想．
导语
有关法律规定：香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语，那么吸烟和健康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？“如果你认为健康问题不一定是由吸烟引起的，那么可以吸烟”的说法对吗？要回答这个问题，我们先一起来学习本课时的知识吧！
一、分类变量与列联表
知识梳理
1．为了调查吸烟与患肺癌是否有关系，某机构随机调查了6
578人，得到下表数据(单位：人)：
　　　　
患肺癌情况
吸烟情况
患肺癌
未患肺癌
吸烟
56
1
932
不吸烟
23
4
567
上面是一张2行2列的表，在统计中称为2×2列联表．问题中需要考虑的两个变量是是否吸烟，是否患肺癌；每个变量应取两个值：吸烟、不吸烟，患肺癌、未患肺癌．
2．一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}，其2×2列联表为
B1
B2
总计
A1
a
b
a＋b
A2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
注意点：分清有关问题中涉及的变量以及每个变量的取值．
例1　某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝________，n＝________.
80分及80分以上
80分以下
总计
试验班
32
18
50
对照班
24
m
50
总计
56
44
n
答案　26　100
解析　由题意得解得
反思感悟　2×2列联表是对两个分类变量的汇总统计表，列表时关键是对涉及的变量分清类别．
制作2×2列联表的基本步骤：
第一步，合理选取两个变量，且每一个变量都可以取两个值；
第二步，抽取样本，整理数据；
第三步，画出2×2列联表．
跟踪训练1　在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表．
解　根据题目所给的数据作出如下的列联表．
　　色盲
性别
患色盲
不患色盲
总计
男
38
442
480
女
6
514
520
总计
44
956
1
000
二、独立性检验的基本思想
知识梳理
1．χ2的独立性检验是利用χ2的取值推断变量X和Y是否独立的方法．
2．χ2的计算公式：χ2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
3．利用χ2临界值对变量的独立性进行判断
(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联；
(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联；
(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联．
注意点：结合χ2临界值判断两个变量有关联的程度往往出错．
例2　下列关于χ2的说法正确的是(　　)
A．χ2在任意相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关
B．χ2的值越大，两个事件相关的可能性就越大
C．χ2是用来判断两个变量是否相关的统计量，当χ2的值很小时可以判定两个变量不相关
D．χ2＝
答案　B
解析　χ2只适用于2×2列联表问题，且χ2只能推断两个变量相关，但不能判断两个变量不相关．选项D中公式错误，分子上少了平方．故选B.
反思感悟　理解χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中判断变量相关的重要作用．
跟踪训练2　在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关系”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是(　　)
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患有肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
答案　D
解析　独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．
三、独立性检验的应用
例3　为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
　　　　　　　性别
是否需要志愿者
男
女
总计
需要
40
30
70
不需要
160
270
430
总计
200
300
500
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)试问：该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别是否有关？
解　(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%.
(2)χ2＝≈9.967.
因为9.967>6.635，所以有99%的把握判断该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．
反思感悟　这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再与临界值相比较，作出判断，解题时注意正确运用公式，代入数据准确计算．
跟踪训练3　某研究小组调查了在2～3级风时的海上航行中男女乘客的晕船情况，共调查了71人，其中女性34人，男性37人．女性中有10人晕船，另外24人不晕船；男性中有12人晕船，另外25人不晕船．
(1)根据以上数据建立2×2列联表；
(2)判断晕船是否与性别有关系．
解　(1)2×2列联表如下．
　　　晕船情况
性别　　　
晕船
不晕船
总计
女
10
24
34
男
12
25
37
总计
22
49
71
(2)χ2＝≈0.08.
因为0.08<2.706，
所以我们没有理由判断晕船与性别有关．
1．知识清单：
(1)2×2列联表．
(2)统计量和独立性检验思想．
(3)独立性检验的应用．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：计算出错；计算后不能得出合理的结论．
1．如果有95%的把握判断事件A与B有关系，那么具体计算出的数据(　　)
A．χ2>3.841
B．χ2<3.841
C．χ2>6.635
D．χ2<6.635
答案　A
解析　χ2的值与临界值比较，从而确定A与B有关的可信程度．
当χ2>6.635时，有99%的把握认为A与B有关系；
当χ2>3.841时，有95%的把握认为A与B有关系；
当χ2>2.706时，有90%的把握认为A与B有关系；
当χ2≤2.706时，就没有充分的证据认为A与B有关系．故选A.
2．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表为：
Y1
Y2
X1
10
18
X2
m
26
则当m取下面何值时，X与Y的关系最弱(　　)
A．8
B．9
C．14
D．19
答案　C
解析　由10×26＝18m，解得m≈14.4，
所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．
3．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的55名学生，得到数据如下表：
喜欢应用统计课程
不喜欢应用统计课程
男生
20
5
女生
10
20
(参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99%的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别有关”
B．有99%的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别无关”
C．有95%以上的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别有关”
D．有95%以上的把握判断“喜欢‘应用统计’课程与性别无关”
答案　A
解析　χ2＝
＝＝≈12.0>6.635，
故有99%的把握判断“喜欢应用统计，课程与性别有关”．
4．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：
晚上
白天
总计
男婴
45
A
B
女婴
E
35
C
总计
98
D
180
那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.
答案　47　92　88　82　53
解析　由列联表得解得
课时对点练
1．为调查中学生的近视情况，随机抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近视，女生中有70名近视．在检验这些中学生眼睛是否近视与性别是否有关时，最有说服力的方法是(　　)
A．统计
B．回归分析
C．概率
D．独立性检验
答案　D
解析　由独立性检验可知，用独立性检验最有说服力．
2．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀
及格
总计
甲班
11
34
45
乙班
8
37
45
总计
19
71
90
则统计量χ2的值约为(　　)
A．0.600
B．0.828
C．2.712
D．6.004
答案　A
解析　根据列联表中的数据，可得统计量
χ2＝≈0.600.故选A.
3．用独立性检验来考察两个变量X与Y是否有关系，当统计量χ2的观测值(　　)
A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小
B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大
C．越小，“X与Y没有关系”成立的可能性越小
D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关
答案　B
解析　χ2越大，X与Y越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．
4．(多选)分类变量X和Y的列联表如下：
Y1
Y2
总计
X1
a
b
a＋b
X2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法不正确的是(　　)
A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
答案　ABD
解析　|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．
5．已知两分类变量的列联表如下：
A
总计
B
200
800
1
000
180
a
180＋a
总计
380
800＋a
1
180＋a
最后发现，这两个分类变量没有任何关系，则a的值可能是(　　)
A．200
B．720
C．100
D．180
答案　B
解析　由于A和B没有任何关系，根据列联表可知和基本相等，检验可知，B满足条件，故选B.
6．(多选)某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，男生喜欢攀岩的占80%，女生不喜欢攀岩的占70%，则(　　)
参考公式：χ2＝.
A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多
B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多
C．若参与调查的男、女生人数均为100，则依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联
D．无论参与调查的男、女生人数为多少，都可以依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联
答案　AC
解析　由题意设参加调查的男、女生人数均为m，则得到如下2×2列联表：
喜欢攀岩
不喜欢攀岩
总计
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.3m
0.7m
m
总计
1.1m
0.9m
2m
所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，故A正确，B错误．
由列联表中的数据，计算得到
χ2＝＝，
当m＝100时，
χ2＝＝≈50.505>6.635，
所以当参与调查的男、女生人数均为100时，依据独立性检验，我们有99%的把握判断喜欢攀岩和性别有关联，故C正确，D错误，故选AC.
7．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否知道想学专业的调查表：
知道想学专业
不知道想学专业
总计
男生
63
117
180
女生
42
82
124
总计
105
199
304
根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号)
①性别与知道想学专业有关；
②性别与知道想学专业无关；
③女生比男生更易知道所学专业．
答案　②
解析　χ2＝≈0.041≤2.706，
所以性别与知道想学专业无关．
8．某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示：
能按时完成销售任务
不能按时完成销售任务
总计
具有相关大学学历
57
42
99
不具有相关大学学历
36
65
101
总计
93
107
200
根据上述数据能得出结论：有________以上的把握判断“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．
答案　99%
解析　由公式χ2＝，
得χ2＝≈9.67.
因为9.67>6.635，所以有99%以上的把握判断“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”．
9．某教育机构为了研究成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持教育改革
不太赞成教育改革
总计
大学专科以上学历
39
157
196
大学专科以下学历
29
167
196
总计
68
324
392
对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
解　χ2＝≈1.78.因为1.78<2.706，所以我们没有充分的理由判断成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关．
10．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
解　(1)列表如下．
休闲方式
性别
看电视
运动
总计
女
43
27
70
男
21
33
54
总计
64
60
124
(2)χ2＝≈6.201，
∵χ2>3.841且χ2<6.635，
∴有95%的把握判断性别与休闲方式有关．
11．假设2个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
Y1
Y2
总计
X1
a
10
a＋10
X2
c
30
c＋30
总计
a＋c
40
100
对于同一样本，以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组是(　　)
A．a＝40，c＝20
B．a＝45，c＝15
C．a＝35，c＝25
D．a＝30，c＝30
答案　B
解析　根据2×2列联表与独立性检验的关系，当与相差越大，X与Y有关系的可能性越大，而a，c相差越大，与相差越大，经计算可得B的可能性最大，故选B.
12．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(　　)
A．有99%的人判断该栏目优秀
B．有99%的人判断该栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%以上的把握判断电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由判断电视栏目是否优秀与改革有关系
答案　D
解析　因为χ2≤2.706，所以没有理由判断电视栏目是否优秀与改革有关系，故选D.
13．有两个变量X与Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
　　Y
X　　
Y1
Y2
总计
X1
a
20－a
20
X2
15－a
30＋a
45
总计
15
50
65
则正整数a的最小值为________时，有90%以上的把握判断“X与Y之间有关系”．
答案　1
解析　由题意χ2＝＝>2.706，易得a＝1满足题意．
14．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组
[29.86，
29．90)
[29.90，
29．94)
[29.94，
29．98)
[29.98，
30．02)
[30.02，
30．06)
[30.06，
30．10)
[30.10，
30．14)
频数
12
63
86
182
92
61
4
乙厂：
分组
[29.86，
29．90)
[29.90，
29．94)
[29.94，
29．98)
[29.98，
30．02)
[30.02，
30．06)
[30.06，
30．10)
[30.10，
30．14)
频数
29
71
85
159
76
62
18
(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为________；
(2)有________的把握判断“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
答案　(1)72%,64%　
(2)99%
解析　(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为＝72%；
乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%.
(2)
甲厂
乙厂
总计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
总计
500
500
1
000
χ2＝≈7.353>6.635，
所以有99%的把握判断“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
15．2020年英超联赛期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢利物浦队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：
不喜欢利物浦队
喜欢利物浦队
总计
高于40岁
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
总计
a
b
100
若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢利物浦队的人的概率为，则有超过________的把握判断年龄与利物浦队的被喜欢程度有关．
附：χ2＝.
答案　95%
解析　设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢利物浦队的人”为事件A，由已知得P(A)＝＝，
所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.
χ2＝＝≈4.167>3.841.
故有超过95%的把握判断年龄与利物浦队的被喜欢程度有关．
16．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
(1)试问喜欢“人文景观”景点与年龄是否有关？
(2)用分层随机抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．
解　(1)由公式χ2＝，得χ2≈11.978>6.635，所以有99%以上的把握判断喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)方法一　由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，
从中任选2人的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的样本点有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为.
方法二　由题意知，抽取的6人中大于40岁的市民有4个,20岁至40岁的市民有2个，故所求概率＝＝.

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