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第10讲_对数函数及其运算
知识图谱
对数及其运算
知识精讲
一.
对数的定义
在指数函数中，对于实数集内的每一个值，在正实数集内部都有唯一确定的和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值，在内部有唯一确定的和它对应，幂指数，又叫做以为底的对数．
一般的，对于指数式，我们把“以为底的对数”，记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”．
二．对数的性质
对数有以下性质：
1.负数和0没有对数，即；
2.
1的对数等于0，即；
3.
底数的对数等于1，即
三．对数恒等式
1.对数恒等式
2.指数式与对数式的互化
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系.
即，当时，.
三．常用对数与自然对数
1.常用对数
以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把记作.
2.自然对数
以常数为底的对数叫做自然对数，简记作，是无理数，.
四.
对数的运算法则
已知，（），设，则
则有：
积的对数：．
证明：
商的对数：．
证明：
幂的对数：．（，，）
证明：
五．对数换底公式及其推论
1.换底公式
(；)
证明：
设，则，
两边取以为底的对数，得，
即，
所以
，
即
2.常用推论
（1）
（且均不为1）
（且均不为1）
（2）（且均不为1）
（且均不为1）
．
（3）（且均不为1，）
（4）
三点剖析
一.
注意事项
对数，定义中规定且的原因：
1.
若且为某些数值时，不存在，如方程没有实数解，所以不存在，因此规定不能小于0.
2.
若，且时，不存在；时，有无数个值，不能确定，因此规定；
3.
若，且不为1时，不存在；不存在；而且时，可以为任何实数，不能确定，因此规定．
二.
方法点拨
1.对数式的化简与求值
（1）同底数的对数式的化简、求值
①一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和差.
如
②二是“合”，将同底的对数和、差合成积、商的对数.
如
③三是“拆”与“合”结合
（2）不同底数的对数式的化简、求值常用方法
①先分别换底，化简后将底数统一，再计算.
如
②统一将不同底的对数换为常用对数，在进行化简、求值
如
2.利用已知对数表示其他对数
用对数和等表示其他对数时，解决此类问题，通常用到对数的运算法则和换底公式：
①首先，观察和所要表示的对数底数的关系
；
②利用换底公式所要表示的对数底数换为.
如：已知，求.
对数及指对互化
例题1、
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（
）
A.log39＝2与
B.与
C.e0＝1与ln1＝0
D.log77＝1与71＝7
【答案】
A
【解析】
对于A：log39＝2可化为：32＝9，∴A不正确
对于B：可化为：，∴B正确
对于C：e0＝1可化为：0＝loge1＝ln1，∴C正确
对于D：log77＝1可化为：71＝7，∴D正确
例题2、
（1）求值：；
（2）已知，用表示．
【答案】
（1）1
（2）
【解析】
（1）原式
（2）．
例题3、
已知x＝log23，则________．
【答案】
【解析】
∵x＝log23，
∴2x＝3，
∴
．
例题4、
已知2x＝72y＝A，且，则A的值是（
）
A.7
B.
C.
D.98
【答案】
B
【解析】
因为，所以
，所以
，
例题5、
已知，，则b＝________．
【答案】
log316
【解析】
∵，
∴ab＝2a＋1，∴4a－3?2a＋1＝16，化为：（2a）2－6?2a－16＝0，
解得2a＝8，解得a＝3．
∴3b＝24，
则b＝log316．
例题6、
已知，则，则值为（
）
A.36
B.6
C.
D.
【答案】
D
【解析】
根据题意，2x＝3y＝a，则有x＝log2a，y＝log3a，则，，若，即，则．
随练1、
已知lg5＝m，lg7＝n，则log27＝（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
∵lg5＝m，lg7＝n，
则．
随练2、
已知，，则正实数的值为________．
【答案】
【解析】
∵，
∴
∵，
∴．
随练3、
求值：．
【答案】
【解析】
．
随练4、
已知两个不相等的正数，满足，，则________．
【答案】
6
【解析】
∵两个不相等的正数a，b满足logab＋2logba＝3，ab＝ba，
∴，
∴（logab）2－3logab＋2＝0，
解得logab＝1，或logab＝2，
∴a＝b（舍）或a2＝b，
∵ab＝ba，∴，∴a2＝2a，解得a＝2或a＝0（舍），
∴a＝2，b＝a2＝4，
∴a＋b＝2＋4＝6．
随练5、
设m＞1，且2x＝3y＝5z＝m，则（
）
A.2x＜3y＜5z
B.5z＜2x＜3y
C.3y＜5z＜2x
D.3y＜2x＜5z
【答案】
D
【解析】
m＞1，且2x＝3y＝5z＝m，
可得x＝log2m＞0，
y＝log3m＞0，
z＝log5m＞0，
，
，
，
由lgm＞0，
又，，
则，
，，
则，
又，，
则，
即有，
则，
即有5z＞2x＞3y．
随练6、
已知，且，则的值为________．
【答案】
【解析】
∵
∴
∵，
∴，
则
即而
则
对数的运算
例题1、
（1）计算；
（2）已知，求的值．
【答案】
（1）
（2）－4
【解析】
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴（舍去）
∴
例题2、
17．①已知0＜x＜1，且x＋x－1＝3，求的值．
②求值．
【答案】
①－8
②
【解析】
①x2＋x－2＝（x＋x－1）2－2＝9－2＝7，
，
又∵0＜x＜1，
∴，
∴，
∴原式
②．
例题3、
已知函数．
（1）求f（2），，f（4），的值，并计算，；
（2）求的值．
【答案】
（1）；；；；1；1
（2）
【解析】
（1）∵，
∴，
，
，
，
∴，．
（2）∵，
∴
．
例题4、
计算________．
【答案】
3
【解析】
．
例题5、
已知函数，若，则（　　）
A.5
B.3
C.2
D.
【答案】
A
【解析】
函数，，
，
解得．
例题6、
（1）化简：；
（2）求值：．
【答案】
（1）4a
（2）1
【解析】
（1），
（2）．
随练1、
计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】
（1）
（2）4
【解析】
（1）
．
（2）
＝log535＋log22－log550－1－log514
＝log535＋log22＋log550－log514
＝log553＋1
＝3＋1
＝4．
随练2、
计算下列各题
（1）
（2）．
【答案】
（1）11
（2）－1
【解析】
（1）
；
（2）＝
．
随练3、
求下列各式的值
（1）若xlog53＝1，求3x＋3－x的值；
（2）．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）由xlog53＝1，得3x＝5，
∴．
（2）原式＝
．
随练4、
计算：．
【答案】
【解析】
．
随练5、
（1）计算________，（2）若，则________．
【答案】
3；
【解析】
（1）
．
（2），，
．
随练6、
已知，则________，________．
【答案】
；
【解析】
；
；
；
．
随练7、
计算：________；________．
【答案】
；2
【解析】
，．
有附加条件的对数运算
例题1、
若，则________．
【答案】
1
【解析】
，
，，，
．
例题2、
已知，，则________．
【答案】
4
【解析】
，，
又，，
，
或2，或10，
或．
例题3、
已知，，，若，，则________．
【答案】
2
【解析】
，，
，，
，
，
，．
例题4、
设都是正数，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
∵，令，∴，∴，∴
例题5、
已知和是关于的方程的两个根，而关于的方程有两个相等的实数根，求实数和值．
【答案】
，，
【解析】
，所以，又∵，，∴，∴，代入得，∴，而，∴．
例题6、
已知为正数，：（1）求；（2）求证
【答案】
（1）（2）由题意得，∴
【解析】
（1）令，∴，又∵，∴，∴
（2）由题意得，∴
例题7、
若是方程的两个实根，求的值．
【答案】
4
【解析】
,=
∴原式
随练1、
若是方程的两个实根，则的值等于（
）
A.2
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
由题意得，
随练2、
设，用表示．
【答案】
【解析】
，，∴，综上得，解得
随练3、
设，则_______．
【答案】
1
【解析】
∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴
随练4、
，则的值为（
）
A.
B.4
C.1
D.4或1
【答案】
B
【解析】
暂无解析
随练5、
设函数，且，则的值组成的集合为（
）
【答案】
C
【解析】
，∴，∴，解得或，∴或
随练6、
已知，求
【答案】
【解析】
由题意得，
．∴
随练7、
已知满足不等式，求的
最大值与最小值及相应值
【答案】
当=时，
当时，．
【解析】
由，
，
，
而
当时
此时==，
当时，此时．
拓展
1、
若xlog23＝1，则3x＋9x的值为________．
【答案】
6
【解析】
∵xlog23＝1，
∴x＝log32．
∴，
9x＝（3x）2＝4．
则3x＋9x＝2＋4＝6．
2、
若a=log23，则2a+2a=_____．
【答案】
【解析】
∵a=log23，
∴2a==3，
∴2a+2a=2a+
=3+
=．
故答案为：．
3、
方程xlog34＝1，则4x＋4－x为（
）
A.0
B.
C.3
D.
【答案】
B
【解析】
∵xlog34＝1，
∴x＝log43．
∴则．
4、
已知log7[log3（log2x）]＝0，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
由条件知，log3（log2x）＝1，
∴log2x＝3，
∴x＝8，
∴．
5、
设，，则________．（用，表示）
【答案】
【解析】
．
6、
计算：
________．
【答案】
0
【解析】
＝lg14－lg49＋lg9＋lg7－lg18
＝lg1＝0．
7、
计算：（1）；
（2）．
【答案】
（1）110
（2）2
【解析】
（1）原式
，
＝110；
（2）原式
＝2．
8、
计算（1）；
（2）．
【答案】
（1）20
（2）
【解析】
（1）原式
＝9＋9＋2
＝20．
（2）原式
．
9、
已知，那么用表示是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
∵，∴，
10、
已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有（
）．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】
B
【解析】
由题意知，且，∴由对数的定义知，，，故当时，有；当时，有；当时，有第10讲_对数函数及其运算
知识图谱
对数及其运算
知识精讲
一.
对数的定义
在指数函数中，对于实数集内的每一个值，在正实数集内部都有唯一确定的和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值，在内部有唯一确定的和它对应，幂指数，又叫做以为底的对数．
一般的，对于指数式，我们把“以为底的对数”，记作，即.其中，数叫做对数的底数，叫做真数，读作“等于以为底的对数”．
二．对数的性质
对数有以下性质：
1.负数和0没有对数，即；
2.
1的对数等于0，即；
3.
底数的对数等于1，即
三．对数恒等式
1.对数恒等式
2.指数式与对数式的互化
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系.
即，当时，.
三．常用对数与自然对数
1.常用对数
以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg”，即把记作.
2.自然对数
以常数为底的对数叫做自然对数，简记作，是无理数，.
四.
对数的运算法则
已知，（），设，则
则有：
积的对数：．
证明：
商的对数：．
证明：
幂的对数：．（，，）
证明：
五．对数换底公式及其推论
1.换底公式
(；)
证明：
设，则，
两边取以为底的对数，得，
即，
所以
，
即
2.常用推论
（1）
（且均不为1）
（且均不为1）
（2）（且均不为1）
（且均不为1）
．
（3）（且均不为1，）
（4）
三点剖析
一.
注意事项
对数，定义中规定且的原因：
1.
若且为某些数值时，不存在，如方程没有实数解，所以不存在，因此规定不能小于0.
2.
若，且时，不存在；时，有无数个值，不能确定，因此规定；
3.
若，且不为1时，不存在；不存在；而且时，可以为任何实数，不能确定，因此规定．
二.
方法点拨
1.对数式的化简与求值
（1）同底数的对数式的化简、求值
①一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和差.
如
②二是“合”，将同底的对数和、差合成积、商的对数.
如
③三是“拆”与“合”结合
（2）不同底数的对数式的化简、求值常用方法
①先分别换底，化简后将底数统一，再计算.
如
②统一将不同底的对数换为常用对数，在进行化简、求值
如
2.利用已知对数表示其他对数
用对数和等表示其他对数时，解决此类问题，通常用到对数的运算法则和换底公式：
①首先，观察和所要表示的对数底数的关系
；
②利用换底公式所要表示的对数底数换为.
如：已知，求.
对数及指对互化
例题1、
下列指数式与对数式互化不正确的一组是（
）
A.log39＝2与
B.与
C.e0＝1与ln1＝0
D.log77＝1与71＝7
例题2、
（1）求值：；
（2）已知，用表示．
例题3、
已知x＝log23，则________．
例题4、
已知2x＝72y＝A，且，则A的值是（
）
A.7
B.
C.
D.98
例题5、
已知，，则b＝________．
例题6、
已知，则，则值为（
）
A.36
B.6
C.
D.
随练1、
已知lg5＝m，lg7＝n，则log27＝（
）
A.
B.
C.
D.
随练2、
已知，，则正实数的值为________．
随练3、
求值：．
随练4、
已知两个不相等的正数，满足，，则________．
随练5、
设m＞1，且2x＝3y＝5z＝m，则（
）
A.2x＜3y＜5z
B.5z＜2x＜3y
C.3y＜5z＜2x
D.3y＜2x＜5z
随练6、
已知，且，则的值为________．
对数的运算
例题1、
（1）计算；
（2）已知，求的值．
例题2、
17．①已知0＜x＜1，且x＋x－1＝3，求的值．
②求值．
例题3、
已知函数．
（1）求f（2），，f（4），的值，并计算，；
（2）求的值．
例题4、
计算________．
例题5、
已知函数，若，则（　　）
A.5
B.3
C.2
D.
例题6、
（1）化简：；
（2）求值：．
随练1、
计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
随练2、
计算下列各题
（1）
（2）．
随练3、
求下列各式的值
（1）若xlog53＝1，求3x＋3－x的值；
（2）．
随练4、
计算：．
随练5、
（1）计算________，（2）若，则________．
随练6、
已知，则________，________．
随练7、
计算：________；________．
有附加条件的对数运算
例题1、
若，则________．
例题2、
已知，，则________．
例题3、
已知，，，若，，则________．
例题4、
设都是正数，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
例题5、
已知和是关于的方程的两个根，而关于的方程有两个相等的实数根，求实数和值．
例题6、
已知为正数，：（1）求；（2）求证
例题7、
若是方程的两个实根，求的值．
随练1、
若是方程的两个实根，则的值等于（
）
A.2
B.
C.
D.
随练2、
设，用表示．
随练3、
设，则_______．
随练4、
，则的值为（
）
A.
B.4
C.1
D.4或1
随练5、
设函数，且，则的值组成的集合为（
）
随练6、
已知，求
随练7、
已知满足不等式，求的
最大值与最小值及相应值
拓展
1、
若xlog23＝1，则3x＋9x的值为________．
2、
若a=log23，则2a+2a=_____．
3、
方程xlog34＝1，则4x＋4－x为（
）
A.0
B.
C.3
D.
4、
已知log7[log3（log2x）]＝0，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
5、
设，，则________．（用，表示）
6、
计算：
________．
7、
计算：（1）；
（2）．
8、
计算（1）；
（2）．
9、
已知，那么用表示是（
）
A.
B.
C.
D.
10、
已知实数满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有（
）．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

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