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第2课时　数学归纳法的综合应用
学习目标　1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题．
一、用数学归纳法证明不等式
例1　用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N
)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝＝，
右边＝1－＝.
显然<，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－
＝1－<1－＝1－.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
反思感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．
跟踪训练1　求证：＋＋＋…＋＞(n≥2)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝＞0＝右边，
∴不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式成立．
即＋＋…＋＞成立．
那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋…＋
＞＋＋…＋＞＋
＝＋＝，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N
且n≥2时成立．
二、归纳—猜想—证明
例2　在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2，n∈N
)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明．
解　∵a2＝，
且an＋1＝(n≥2)，
∴a3＝＝＝，
a4＝＝＝.
猜想：an＝(n∈N
)．
下面用数学归纳法证明猜想正确：
(1)当n＝1,2时易知猜想正确．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时猜想正确，
即ak＝.
当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝
＝＝
＝
＝＝.
∴当n＝k＋1时猜想也正确．
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N
都正确．
反思感悟　(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．
跟踪训练2　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解　S1＝＝；
S2＝＋＝；
S3＝＋＝；
S4＝＋＝.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
于是可以猜想Sn＝.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，
右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N
都成立．
三、整除问题
例3　证明：当n∈N
时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除．
综合(1)(2)，知当n∈N
时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
反思感悟　用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明．
跟踪训练3　用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
证明　(1)当n＝1时，xn＋yn＝x＋y显然能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N
且k为奇数)时命题成立，
即xk＋yk能被x＋y整除，
当n＝k＋2时，xk＋2＋yk＋2＝x2(xk＋yk)＋yk＋2－x2yk＝x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y)．
又根据假设xk＋yk能被x＋y整除，
∴x2(xk＋yk)能被x＋y整除．
又(x＋y)(x－y)·yk能被x＋y整除，
∴x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y)能被x＋y整除，
∴当n＝k＋2时命题成立．
由(1)(2)知，命题成立．
1．知识清单：
(1)利用数学归纳法证明不等式．
(2)归纳－猜想－证明．
(3)利用数学归纳法证明整除问题．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化．
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
答案　B
解析　由题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.
2．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的过程中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　)
A．5＋3×2k
B.＋4×5k－2k
C．(5－2)
D．2－3×5k
答案　A
解析　假设当n＝k时，命题成立，
即5k－2k能被3整除，
则当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1
＝5×5k－2×2k
＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k
＝5＋5×2k－2×2k
＝5＋3×2k.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
4．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为__________________(n∈N
)．
答案　1＋＋＋…＋>
课时对点练
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证(　　)
A．n＝1
B．n＝2
C．n＝3
D．n＝4
答案　C
解析　由题意知，n的最小值为3，
所以第一步验证n＝3是否成立．
2．已知8>7,16>9,32>11，…，则有(　　)
A．2n>2n＋1
B．2n＋1>2n＋1
C．2n＋2>2n＋5
D．2n＋3>2n＋7
答案　C
解析　由8>7,16>9,32>11可知
第一项为8>7?21＋2>2×1＋5，
第二项为16>9?22＋2>2×2＋5，
第三项为32>11?23＋2>2×3＋5，
以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
3．用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项能被9整除．(　　)
A．3×7k＋6
B．3×7k＋1＋6
C．3×7k－3
D．3×7k＋1－3
答案　B
解析　假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，
当n＝k＋1时，·7k＋1－1－
＝·7k＋1－(3k＋1)·7k
＝·7k＋1－(3k＋1)·7k
＝·7k＋1＋3·7k＋1－(3k＋1)·7k
＝6··7k＋3·7k＋1
＝6·＋3·7k＋1＋6
∵(3k＋1)·7k－1能被9整除．
要证上式能被9整除，还需证明3·7k＋1＋6也能被9整除．
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N
)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，…，
可推测an＝.
5．(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立．则下列命题总成立的是(　　)
A．若f(5)≥6成立，则f(6)≥7成立
B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
答案　AD
解析　若f(5)≥6成立，由题意知f(6)≥7成立，故A正确；若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N
)，即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确．所以选AD.
6．(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　CD
解析　取n＝1，则＝，＝，>不成立；
取n＝2，则＝，＝，>不成立；
取n＝3，则＝，＝，>成立；
取n＝4，则＝，＝，>成立；
证明：
当n≥3时，>成立．
当n＝3，则＝，＝，>成立；
设当n＝k时，有>成立，
则当n＝k＋1时，有＝，
令t＝，则＝＝3－，
因为t>，故>3－＝，
因为－＝>0，
所以>＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立，
由数学归纳法可知，>对任意的n≥3都成立．
7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k＋1)－f(2k)＝____________.
答案　＋＋…＋
解析　f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＝f(2k)＋＋＋…＋，
∴f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
8．已知Sn＝＋＋＋…＋，n∈N
，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.
答案　　　　　
解析　当n＝1时，S1＝；
当n＝2时，S2＝；
当n＝3时，S3＝；
当n＝4时，S4＝.
观察猜想得Sn＝.
9．已知数列{an}满足a1＝，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．
解　(1)∵a1＝，前n项和Sn＝an，
∴令n＝2，得a1＋a2＝3a2，∴a2＝a1＝.
令n＝3，得a1＋a2＋a3＝6a3，∴a3＝.
令n＝4，得a1＋a2＋a3＋a4＝10a4，∴a4＝.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1时，结论成立；
②假设当n＝k(k∈N
，k≥1)时，结论成立，即ak＝，
Sk＝·ak＝，则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝·ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝·ak＋1，
∴＋ak＋1＝·ak＋1，
∴·ak＋1＝，
∴ak＋1＝，
∴当n＝k＋1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N
都有an＝成立．
10．求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N
)．
证明　(1)当n＝2时，
左边＝＋＋＋＝＞，
不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时不等式成立，即
＋＋…＋＞.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋
＞＋
＞＋＝.
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N
都成立．
11．在用数学归纳法证明f(n)＝＋＋…＋<1(n∈N
，n≥3)的过程中：假设当n＝k(k∈N
，k≥3)，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立．若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于(　　)
A.＋
B.＋－
C.－
D.－
答案　B
解析　当n＝k＋1时，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋，又f(k)＝＋＋…＋，所以g(k)＝＋－，故选B.
12．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，n∈N
，则下列结论成立的是(　　)
A．a2
019020018
B．a2
020019018
C．a2
019018020
D．a2
018019020
答案　A
解析　因为a1＝，an＋1＝，
所以a2＝>＝a1，
所以1>a2>a1，
所以1<，
即a1所以，
即a3所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1以下为证明：
当n＝2时，a3设当n＝k时，a2k－1当n＝k＋1时，因为a2k－1所以有，
即a2k－1所以，
即a2k＋1所以当n＝k＋1时，猜想也成立．
故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1所以a2
019020018.
13．用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>－1(n∈N
，n≥2)时，以下说法正确的是(　　)
A．第一步应该验证当n＝1时不等式成立
B．从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是
C．从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k项
D．从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋
答案　D
解析　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；
因为＋＋＋…＋－
＝＋＋…＋，
所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，所以B不正确，D正确；
所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C不正确．
14．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N
)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案　A
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
15．已知f＝·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N
，都能使m整除f，则最大的m的值为(　　)
A．30
B．9
C．36
D．6
答案　C
解析　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，
f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，
f(4)＝34×36，由此猜想m＝36.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，显然成立．
(2)假设n＝k时，f(k)
能被36整除，
即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；
当n＝k＋1时，
[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3－18＋2×3k＋1
＝3＋18.
∵3k－1－1是2的倍数，
∴18能被36整除，
∴当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.
16．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N
)，并用数学归纳法证明你的结论．
解　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N
)成立．
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边．
(2)假设当n＝k时(k≥3且k∈N
)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.
那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N
都成立．(共70张PPT)
第2课时　数学归纳法的综合应用
第4章　
§4.4
　数学归纳法
1.能用数学归纳法证明数学中的一些简单问题.
2.能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、用数学归纳法证明不等式
二、归纳—猜想—证明
三、整除问题
内容索引
一、用数学归纳法证明不等式
例1　用数学归纳法证明：
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式成立，
则当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
反思感悟　用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.
∴不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，不等式成立.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N
且n≥2时成立.
二、归纳—猜想—证明
例2　在数列{an}中，a1＝1，a2＝
，且an＋1＝
(n≥2，n∈N
)，
求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明.
下面用数学归纳法证明猜想正确：
(1)当n＝1,2时易知猜想正确.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时猜想正确，
当n＝k＋1时，
∴当n＝k＋1时猜想也正确.
由(1)(2)可知，猜想对任意n∈N
都正确.
反思感悟　(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”.
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.
跟踪训练2　已知数列
计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想前n项和Sn的表达式，并用数学
归纳法进行证明.
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
猜想成立.
(2)假设当n＝k(k∈N
)时猜想成立，
当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时猜想也成立.
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N
都成立.
三、整除问题
例3　证明：当n∈N
时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17
＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除.
综合(1)(2)，知当n∈N
时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
反思感悟　用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当n＝k＋1时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及n＝k时的代数式，根据归纳假设即可证明.
跟踪训练3　用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除.
证明　(1)当n＝1时，xn＋yn＝x＋y显然能被x＋y整除.
(2)假设当n＝k(k∈N
且k为奇数)时命题成立，
即xk＋yk能被x＋y整除，
当n＝k＋2时，
xk＋2＋yk＋2＝x2(xk＋yk)＋yk＋2－x2yk＝x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y).
又根据假设xk＋yk能被x＋y整除，∴x2(xk＋yk)能被x＋y整除.
又(x＋y)(x－y)·yk能被x＋y整除，
∴x2(xk＋yk)－yk(x＋y)(x－y)能被x＋y整除，∴当n＝k＋2时命题成立.
由(1)(2)知，命题成立.
1.知识清单：
(1)利用数学归纳法证明不等式.
(2)归纳－猜想－证明.
(3)利用数学归纳法证明整除问题.
2.方法归纳：数学归纳法.
3.常见误区：从n＝k到n＝k＋1时，注意两边项数的变化.
课堂小结
随堂演练
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
即5k－2k能被3整除，
则当n＝k＋1时，
5k＋1－2k＋1
＝5×5k－2×2k
＝5×5k－5×2k＋5×2k－2×2k
1
2
3
4
1
2
3
4
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于
√
1
2
3
4
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证
A.n＝1
B.n＝2
C.n＝3
D.n＝4
解析　由题意知，n的最小值为3，
所以第一步验证n＝3是否成立.
√
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2.已知8>7,16>9,32>11，…，则有
A.2n>2n＋1
B.2n＋1>2n＋1
C.2n＋2>2n＋5
D.2n＋3>2n＋7
解析　由8>7,16>9,32>11可知
第一项为8>7?21＋2>2×1＋5，
第二项为16>9?22＋2>2×2＋5，
第三项为32>11?23＋2>2×3＋5，
以此类推第n项为2n＋2>2n＋5.
√
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3.用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1
能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项能被9整除.
A.3×7k＋6
B.3×7k＋1＋6
C.3×7k－3
D.3×7k＋1－3
√
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解析　假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，
∵(3k＋1)·7k－1能被9整除.
要证上式能被9整除，还需证明3·7k＋1＋6也能被9整除.
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝
(n∈N
)，依次计算a2，a3，a4归
纳推测出数列{an}的通项公式为
√
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5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是
A.若f(5)≥6成立，则f(6)≥7成立
B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立
C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立
√
√
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解析　若f(5)≥6成立，由题意知f(6)≥7成立，故A正确；
若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N
)，
即f(k)≥k＋1(k≥5)，结合f(4)≥5，
所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立，故D正确.
所以选AD.
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证明：
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所以当n＝k＋1时，不等式也成立，
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(1)求a2，a3，a4的值；
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(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
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①当n＝1时，结论成立；
∴当n＝k＋1时结论成立.
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证明　(1)当n＝2时，
不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时不等式成立，
则当n＝k＋1时，
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所以当n＝k＋1时不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N
都成立.
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综合运用
11.在用数学归纳法证明f(n)＝
<1(n∈N
，n≥3)的过程
中：假设当n＝k(k∈N
，k≥3)，不等式f(k)<1成立，则需证当n＝k＋1时，f(k＋1)<1也成立.若f(k＋1)＝f(k)＋g(k)，则g(k)等于
√
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12.已知数列{an}满足a1＝
，an＋1＝
，n∈N
，则下列结论成立的是
A.a2
019020018
B.a2
020019018
C.a2
019018020
D.a2
018019020
√
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所以1>a2>a1，
即a1所以
，
即a31
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所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1以下为证明：
当n＝2时，a3设当n＝k时，a2k－1当n＝k＋1时，因为a2k－1所以有
，
即a2k－11
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所以
，
即a2k＋1所以当n＝k＋1时，猜想也成立.
故当连续三项的下标最大项为偶数2n时，有a2n－1所以a2
019020018.
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A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立
B.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是
C.从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k项
√
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解析　第一步应该验证当n＝2时不等式成立，所以A不正确；
所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，所以C不正确.
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14.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N
)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开
A.(k＋3)3
B.(k＋2)3
C.(k＋1)3
D.(k＋1)3＋(k＋2)3
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，
即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，
只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可.
√
拓广探究
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解析　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，得f(1)＝36，
f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，
f(4)＝34×36，由此猜想m＝36.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，显然成立.
(2)假设n＝k时，f(k)
能被36整除，
即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；
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当n＝k＋1时，
[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
∵3k－1－1是2的倍数，
∴当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，
m的最大值为36.
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16.试比较2n＋2与n2的大小(n∈N
)，并用数学归纳法证明你的结论.
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解　当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2(n∈N
)成立.
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
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所以左边>右边，所以原不等式成立.
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边>右边.
(2)假设当n＝k时(k≥3且k∈N
)时，不等式成立，
即2k＋2>k2.
那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.
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又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)≥0，
即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立.
根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N
都成立.(共53张PPT)
第1课时　数学归纳法
第4章　
§4.4
　数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
学习目标
同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧.
导语
随堂演练
课时对点练
一、数学归纳法的理解
二、增加的项的个数问题
三、用数学归纳法证明等式
内容索引
一、数学归纳法的理解
问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
提示　不能.
通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.
不完全归纳法得到的结论不一定正确.
例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证.
问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
提示　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.
像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法.
它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的.
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当
时命题成立；
(2)假设“当
(k≥n0，k∈N
)时命题成立”，证明当
时命题也成立.
根据(1)(2)就可以断定命题对从
开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法.
注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择.
知识梳理
n＝n0(n0∈N
)
n＝k
n＝k＋1
n0
例1　(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N
)时，初始值n0应等于____.
解析　由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；
当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；
当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；
当n＝6时，26>(6＋1)2，
所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N
)时，初始值n0应等于6.
6
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
②假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝
＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N
，等式都成立.上述证明，错误是______________.
未用归纳假设
解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，
这与数学归纳法的要求不符.
反思感悟　数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
跟踪训练1　对于不等式
＜n＋1(n∈N
)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，
＜1＋1，不等式成立.
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法
A.过程全部正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
√
解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法.
二、增加的项的个数问题
例2　用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为
解析　当n＝k时，等式的左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，
等式的左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋k＋2)，
√
反思感悟　弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项.
跟踪训练2　利用数学归纳法证明不等式1＋
n∈N
)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了
A.1项
B.k项
C.2k－1项
D.2k项
√
三、用数学归纳法证明等式
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，命题成立，
那么当n＝k＋1时，
上式表明当n＝k＋1时，命题也成立.
由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立.
反思感悟　用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构.
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项.
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项.
②代数式相邻两项之间的变化规律.
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系.
跟踪训练3　求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)
(n∈N
).
证明　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立.
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)
＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
综上所述，等式对任何n∈N
都成立.
1.知识清单：
(1)数学归纳法的概念.
(2)增加或减少项的个数问题.
(3)用数学归纳法证明等式.
2.方法归纳：数学归纳法.
3.常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错.
课堂小结
随堂演练
1.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝
(n∈N
)，
验证n＝1时，左边应取的项是
A.1
B.1＋2
C.1＋2＋3
D.1＋2＋3＋4
解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边需增添的项是
A.2k＋2
C.[(2k＋2)＋(2k＋3)]
√
1
2
3
4
解析　当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
共2k＋1个连续自然数相加；
当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，
所以从n＝k到n＝k＋1，等式左边需增添的项是[(2k＋2)＋(2k＋3)].
1
2
3
4
3.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N
)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得
A.当n＝4时命题不成立
B.当n＝6时命题不成立
C.当n＝4时命题成立
D.当n＝6时命题成立
√
1
2
3
4
解析　因为当n＝k(k∈N
)时命题成立，
则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，
所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，
这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.
1
2
3
4
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为_______________
______________________________________.
解析　当n＝k＋1时，
表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，
表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，
则当n＝k＋1时，
表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.
1×4＋2×7＋…
＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为
n(n－3)条时，第一步应验证n等于
A.1
B.2
C.3
D.4
解析　边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
√
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2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，
则还需要用归纳假设再证
A.n＝k＋1时等式成立
B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立
D.n＝2(k＋2)时等式成立
√
解析　因为n为正偶数，
所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
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3.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝
(a≠1)”.在验证n＝1时，左端计算所得项为
A.1＋a
B.1＋a＋a2
C.1＋a＋a2＋a3
D.1＋a＋a2＋a3＋a4
解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
√
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4.若命题A(n)(n∈N
)在n＝k(k∈N
)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立.现知命题对n＝n0(n0∈N
)成立，则有
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数
都成立
D.以上说法都不正确
√
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解析　由已知得n＝n0(n0∈N
)时命题成立，
则有n＝n0＋1时命题成立.
在n＝n0＋1时命题成立的前提下，
又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
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5.已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是
A.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B.f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D.f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2
＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
√
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6.用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N
)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到
A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
解析　由数学归纳法知第二步假设n＝k时等式成立，
则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2.
√
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7.设f(n)＝1＋
(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝_________
________.
解析　注意末项与首项，
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8.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N
)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是_____.
解析　运用数学归纳法证明
1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N
).
当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N
)，
左边表示的为2k项的和.
当n＝k＋1时，则
左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，
表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.
2k
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(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，
那么当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N
都成立.
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10.用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N
).
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证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，
所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，等式成立，
即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k
＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)知，等式对任何n∈N
都成立.
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综合运用
11.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝
，则当n＝k＋1时左端应
在n＝k的基础上加上
A.(k＋1)2
B.k2＋1
C.
D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
√
解析　因为当n＝k时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2，
故选D.
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12.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N
)，若当n＝1,2，…，1
000时，p(k)成立，且当n＝1
001时也成立，则下列判断中正确的是
A.p(k)对k＝528成立
B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立
D.p(k)对某些偶数可能不成立
√
√
解析　由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2
002成立，
当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
√
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14.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____.
解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.
π
拓广探究
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15.用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步假设n＝k(k∈N
)时命题为真后，需证n＝_____时命题也为真.
解析　因为n为正奇数，所以n＝k＋2时命题也为真.
k＋2
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16.用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝
(3n2＋11n＋10)，其中n∈N
.
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证明　①当n＝1时，左边＝1×22＝4，
所以左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，等式成立，
那么当n＝k＋1时，
1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
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即当n＝k＋1时，等式也成立，
综上，对任何n∈N
，等式都成立.§4.4
　数学归纳法
第1课时　数学归纳法
学习目标　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
导语
同学们，生活中大家是否有过这种经历，比如说，你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的；比如说，你知道有一个人欺骗了你，你就会感觉所有的人都在欺骗你；比如说，当你做题时，第一个题不会，你就会认为所有的题目都不会了，其实这些都用了不完全归纳的方法，其结论不一定成立，而这些也往往给予特定的目标一些心理暗示，容易对一些目标造成心理伤害，我们今天就一起解决这些特定目标的心理障碍吧．
一、数学归纳法的理解
问题1　如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
提示　不能．通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法．不完全归纳法得到的结论不一定正确．例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，需要验证．
问题2　在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？
提示　要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下．像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫作数学归纳法．它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的．
知识梳理
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n＝n0(n0∈N
)时命题成立；
(2)假设“当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立”，证明当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法称为数学归纳法．
注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择．
例1　(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N
)时，初始值n0应等于________．
答案　6
解析　由题意，得当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N
)时，初始值n0应等于6.
(2)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明，错误是__________________．
答案　未用归纳假设
解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符．
反思感悟　数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
跟踪训练1　对于不等式＜n＋1(n∈N
)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜
＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
解析　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，不是数学归纳法．
二、增加的项的个数问题
例2　用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(　　)
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D.
答案　B
解析　当n＝k时，等式的左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，等式的左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…(k＋k)(k＋1＋k)(k＋k＋2)，
所以从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为＝2(2k＋1)．
反思感悟　弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项．
跟踪训练2　利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了(　　)
A．1项
B．k项
C．2k－1项
D．2k项
答案　D
解析　增加项为＋＋＋…＋，共2k项．
三、用数学归纳法证明等式
例3　用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N
)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，命题成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋.
上式表明当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立．
反思感悟　用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
跟踪训练3　求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N
)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，等式对任何n∈N
都成立．
1．知识清单：
(1)数学归纳法的概念．
(2)增加或减少项的个数问题．
(3)用数学归纳法证明等式．
2．方法归纳：数学归纳法．
3．常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错．
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
答案　D
解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.
2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边需增添的项是(　　)
A．2k＋2
B.
C．[(2k＋2)＋(2k＋3)]
D.
答案　C
解析　当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，共2k＋1个连续自然数相加；
当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，
所以从n＝k到n＝k＋1，等式左边需增添的项是[(2k＋2)＋(2k＋3)]．
3．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N
)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　)
A．当n＝4时命题不成立
B．当n＝6时命题不成立
C．当n＝4时命题成立
D．当n＝6时命题成立
答案　A
解析　因为当n＝k(k∈N
)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立．
4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________________________________．
答案　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
解析　当n＝k＋1时，
表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，
表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，
则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.
课时对点练
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　C
解析　边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)
A．n＝k＋1时等式成立
B．n＝k＋2时等式成立
C．n＝2k＋2时等式成立
D．n＝2(k＋2)时等式成立
答案　B
解析　因为n为正偶数，
所以当n＝k时，下一个偶数为k＋2.
3．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为(　　)
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
答案　C
解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.
4．若命题A(n)(n∈N
)在n＝k(k∈N
)时成立，则有n＝k＋1时命题也成立．现知命题对n＝n0(n0∈N
)成立，则有(　　)
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
答案　C
解析　由已知得n＝n0(n0∈N
)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立．在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
5．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
答案　A
解析　f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
6．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N
)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)
A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2
B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2
C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2
D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2
答案　B
解析　由数学归纳法知第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2.
7．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
答案　＋＋
解析　注意末项与首项，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.
8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N
)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________．
答案　2k
解析　运用数学归纳法证明
1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N
)．
当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N
)，左边表示的为2k项的和．
当n＝k＋1时，则
左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项．
9．证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N
)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，
等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－.
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N
都成立．
10．用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N
)．
证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N
都成立．
11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．(k＋1)2
B．k2＋1
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案　D
解析　因为当n＝k时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，等号的左端为1＋2＋3＋…＋2，
所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2，
故选D.
12．(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N
)，若当n＝1,2，…，1
000时，p(k)成立，且当n＝1
001时也成立，则下列判断中正确的是(　　)
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
答案　AD
解析　由题意知p(k)对k＝2,4,6，…，2
002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
13．已知f＝＋＋＋＋…＋，则(　　)
A．f中共有n项，当n＝2时，f＝＋
B．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋
C．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋
D．f中共有项，当n＝2时，f＝1＋＋＋
答案　C
解析　f中共有n2－＋1＝n2－n＋2项，当n＝2时，f＝1＋＋＋.
14．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
答案　π
解析　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
15．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步假设n＝k(k∈N
)时命题为真后，需证n＝________时命题也为真．
答案　k＋2
解析　因为n为正奇数，所以n＝k＋2时命题也为真．
16．用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N
.
证明　①当n＝1时，左边＝1×22＝4，
右边＝×(3×12＋11×1＋10)＝4，
所以左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，等式成立，
即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，
那么当n＝k＋1时，
1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋5k＋12k＋24)
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．
即当n＝k＋1时，等式也成立，
综上，对任何n∈N
，等式都成立．

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