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第一节　函数的概念及其表示
学习要求:
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
　　1.函数的有关概念
函数的定义
设A,B是非空的①
实数集
,如果对于集合A中②
任意一个数x
,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有③
唯一确定
的数y和它对应,那么就称f:④
A→B
为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
⑤
y=f(x)
,x∈A
定义域
x叫做自变量,x的⑥
取值范围A
叫做函数的定义域
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
　　?提醒　判断两个函数是否相同,要抓住以下两点:①定义域是否相同;②对应关系是否相同,当解析式可以化简时,要注意化简过程的等价性.
2.同一个函数的概念
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有⑦
解析法
、图象法和列表法.?
4.分段函数
在函数的定义域中,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的⑧
对应关系
,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.?
?提醒　一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义区间端点应不重不漏.
知识拓展
　　1.常见的函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sin
x,y=cos
x的定义域均为R.
(5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(6)y=tan
x的定义域为xx∈R且x≠kπ+,k∈Z.
(7)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为,当a<0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(　　)
(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一个函数.
(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.
(　　)
(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.
(　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P73T11改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是
(　　)
3.(新教材人教A版必修第一册P67T3改编)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是(　　)
A.y=()2　　　　
B.y=+1
C.y=+1　　　　
D.y=+1
4.(新教材人教A版必修第一册P72T1改编)函数f(x)=的定义域为
(　　)
A.[0,2)　　　　
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞)　　　　
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
5.(易错题)已知f()=x-1,则f(x)=　　　　.?
求函数的定义域
1.(2020四川树德中学高三二模)函数f(x)=+ln(x+1)的定义域是
(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.(2,+∞)　　　　B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(-1,2)　　　　D.(-1,2]
2.函数f(x)=的定义域是
(　　)
A.[1,2]　　　　B.[2,+∞)
C.[1,2)　　　　D.(1,2]
3.(2020广东普宁华美实验学校高三开学考试)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是
(　　)
A.[0,1]　　　　B.(0,1)
C.[0,1)　　　　D.(0,1]
4.(2020河北邯郸模拟)函数f(x)=(a>0且a≠1)的定义域为　　　　.?
求函数的解析式
　　典例1　(1)已知f(+1)=x-2,则f(x)=　　　　　;?
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=　　　　　　;?
(3)已知函数f(x)满足对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=　　　　.?
1.(2020安徽蚌埠高三三模)已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(3)=(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.1　　　　B.3
C.5　　　　D.7
2.(2020广东濠江金山中学高三月考)已知f,则f(x)=
(　　)
A.
C.
分段函数
角度一　分段函数求值
　　典例2　已知函数f(x)=的值是
(　　)
A.9　　　　B.-9　　　　C.
角度二　根据分段函数求参数的值
　　典例3　已知f(x)=若f(a)=2,则a的取值为(　　)
A.-1或2　　　　B.±1或2
C.-1　　　　
D.2
角度三　根据分段函数解不等式
　　典例4　(2020甘肃武威第六中学高三模拟)设函数f(x)=则满足f(x+1)<2的x的取值范围是
(　　)
A.(-4,3)　　　　
B.(-5,2)
C.(-3,4)　　　　
D.(-∞,-3)∪(4,+∞)
1.(2020河北邢台高三模拟)已知f(x)=且f(0)=3,f(-1)=4,则f(f(-3))=(　　)
A.-1　　　　B.-lg
3
C.0　　　　
D.1
2.设函数f(x)==4,则b=
(　　)
A.1　　　　B.
3.已知函数f(x)=若f(a)>,则实数a的取值范围是　　　　.?
数学抽象——函数中的新定义问题
　　1.具有f
=-f(x)性质的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:
①f(x)=x-;②f(x)=ln;③f(x)=
其中满足“倒负”变换的函数是
(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　A.①②　　　　B.①③
C.②③　　　　D.①
2.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的值只能是
(　　)
A.
C.　　　　D.0
　《数学统综》中有如下记载:“有凹线,取三数,小小大,存三角.”意思是:“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点,若在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数,则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形.”现已知凹函数f(x)=x2-2x+2,在上取三个不同的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c)),若存在以f(a),f(b),f(c)为三边长的三角形,则实数m的取值范围为　　　　.?
答案解析
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点.(　　)
(2)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一个函数.
(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(　　)
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.
(　　)
(5)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集.
(　　)
答案　(1)?　(2)√　(3)?　(4)?　(5)√
2.(新教材人教A版必修第一册P73T11改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是
(　　)
答案　B
3.(新教材人教A版必修第一册P67T3改编)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是(　　)
A.y=()2　　　　
B.y=+1
C.y=+1　　　　
D.y=+1
答案　B
4.(新教材人教A版必修第一册P72T1改编)函数f(x)=的定义域为
(　　)
A.[0,2)　　　　
B.(2,+∞)
C.[0,2)∪(2,+∞)　　　　
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
答案　C
5.(易错题)已知f()=x-1,则f(x)=　　　　.?
答案　x2-1(x≥0)
【易错点分析】　解答本题容易出现的错误是在应用换元法求函数的解析式时,忽视自变量的取值范围.
求函数的定义域
1.(2020四川树德中学高三二模)函数f(x)=+ln(x+1)的定义域是
(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.(2,+∞)　　　　B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(-1,2)　　　　D.(-1,2]
答案　C　函数的定义域应满足解得-1∴f(x)的定义域为(-1,2).
2.函数f(x)=的定义域是
(　　)
A.[1,2]　　　　B.[2,+∞)
C.[1,2)　　　　D.(1,2]
答案　C　根据函数f(x)的解析式,有解得1≤x<2,所以函数f(x)的定义域为[1,2),故选C.
3.(2020广东普宁华美实验学校高三开学考试)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是
(　　)
A.[0,1]　　　　B.(0,1)
C.[0,1)　　　　D.(0,1]
答案　B　由题意可知函数f(x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1,又由g(x)满足1-x>0且1-x≠1,解得x<1且x≠0,所以函数g(x)的定义域为(0,1),故选B.
4.(2020河北邯郸模拟)函数f(x)=(a>0且a≠1)的定义域为　　　　.?
答案　(0,2]
解析　由解得0名师点评
(1)求给定解析式的函数定义域的方法:
求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解,对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.
(2)求抽象函数定义域的方法:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
②若已知函数f
[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
求函数的解析式
　　典例1　(1)已知f(+1)=x-2,则f(x)=　　　　　;?
(2)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)=　　　　　　;?
(3)已知函数f(x)满足对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,则f(x)=　　　　.?
答案　(1)x2-4x+3(x≥1)
(2)2x+或-2x-8　(3)x-1
解析　(1)令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,
代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3(t≥1),所以f(x)=x2-4x+3(x≥1).
(2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,
又f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8,
即
所以f(x)=2x+或(x)=-2x-8.
(3)在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,
联立可得消去f(-x)可得f(x)=x-1.
名师点评
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法:若已知函数的类型,则可用待定系数法.
(2)换元法:若已知复合函数f[g(x)]的解析式,则可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法:若已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,则可根据已知条件构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x).
1.(2020安徽蚌埠高三三模)已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(3)=(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.1　　　　B.3
C.5　　　　D.7
答案　D　设f(x)=ax+b,a≠0,
则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b,
因为f[f(x)-2x]=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,
所以f(x)=2x+1,所以f(3)=7.
2.(2020广东濠江金山中学高三月考)已知f,则f(x)=
(　　)
A.
C.
答案　A　令t=,得x=,
∴f(t)=,
∴f(x)=,故选A.
分段函数
角度一　分段函数求值
　　典例2　已知函数f(x)=的值是
(　　)
A.9　　　　B.-9　　　　C.
答案　C　∵>0,
∴f=-2,
又∵-2<0,
∴f=f(-2)=3-2=.
角度二　根据分段函数求参数的值
　　典例3　已知f(x)=若f(a)=2,则a的取值为(　　)
A.-1或2　　　　B.±1或2
C.-1　　　　
D.2
答案　A　∵f(a)=2,
∴当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;当a<0时,-a2+3=2,解得a=-1.
综上,a的取值为-1或2.
角度三　根据分段函数解不等式
　　典例4　(2020甘肃武威第六中学高三模拟)设函数f(x)=则满足f(x+1)<2的x的取值范围是
(　　)
A.(-4,3)　　　　
B.(-5,2)
C.(-3,4)　　　　
D.(-∞,-3)∪(4,+∞)
答案　B　因为f(x)=
所以f(x+1)=
当x≥-1时,f(x+1)<2即log2(x+2)<2,解得x<2,所以-1≤x<2;当x<-1时,f(x+1)<2即<2,解得x>-5,所以-5名师点评
(1)分段函数的求值问题的解题思路:
①求函数值:当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值;
②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路:
依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.
1.(2020河北邢台高三模拟)已知f(x)=且f(0)=3,f(-1)=4,则f(f(-3))=(　　)
A.-1　　　　B.-lg
3
C.0　　　　
D.1
答案　A　由f(x)=且f(0)=3,f(-1)=4,
得
则f(-3)=+2=10,
则f(f(-3))=f(10)=-lg
10=-1.
2.设函数f(x)==4,则b=
(　　)
A.1　　　　B.
答案　D　f
-b,
若-b<1,即b>,则f-b=4,解得b=,不符合题意,舍去.若
-b≥1,即b≤,则=4,解得b=.
3.已知函数f(x)=若f(a)>,则实数a的取值范围是　　　　.?
答案　
解析　当a≤0时,由2a>,解得-1当a>0时,由lo,解得0综上,a的取值范围是.
数学抽象——函数中的新定义问题
　　1.具有f
=-f(x)性质的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:
①f(x)=x-;②f(x)=ln;③f(x)=
其中满足“倒负”变换的函数是
(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　A.①②　　　　B.①③
C.②③　　　　D.①
答案　B　对于①,
f(x)=x-,f
-x=-f(x),满足“倒负”变换;
对于②,f(x)=ln,f
≠-f(x),不满足“倒负”变换;
对于③,f
==-f(x),满足“倒负”变换.
所以满足“倒负”变换的函数是①③.
2.设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的值只能是
(　　)
A.
C.　　　　D.0
答案　B　设f(1)处的点为A1,若f(x)的图象逆时针旋转后与原图象重合,则旋转后的A1的对应点A2也在f(x)的图象上,同理A2的对应点A3也在f(x)的图象上,以此类推.
则f(x)对应的图象可以为一个圆周上的12等分的12个点.
当f(x)的取值为时,
在同一个x处可能同时存在2个f(x)值,如A1和A9,不符合函数的定义,故A项错误.
同理,当f(x)=和0时亦不符合函数的定义.故C,D项错误.
故f(1)的值只能是.
　　(1)所谓“新定义”,是高中教材中不曾出现过的新概念、新符号、新运算等.新定义问题要求学生按照这种“新定义”去解决相关的问题.一般要充分理解“新定义”,把“新定义”与已掌握的知识相结合去解决问题.考查学生对新概念的理解,充分体现了数学抽象的核心素养.
(2)“新定义”试题,题型新颖,信息丰富,以能力立意,集应用性、探索性和开放性于一体,问题背景公平公正,考试信度高,越来越受命题人的重视.
　《数学统综》中有如下记载:“有凹线,取三数,小小大,存三角.”意思是:“在凹(或凸)函数(函数值为正)图象上取三个点,若在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数,则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形.”现已知凹函数f(x)=x2-2x+2,在上取三个不同的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c)),若存在以f(a),f(b),f(c)为三边长的三角形,则实数m的取值范围为　　　　.?
答案　[0,1]
解析　易知m2-m+2>1,
∴f(x)=x2-2x+2在上的最小值为f(1)=1.
令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2,
∴m2-m+2≤2,
∴0≤m≤1.
1
/
3

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