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第7讲_函数奇偶性
知识图谱
函数奇偶性
知识精讲
一．
奇函数与偶函数的定义
1．奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数．
2．偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做偶函数．
二．
奇函数、偶函数的性质
1．图象特征
是偶函数的图象关于轴对称；
是奇函数的图象关于原点对称．
2．函数特征
（1）具有奇偶性的函数，则其定义域关于原点对称．
（2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
（3）两个具有奇偶性的函数四则运算的性质：
①两个奇函数的和仍为奇函数；
②两个偶函数的和仍为偶函数；
③两个奇函数的积是偶函数；
④两个偶函数的积是偶函数；
⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（以上函数都满足定义在同一个关于原点对称的定义域上）
（4）复合函数奇偶性的判断：
对于复合函数，若为偶函数，则为偶函数；若为奇函数，为奇函数，则为奇函数；若为奇函数，为偶函数，则为偶函数．
的奇偶性
的奇偶性
函数的奇偶性
偶函数
任意
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
（5）若奇函数的定义域包含，则．
三．函数的周期性
1．周期函数
对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．
2．具有周期性的一些抽象函数：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）以下条件时，是周期函数：
（1），则周期；
（2），则周期；
（3），则周期；
（4），则周期；
（5），则周期；
（6），则周期；
（7），则周期；
（8）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期；
（9）函数的图象关于直线和都对称，则周期；
（10）函数的图象关于两点、都对称，则函数周期；
（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数周期．
3．判断周期性的主要方法：
（1）判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：
一是对定义域中任意的恒有；
二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
（2）解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．
三点剖析
一．注意事项
1.判断函数奇偶性前先判断定义域；
2.既是奇函数又是偶函数的函数有一类：（定义域关于原点对称）．
二．方法点拨
1．
判断函数的奇偶性
（1）判断函数奇偶性的主要步骤：
①求函数的定义域；
②验证的定义域是否关于原点对称；
③化简函数的解析式；
④判断与的关系：若，则为偶函数；若，则为奇函数；
⑤给出结论．
（2）分段函数奇偶性的判断
分段函数要判断各段中与的关系，只有在各段都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
2．
应用函数奇偶性解题的方法
（1）利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
例：已知函数为奇函数，且当时，，则________．
解：是奇函数，．
（2）已知函数的奇偶性求解析式．
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求，或充分利用奇偶性构造关于的方程（组），从而得到的解析式；
例：如果函数是奇函数，则________．
解：令，则，，又是奇函数，，．
（3）已知函数的奇偶性求函数的解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用得到恒等式，由系数的对等性可得参数的值．
例：已知函数是奇函数，求实数m的值．
解：令，则，，
又为奇函数，，
．
（4）已知是偶函数，则有．
例：已知偶函数在上单调递减，．若，则x的取值范围是________．
解：
又是偶函数且在上单调递减，
，，
．
3．利用奇函数、偶函数图像的对称性解题
利用奇偶函数的对称性可以解决关于原点或关于y轴对称的区间上的函数的补全图象、函数值和单调性的有关问题．
例：已知和都是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且上两函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．
解：利用奇偶函数图象对称性的特点分别作出、在y轴左侧的图象，如图所示，由，结合图象可得
函数奇偶性
例题1、
下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R），
其中正确命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
A
【解析】
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，因此①错误，③正确；
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此②错误；
若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，
由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，
因此④错误．
例题2、
下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是（
）．
①；②；③；④．
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】
D
【解析】
①偶函数，②奇函数，③定义域为，非奇非偶函数，④奇函数．
例题3、
若函数f（x）对任意实数x满足f（x－1）＝－f（－x－5），则函数（
）
A.f（x－4）是奇函数
B.f（x＋1）是偶函数
C.f（x－3）是奇函数
D.f（x＋2）是偶函数
【答案】
C
【解析】
函数f（x）对任意实数x满足f（x－1）＝－f（－x－5），
将x换为x－2，
可得f（x－3）＝－f（－x－3），
即f（－x－3）＝－f（x－3），
可得f（x－3）是奇函数．
例题4、
若函数为偶函数，则下列结论正确的是（　　）
A.（a）
B.（a）
C.（a）
D.（a）
【答案】
C
【解析】
因为是偶函数，所以（1），即，所以，
易知当时，是增函数，
又知，所以（a）．
例题5、
定义在R上的函数f（x）是偶函数，且．若f（x）在区间上是减函数，则f（x）（　　）
A.在区间上是增函数，在区间上是增函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】
B
【解析】
暂无解析
例题6、
已知函数f（x）在（－1，1）上有意义，且对任意x，y∈（－1，1）满足．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若x∈（－1，0）时，f（x）＞0，则能否确定f（x）在（－1，1）的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由．
【答案】
（Ⅰ）奇函数；证明见解析
（Ⅱ）能；单调减函数；证明见解析
【解析】
（Ⅰ）令x＝y＝0，则f（0）＝0
令y＝－x，则
则f（－x）＝－f（x）
所以f（x）奇函数；
（Ⅱ）单调性的定义证明：设任意x1，x2∈（－1，1），x1＜x2
令x＝x1，y＝－x2，则
即：
易证明：，所以由已知条件：
故：f（x1）－f（x2）＞0
所以f（x1）＞f（x2）
所以f（x）在（－1，1）上单调减函数．
例题7、
已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）＝f（x1）＋f（x2）且当x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（1）与f（－1）值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
【答案】
（1）f（1）＝0；f（－1）＝0
（2）见解析
（3）见解析
【解析】
（1）令x1＝x2＝1，
∵f（x1?x2）＝f（x1）＋f（x2）
∴f（1）＝2f（1）
∴f（1）＝0；
令x1＝－1，x2＝－1
f（1）＝2f（－1）＝0，
∴f（－1）＝0；
（2）令x1＝－1
∵f（x1?x2）＝f（x1）＋f（x2），
∴f（x1?x2）＝f（－x2）＝f（－1）＋f（x2）．
又∵f（－1）＝0，
∴f（－x2）＝f（x2）．
故f（x）是偶函数；
（3）令x1＞1，当x2∈（0，＋∞）时，x1?x2＞x2
∵当x＞1时f（x）＞0，
∴f（x1?x2）＝f（x1）＋f（x2）＞f（x2）．
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
随练1、
下列函数中是奇函数的为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
根据题意，依次分析选项：
对于A，，其定义域为，，不是奇函数；
对于B，，其定义域为，有，是偶函数；
对于C，，其定义域为，有，是偶函数；
对于D，，其定义域为，有，是奇函数．
随练2、
下列函数中的奇函数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
A．f（x）=x+1，f（x）=x+1，不满足f（x）=f（x），不为奇函数；
B．f（x）=3x21，f（x）=3（x）21=f（x），f（x）为偶函数；
C．f（x）=2（x+1）31，f（x）=2（x+1）31，不满足f（x）=f（x），不为奇函数；
D．f（x）=，f（x）==f（x），则f（x）为奇函数．
随练3、
已知函数f（x）＝|x|，则下列说法正确的是（
）
A.f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数
B.f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数
C.f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数
D.f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数
【答案】
C
【解析】
∵，∴f（x）＝f（－x），∴f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数．
随练4、
已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（　　）
A.2
B.1
C.0
D.
【答案】
D
【解析】
是偶函数，是奇函数；
；
；
；
的周期为4；
是上的奇函数；
；
，且；
．
随练5、
已知偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，
函数的图象过点，且在区间上单调递增，
作出函数的图象如图：
则不等式等价为或，
即或，
即不等式的解集为．
随练6、
f（x）是定义在R上的函数，对x，yR都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（－1）＝2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在[－2，4]上的最值
【答案】
（1）见解析
（2）见解析
（3）f（x）max＝4，f（x）min＝－8
【解析】
（1）f（x）的定义域为R，
令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0，
令y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x），∴f（－x）＋f（x）＝f（0）＝0，
∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）设x2＞x1，
则f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1），
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＜0，
∴f（x2）－f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），∴f（x）在R上为减函数．
（3）∵f（－1）＝2，∴f（－2）＝f（－1）＋f（－1）＝4，
又f（x）为奇函数，∴f（2）＝－f（－2）＝－4，
∴f（4）＝f（2）＋f（2）＝－8，
∵f（x）在[－2，4]上为减函数，
∴f（x）max＝f（－2）＝4，f（x）min＝f（4）＝－8．
随练7、
定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）＋f（y），且f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增．
（1）求f（1），f（－1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）解不等式．
【答案】
（1）0；0
（2）见解析
（3）或
【解析】
（1）令x＝y＝1，则f（1）＝f（1）＋f（1），
∴f（1）＝0
令x＝y＝－1，则f（1）＝f（－1）＋f（－1），
∴f（－1）＝0
（2）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）＋f（－1）＝f（x），
∴f（－x）＝f（x）
∴f（x）是偶函数
（3）根据题意可知，函数y＝f（x）的图象大致如图：
∵f（2）＋f（x－）＝f（2x－1）≤0，
∴－1≤2x－1＜0或0＜2x－1≤1，
∴或
函数奇偶性的应用
例题1、
函数f（x）＝x7＋3x＋6，若f（a）＝5，则f（－a）的值为（
）
A.7
B.8
C.－5
D.－7
【答案】
A
【解析】
由f（x）＝x7＋3x＋6，且f（a）＝5，
得f（a）＝a7＋3a＋6＝5，则a7＋3a＝－1，
∴f（－a）＝（－a）7＋3×（－a）＋6
＝－a7－3a＋6
＝－（a7＋3a）＋6
＝－（－1）＋6
＝7．
例题2、
设，（1），（2），则（3）的值为________．
【答案】
9
【解析】
，（1），（2），
，
解得，
（3）．
例题3、
已知函数和均为奇函数，在区间上有
最大值5，那么在上的最小值为________．
【答案】
【解析】
由题意，知，在上有最大值3，由奇函数图象关于坐标原点
对称，知在上有最小值，故在上有
最小值．
例题4、
已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1．则f（2017）＋f（2018）的值为（
）
A.－2
B.－1
C.0
D.1
【答案】
D
【解析】
∵函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x＝1对称，
∴f（－x）＝－f（x），由图象关于x＝1对称，得f（1＋x）＝f（1－x），
即f（x）＝f（2－x）＝－f（－x），
∴f（4－x）＝－f（2－x）＝f（－x），∴周期是T＝4，
∵当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1．
∴f（2017）＋f（2018）＝f（1）＋f（2）
＝f（1）－f（0）
＝2－1－1＋1
＝1．
例题5、
已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，求时的表达式．
【答案】
【解析】
由条件可以看出，应将区间分成两段考虑：①若，，∵为偶函数，∴当时，,②若，∴，∵，∴，∴；综上，
例题6、
已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数函数为偶函数，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
∵y=f（x+8）为偶函数，
∴f（x+8）=f（x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．
又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（∞，8）上为增函数．
由f（8+2）=f（82），即f（10）=f（6），
又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）
例题7、
已知y＝f（x）满足f（x＋1）＋f（－x＋1）＝2，则以下四个选项一定正确的是（
）
A.f（x－1）＋1是偶函数
B.f（－x＋1）－1是奇函数
C.f（x＋1）＋1是偶函数
D.f（x＋1）－1是奇函数
【答案】
D
【解析】
∵f（x＋1）＋f（－x＋1）＝2，
∴f（x）的图象关于点（1，1）对称，
∴y＝f（x＋1）－1的图象关于点（0，0）对称，
即y＝f（x＋1）－1是奇函数．
例题8、
函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（x－2）的图像关于x＝2对称，若f（－2）＝1，则满足f（x－2）≥1的x的取值范围是（
）
A.[－2，2]
B.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
C.（－∞，0]∪[4，＋∞）
D.[0，4]
【答案】
D
【解析】
f（x－2）的图像关于x＝2对称，
故f（x）关于y轴对称，
函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，
则函数f（x）在（－∞，0）递增，
若f（－2）＝1，则f（2）＝1，
若满足f（x－2）≥1，即f（x－2）≥f（2），
则|x－2|≤2，
解得：0≤x≤4．
例题9、
已知函数f（x）＝（x－1）（ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则f（3－x）＜0的解集为（
）
A.（2，4）
B.（－∞，2）∪（4，＋∞）
C.（－1，1）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
【答案】
B
【解析】
∵f（x）＝ax2＋（b－a）x－b为偶函数，所以b－a＝0，即b＝a，∴f（x）＝ax2－a，
由f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以a＜0，
∴f（3－x）＝a（3－x）2－a＜0，可化为（3－x）2－1＞0，即x2－6x＋8＞0，
解得x＜2或x＞4．
随练1、
已知f（x）＝ax5＋bx3＋cx＋5，其中a，b，c为常数，若f（－2）＝－7，则f（2）＝________．
【答案】
17
【解析】
由f（x）＝ax5＋bx3＋cx＋5，且f（－2）＝－7，
得f（－2）＝a?（－2）5＋b?（－2）3＋c?（－2）＋5＝－7，
∴a?25＋b?23＋2c＝12，
则f（2）＝a?25＋b?23＋2c＋5＝17．
随练2、
已知偶函数满足对任意的都有．则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
暂无解析
随练3、
已知函数f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，且为增函数，则不等式的解集为（
）
A.（－1，1）
B.（4，＋∞）
C.（1，2）
D.（－∞，4）
【答案】
C
【解析】
∵f（x）是奇函数，∴－f（x）＝f（－x）
∴等价于
∵f（x）在（－1，1）上是增函数，
∴，
解得：x∈（1，2），
随练4、
已知在定义域上的奇函数，且在上是增函数，则使成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
根据题意，是奇函数且在上是增函数，
则函数在上也是增函数，
则函数在上为增函数；
，
解可得：，
即的取值范围是．
随练5、
定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2x2－x，则当x＞0时，f（x）＝________
【答案】
－2x2－x
【解析】
∵当x＜0时，f（x）＝2x2－x，
任取x＞0，则－x＜0，
∴f（－x）＝2（－x）2＋x＝2x2＋x．
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）＝－f（－x）＝－2x2－x．
故x＞0时，f（x）＝－2x2－x
随练6、
已知函数f（x）满足对任意的x∈R都有成立，则________．
【答案】
7
【解析】
设…①
所以…②
①＋②可得
因为函数f（x）满足对任意的x∈R都有成立
所以14＝2M即M＝7
所以．
随练7、
已知函数关于直线对称，且对任意，有，则使得成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
∵函数f（x＋2）的图象关于直线x＝－2对称，
∴函数f（x）的图象关于y轴对称，
对任意x1，x2∈（0，＋∞），x1≠x2有，
则函数f（x）在（0，＋∞）上为增函数，
使得f（2x－1）＜f（1），
则－1＜2x－1＜1，
解得：x∈（0，1）．
随练8、
定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
暂无解析
函数的周期性
例题1、
为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数
【答案】
D
【解析】
∵，∴，∴在上为周期是1的函数．
例题2、
已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（
）
A.f（2016）＜f（2017）＜f（2018）＜f（2019）
B.f（2018）＜f（2017）＝f（2019）＜f（2016）
C.f（2019）＜f（2018）＜f（2017）＜f（2016）
D.f（2016）＜f（2019）＝f（2017）＜f（2018）
【答案】
D
【解析】
因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），所以f（x－8）＝f（x），所以定义在R上的奇函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（2016）＝f（0）＝0，f（2017）＝f（1），f（2018）＝f（2），而由f（x－4）＝－f（x）得f（2019）＝f（3）＝－f（－3）＝－f（1－4）＝f（1），又因为f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以f（2）＞f（1）＞f（0）＝0，即f（2016）＜f（2019）＝f（2017）＜f（2018）．
例题3、
函数的定义域为，且，当时，；当时，，则（　　）
A.672
B.673
C.1345
D.1346
【答案】
D
【解析】
根据题意，函数满足，则函数是周期为3的周期函数，
又由当时，，则，，
当时，，则，
又由函数是周期为3的周期函数，则，，，
则，
则；
例题4、
已知是定义在上且周期为4的奇函数，若当时，，则________．
【答案】
【解析】
根据题意，知是定义在上且周期为4的奇函数，
则（1），
又由当时，，则（1），
则（1）．
例题5、
设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，
（1）求证：；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
【答案】
（1）见解析
（2），
（3）1
【解析】
证明：（1）∵f（x＋2）＝﹣f（x），
∴f（x＋4）＝﹣f（x＋2）＝f（x）．
∴f（x）是周期为4的周期函数，
即f（x＋4）＝f（x）．
解：（2）∵x∈[2，4]，∴﹣x∈[﹣4，﹣2]，∴4﹣x∈[0，2]，
∴f（4﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝﹣x2＋6x﹣8，
又f（4﹣x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝﹣x2＋6x﹣8，
即f（x）＝x2﹣6x＋8，x∈[2，4]．
（3）∵f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝﹣1
又f（x）是周期为4的周期函数，
f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2012）＋f（2013）＋f（2014）＋f（2015）＝0，
则f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2017）
＝f（2016）＋f（2017）＝f（0）＋f（1）＝1．
随练1、
已知函数的周期为，且在上单调，则（
）
A.是周期函数，且在上单调
B.不是周期函数，且在上单调
C.是周期函数，且在上单调
D.不是周期函数，且在上单调
【答案】
B
【解析】
函数的周期为，
但是，
所以函数的定义域变小，故不是周期函数．
且：在上单调，
故：，
解得：，
故：在上单调．
随练2、
已知偶函数对任意都有（3），则________．
【答案】
0
【解析】
是偶函数，对（3），取得，（3）（3）；
（3）；
；
的周期为6；
（3）．
随练3、
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R，都有f（2＋x）＝f（2－x），当f（－3）＝－2时，f（2015）的值为________．
【答案】
－2
【解析】
∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（－x）＝f（x）；
又对x∈R都有f（2＋x）＝f（2－x），
∴f（2＋（x－2））＝f（2－（x－2）），
f（x）＝f（4－x）；
∴f（－x）＝f（4＋x），
∴f（x）＝f（4＋x），
∴f（x）是以4为周期的函数；
当f（－3）＝－2时，
f（2015）＝f（504×4－1）＝f（－1）═f（1）＝f（－3）＝－2．
随练4、
已知是定义在上的奇函数，，当，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
∵f（x）=﹣f（x﹣2），
∴f（x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4），
即函数的周期为4，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，1]，f（x）=x2，
∴．
随练5、
已知函数f（x）为奇函数，对任意x∈R，都有f（x＋6）＝f（x），且f（2）＝4，则f（2014）＝（
）
A.－4
B.－8
C.0
D.－16
【答案】
A
【解析】
∵对任意x∈R，都有f（x＋6）＝f（x），
∴函数f（x）为周期为6的周期函数，
∴f（2
014）＝f（336×6－2）＝f（－2），
又∵函数f（x）为奇函数，且f（2）＝4，
∴f（2
014）＝－4．
拓展
1、
下列函数在定义域上为偶函数的是（
）
A.y＝x＋1
B.y＝－x2
C.
D.y＝x|x|
【答案】
B
【解析】
A．y＝x＋1为非奇非偶函数；
B．y＝－x2为偶函数；
C．为奇函数；
D．y＝x|x|，定义域为R，f（－x）＝－x|－x|＝－x|x|＝－f（x），即有函数为奇函数．
2、
下列函数为偶函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
暂无解析
3、
设函数f（x）对住意，y∈R都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）＝－2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：当－3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．
【答案】
（1）见解析
（2）f（x）的最大值、最小值分别为6，－6
【解析】
（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），从而f（0）＝0，
令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，
从而f（－x）＝－f（x），即f（x）是奇函数．
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0，从而f（x1－x2）＜0，
又f（x1－x2）＝f[x1＋（－x2）]＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1）－f（x2）．
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[－3，3]时，f（x）必为增函数．
又由f（－1）＝－2，得－f（1）＝－2，
∴f（1）＝2，
∴当x＝－3时，f（x）min＝f（－3）＝－f（3）＝－3f（1）＝－6；
当x＝3时，f（x）max＝f（3）＝3f（1）＝6
∴当－3≤x≤3时，函数f（x）的最大值、最小值分别为6，－6．
4、
已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）单调递增，则满足的x取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
∵f（x）是偶函数，∴f（x）＝f（|x|），
∴不等式等价为，
∵f（x）在区间[0，＋∞）单调递增，
∴，解得．
5、
已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x取值范围是（
）
A.（－1，0）
B.（0，1）
C.（1，2）
D.（－1，1）
【答案】
B
【解析】
根据题意，f（x）为偶函数，则f（2x－1）＜f（1）?f（|2x－1|）＜f（1），
又由函数在区间[0，＋∞）上单调递增，
则f（|2x－1|）＜f（1）?|2x－1|＜1，
解可得：0＜x＜1
6、
已知定义在R上的减函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝0，则不等式f（1－x）＜0的解集为（
）
A.（－∞，0）
B.（0，＋∞）
C.（－∞，1）
D.（1，＋∞）
【答案】
C
【解析】
∵f（x）＋f（－x）＝0，
∴y＝f（x）是奇函数，f（0）＝0，
∵y＝f（x）是减函数，
∴f（1－x）＜0，即f（1－x）＜f（0），
由f（x）递减，得1－x＞0，解得x＜1，
∴f（1－x）＜0的解集为（－∞，1），
7、
已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
暂无解析
8、
设f（x）是R上的奇函数f（x＋4）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝3x，则f（11.5）＝（
）
A.1.5
B.0.5
C.－1.5
D.－0.5
【答案】
C
【解析】
根据题意，函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x），即函数的周期为4，
则有f（11.5）＝f（－0.5＋4×3）＝f（－0.5），
又由函数为奇函数，则f（－0.5）＝－f（0.5），
又由x∈[0，1]时，f（x）＝3x，则f（0.5）＝3×0.5＝1.5；
故f（11.5）＝f（－0.5）＝－f（－0.5）＝－1.5．
9、
已知函数f（x）是定义R在上周期为4的奇函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2，则f（－5）的值为（
）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
【答案】
B
【解析】
根据条件：
f（－5）＝－f（5）＝－f（1＋4）＝－f（1）＝－（2×1－12）＝－1．
10、
已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（
）
A.
B.0
C.2
D.50
【答案】
C
【解析】
暂无解析第7讲_函数奇偶性
知识图谱
函数奇偶性
知识精讲
一．
奇函数与偶函数的定义
1．奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数．
2．偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做偶函数．
二．
奇函数、偶函数的性质
1．图象特征
是偶函数的图象关于轴对称；
是奇函数的图象关于原点对称．
2．函数特征
（1）具有奇偶性的函数，则其定义域关于原点对称．
（2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．
（3）两个具有奇偶性的函数四则运算的性质：
①两个奇函数的和仍为奇函数；
②两个偶函数的和仍为偶函数；
③两个奇函数的积是偶函数；
④两个偶函数的积是偶函数；
⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
（以上函数都满足定义在同一个关于原点对称的定义域上）
（4）复合函数奇偶性的判断：
对于复合函数，若为偶函数，则为偶函数；若为奇函数，为奇函数，则为奇函数；若为奇函数，为偶函数，则为偶函数．
的奇偶性
的奇偶性
函数的奇偶性
偶函数
任意
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
（5）若奇函数的定义域包含，则．
三．函数的周期性
1．周期函数
对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．
2．具有周期性的一些抽象函数：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）以下条件时，是周期函数：
（1），则周期；
（2），则周期；
（3），则周期；
（4），则周期；
（5），则周期；
（6），则周期；
（7），则周期；
（8）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期；
（9）函数的图象关于直线和都对称，则周期；
（10）函数的图象关于两点、都对称，则函数周期；
（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数周期．
3．判断周期性的主要方法：
（1）判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：
一是对定义域中任意的恒有；
二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．
（2）解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．
三点剖析
一．注意事项
1.判断函数奇偶性前先判断定义域；
2.既是奇函数又是偶函数的函数有一类：（定义域关于原点对称）．
二．方法点拨
1．
判断函数的奇偶性
（1）判断函数奇偶性的主要步骤：
①求函数的定义域；
②验证的定义域是否关于原点对称；
③化简函数的解析式；
④判断与的关系：若，则为偶函数；若，则为奇函数；
⑤给出结论．
（2）分段函数奇偶性的判断
分段函数要判断各段中与的关系，只有在各段都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
2．
应用函数奇偶性解题的方法
（1）利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
例：已知函数为奇函数，且当时，，则________．
解：是奇函数，．
（2）已知函数的奇偶性求解析式．
将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求，或充分利用奇偶性构造关于的方程（组），从而得到的解析式；
例：如果函数是奇函数，则________．
解：令，则，，又是奇函数，，．
（3）已知函数的奇偶性求函数的解析式中参数的值，常常利用待定系数法：利用得到恒等式，由系数的对等性可得参数的值．
例：已知函数是奇函数，求实数m的值．
解：令，则，，
又为奇函数，，
．
（4）已知是偶函数，则有．
例：已知偶函数在上单调递减，．若，则x的取值范围是________．
解：
又是偶函数且在上单调递减，
，，
．
3．利用奇函数、偶函数图像的对称性解题
利用奇偶函数的对称性可以解决关于原点或关于y轴对称的区间上的函数的补全图象、函数值和单调性的有关问题．
例：已知和都是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且上两函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．
解：利用奇偶函数图象对称性的特点分别作出、在y轴左侧的图象，如图所示，由，结合图象可得
函数奇偶性
例题1、
下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R），
其中正确命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
例题2、
下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是（
）．
①；②；③；④．
A.，
B.，
C.，
D.，
例题3、
若函数f（x）对任意实数x满足f（x－1）＝－f（－x－5），则函数（
）
A.f（x－4）是奇函数
B.f（x＋1）是偶函数
C.f（x－3）是奇函数
D.f（x＋2）是偶函数
例题4、
若函数为偶函数，则下列结论正确的是（　　）
A.（a）
B.（a）
C.（a）
D.（a）
例题5、
定义在R上的函数f（x）是偶函数，且．若f（x）在区间上是减函数，则f（x）（　　）
A.在区间上是增函数，在区间上是增函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是减函数
例题6、
已知函数f（x）在（－1，1）上有意义，且对任意x，y∈（－1，1）满足．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）若x∈（－1，0）时，f（x）＞0，则能否确定f（x）在（－1，1）的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由．
例题7、
已知函数f（x）定义域为{x|x≠0，x∈R}，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）＝f（x1）＋f（x2）且当x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（1）与f（－1）值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）求证：f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
随练1、
下列函数中是奇函数的为（
）
A.
B.
C.
D.
随练2、
下列函数中的奇函数是（
）
A.
B.
C.
D.
随练3、
已知函数f（x）＝|x|，则下列说法正确的是（
）
A.f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数
B.f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数
C.f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数
D.f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数
随练4、
已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（　　）
A.2
B.1
C.0
D.
随练5、
已知偶函数的图象过点，且在区间上单调递减，则不等式的解集为________．
随练6、
f（x）是定义在R上的函数，对x，yR都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（－1）＝2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在[－2，4]上的最值
随练7、
定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）＝f（x）＋f（y），且f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增．
（1）求f（1），f（－1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）解不等式．
函数奇偶性的应用
例题1、
函数f（x）＝x7＋3x＋6，若f（a）＝5，则f（－a）的值为（
）
A.7
B.8
C.－5
D.－7
例题2、
设，（1），（2），则（3）的值为________．
例题3、
已知函数和均为奇函数，在区间上有
最大值5，那么在上的最小值为________．
例题4、
已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1．则f（2017）＋f（2018）的值为（
）
A.－2
B.－1
C.0
D.1
例题5、
已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，求时的表达式．
例题6、
已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数函数为偶函数，则（　　）
A.
B.
C.
D.
例题7、
已知y＝f（x）满足f（x＋1）＋f（－x＋1）＝2，则以下四个选项一定正确的是（
）
A.f（x－1）＋1是偶函数
B.f（－x＋1）－1是奇函数
C.f（x＋1）＋1是偶函数
D.f（x＋1）－1是奇函数
例题8、
函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（x－2）的图像关于x＝2对称，若f（－2）＝1，则满足f（x－2）≥1的x的取值范围是（
）
A.[－2，2]
B.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
C.（－∞，0]∪[4，＋∞）
D.[0，4]
例题9、
已知函数f（x）＝（x－1）（ax＋b）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，则f（3－x）＜0的解集为（
）
A.（2，4）
B.（－∞，2）∪（4，＋∞）
C.（－1，1）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
随练1、
已知f（x）＝ax5＋bx3＋cx＋5，其中a，b，c为常数，若f（－2）＝－7，则f（2）＝________．
随练2、
已知偶函数满足对任意的都有．则（　　）
A.
B.
C.
D.
随练3、
已知函数f（x）是定义在（－1，1）上的奇函数，且为增函数，则不等式的解集为（
）
A.（－1，1）
B.（4，＋∞）
C.（1，2）
D.（－∞，4）
随练4、
已知在定义域上的奇函数，且在上是增函数，则使成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
随练5、
定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2x2－x，则当x＞0时，f（x）＝________
随练6、
已知函数f（x）满足对任意的x∈R都有成立，则________．
随练7、
已知函数关于直线对称，且对任意，有，则使得成立的的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
随练8、
定义在上的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
函数的周期性
例题1、
为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.增函数
D.周期函数
例题2、
已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（
）
A.f（2016）＜f（2017）＜f（2018）＜f（2019）
B.f（2018）＜f（2017）＝f（2019）＜f（2016）
C.f（2019）＜f（2018）＜f（2017）＜f（2016）
D.f（2016）＜f（2019）＝f（2017）＜f（2018）
例题3、
函数的定义域为，且，当时，；当时，，则（　　）
A.672
B.673
C.1345
D.1346
例题4、
已知是定义在上且周期为4的奇函数，若当时，，则________．
例题5、
设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，
（1）求证：；
（2）当时，求的解析式；
（3）计算．
随练1、
已知函数的周期为，且在上单调，则（
）
A.是周期函数，且在上单调
B.不是周期函数，且在上单调
C.是周期函数，且在上单调
D.不是周期函数，且在上单调
随练2、
已知偶函数对任意都有（3），则________．
随练3、
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R，都有f（2＋x）＝f（2－x），当f（－3）＝－2时，f（2015）的值为________．
随练4、
已知是定义在上的奇函数，，当，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
随练5、
已知函数f（x）为奇函数，对任意x∈R，都有f（x＋6）＝f（x），且f（2）＝4，则f（2014）＝（
）
A.－4
B.－8
C.0
D.－16
拓展
1、
下列函数在定义域上为偶函数的是（
）
A.y＝x＋1
B.y＝－x2
C.
D.y＝x|x|
2、
下列函数为偶函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
3、
设函数f（x）对住意，y∈R都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）＝－2．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：当－3≤x≤3时，f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．
4、
已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）单调递增，则满足的x取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
5、
已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x取值范围是（
）
A.（－1，0）
B.（0，1）
C.（1，2）
D.（－1，1）
6、
已知定义在R上的减函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝0，则不等式f（1－x）＜0的解集为（
）
A.（－∞，0）
B.（0，＋∞）
C.（－∞，1）
D.（1，＋∞）
7、
已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
8、
设f（x）是R上的奇函数f（x＋4）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝3x，则f（11.5）＝（
）
A.1.5
B.0.5
C.－1.5
D.－0.5
9、
已知函数f（x）是定义R在上周期为4的奇函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2，则f（－5）的值为（
）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
10、
已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（
）
A.
B.0
C.2
D.50

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