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第11讲_对数函数
知识图谱
对数函数
知识精讲
一．
对数函数的定义
1.定义：一般地，叫做对数函数.
（1）函数的定义域为；
（2）函数的值域为；
二．对数函数的图象与性质
1.图象及性质
图象
定义域
值域
性质
过定点，图象都在一、四象限
单调性
当时，
当时，
在上是增函数
当时，
当时，
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
2.函数图象的扩充
（1）当时，图象向上无限接近轴，
当时，图象向下无限接近轴；
（2）对于相同的，
函数与的图象关于轴对称，
（3）对数函数在同一直角坐标系中的图象相对位置与底数大小的关系是：
随着增大，图象绕定点（1,0）顺时针旋转.
三．互为反函数的定义及图象的性质
1.定义：
当一个函数是一一映射时：
（1）可以把这个函数的因变量，作为一个新的函数的自变量
（2）把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，简单说，即与互换
我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数常用表示.
函数与互为反函数；
2.性质
（1）函数的定义域、值域，分别为的值域、定义域；
（2）互为反函数的两个函数图象关于直线对称.
四．对数函数与指数函数的关系
1.函数与互为反函数；
2.它们的定义域、值域互换；
3.图象关于直线对称；
4.它们都是单调函数，都不具有奇偶性；
（1）当时，它们是增函数；
（2）当时，它们是减函数
三点剖析
一．注意事项
1．定义域：因为对数函数由指数函数变化而来，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值的取值范围，所以对数函数的定义域是；
2．对数函数的底数：对数函数的底数且；
3．形式上的严格性：在对数函数的定义表达式中的表达式中，前面的系数必须是，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数；
二．方法点拨
1.
对数函数定义域的求法
（1）真数大于0；
（2）底数且.
2.有关对数函数方程解法
（1）定义法：
（2）转化法：
（3）取对数法：
3．利用对数函数的单调性比较大小
（1）如果两对数的底数相同，由对数函数的单调性比较大小
①底数为增函数；
②底数为减函数.
（2）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入“中间值”进行比较；
（3）如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（）
①当时，曲线比的图象（在第一象限内）上升得慢，
当时，；
当时，，
即在第一象限内，越大图象越靠近轴；
②当时，曲线比的图象（在第一象限内）下降得快，
当时，；
当时，，
即在第四象限内，越小图象越靠近轴．
4.利用对数函数的图象解题
（1）涉及对数型函数图象时，一般从最基本的对数函数图形入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数图象；
（2）注意底数与的两种不同情况.
5.
对数函数单调性的判定方法
（1）一看底数与1的关系，当底数未明确给出时，则应当对底数是否大于1进行讨论；
（2）运用复合函数法来判断其单调性，但要注意中间变量的取值范围；
（3）注意定义域（隐形的陷阱），坚持定义域优先原则.
对数函数的概念与性质
例题1、
已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
根据题意，对于函数，
有，则函数的图象关于直线对称，
若函数的图象关于直线对称，则有，则，
则，其定义域为，
设，则，
又由，，则有，
则，
即函数的值域为。
例题2、
函数的定义域是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
要使有意义，则：；
，且；
的定义域是：．
例题3、
设函数，则f（－2）＋f（log212）＝（
）
A.3
B.6
C.9
D.12
【答案】
C
【解析】
函数，
即有f（－2）＝1＋log2（2＋2）＝1＋2＝3，
，
则有f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9．
例题4、
在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0），g（x）＝logax的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
当0＜a＜1时，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象为：
此时答案D满足要求，
当a＞1时，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象为：
无满足要求的答案．
例题5、
设集合，，则________，________．
【答案】
或；或
【解析】
集合或，
，
或．
例题6、
已知f（x）＝1＋x＋algx＋blog2x，且，则f（3）＝________．
【答案】
3
【解析】
∵f（x）＝1＋x＋algx＋blog2x，且，
∴，
，
∴f（3）＝1＋3＋alg3＋blog23＝3．
随练1、
设函数的最小值是1，则实数a的取值范围是（
）
A.（－∞，4]
B.[4，＋∞）
C.（－∞，5]
D.[5，＋∞）
【答案】
B
【解析】
∵x≥1时，lnx＋1的最小值为1，∴要使的最小值是1，必有x＜1时，的最小值不小于1，因为在（－∞，1）上递减，所以x＜1时，y＞a－3则a－3≥1，a≥4，实数a的取值范围是[4，＋∞）
随练2、
已知函数，则的定义域为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
要使有意义，则；
；
的定义域为；
函数满足：；
，且；
的定义域为．
随练3、
若函数，则的值（
）
A.2
B.lg5
C.0
D.3
【答案】
C
【解析】
∵函数，
∴
＝lg1
＝0．
随练4、
函数y＝loga（x－2）＋1的图象过定点（
）
A.（1，2）
B.（2，1）
C.（－2，1）
D.（3，1）
【答案】
D
【解析】
可令x－2＝1，解得x＝3，
则y＝loga1＋1＝0＋1＝1，
函数y＝loga（x－2）＋1的图象过定点（3，1）．
随练5、
已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
，，且，，
函数与函数在同一坐标系中的图象可能是．
随练6、
已知函数，实数，满足，且，若在上的最大值为2，则________．
【答案】
4
【解析】
因为，且，
且，，
所以当时，先递减后递增，
，
当时，，解得，得，符合，此时；
当时，，解得，得，不符合题意．
综上得：．
对数函数的单调性问题
例题1、
求函数的递增区间．
【答案】
【解析】
对于函数，令，求得，或，故函数的定义域为或，
本题即求函数在定义域内的减区间．
而二次函数在定义域内的减区间为，
所以函数的递增区间为．
例题2、
若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
暂无解析
例题3、
函数在区间[1，2]上的函数值恒为负数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
（0，1）
【解析】
由题意得：
在x∈[1，2]恒成立，
即在x∈[1，2]恒成立，
而在[1，2]递增，
故的最大值是1，
故，解得：0＜a＜1．
例题4、
已知，当时，，则的取值集合是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
在上是减函数
例题5、
下列区间中，函数，在其上为增函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
根据解析式画出大致图像：
例题6、
已知函数．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在
最大值为1
【解析】
（1）设t＝3－ax，
∵a＞0，且a≠1，则t＝3－ax为R上的减函数，
∴时，t的最小值为，
又∵当，f（x）恒有意义，即t＞0对恒成立，
∴tmin＞0，即，
∴a＜2，又a＞0，且a≠1，
∴实数a的取值范围为（0，1）∪（1，2）．
（2）令t＝3－ax，则y＝logat，
∵a＞0，则函数t（x）为R上的减函数，
又∵f（x）在区间[2，3]上为增函数，
∴y＝logat为减函数，
∴0＜a＜1，
∴当x∈[2，3]时，t（x）最小值为3－3a，即此时f（x）最大值为loga（3－3a），
由题意可知，f（x）的最大值为1，
∴loga（3－3a）＝1，
∴，即，
∴，
故存在实数，使得函数f（x）在区间[2，3]上为增函数，并且f（x）的最大值为1．
例题7、
已知函数（且）．
（1）当时，，求实数的取值范围．
（2）若在上的最大值大于0，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）当时，可化为：
即，
解得：
（2）且，故在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
则，
即，解得
当时，函数在上单调递减，
则，
即，解得
，
综上可得：的取值范围为．
随练1、
函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
函数在区间上是增函数，
区间上恒成立，且是增函数，
，解得．
随练2、
已知，，若函数在是增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
已知，，若函数在是增函数，
若，则在是增函数且大于零，故有，求得，
．
若，则在是减函数且大于零，故有，求得．
综上可得，．
随练3、
函数的单调递减区间是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
令，
可得，
故函数的定义域为，
则．
本题即求在上的减区间，
再利用二次函数的性质可得，在上的减区间为．
随练4、
已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x）则（
）
A.f（x）在（0，2）单调递增
B.f（x）在（0，2）单调递减
C.y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称
D.y＝f（x）的图像关于点（1，0）对称
【答案】
C
【解析】
f（x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln（2x－x2），
令y＝2x－x2＝－（x－1）2＋1，则y＝2x－x2关于直线x＝1对称，
∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故A错误，C正确；
∴y＝f（x）在（0，1）和（1，2）上单调性相反，故B，D错误．
随练5、
若关于x的不等式在内恒成立，则实数m的取值范围是（
）
A.（0，1）
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
由已知不等式变形为，设，g（x）＝logmx，
要使关于x的不等式在内恒成立，只要f（x）min＞g（x）max，
，
∴1＞logmx，即logmm＞logmx恒成立，
所以或恒成立，
所以．
随练6、
已知函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若在上为减函数，求的取值范围
【答案】
（1）奇函数（2）．
【解析】
(1)函数的定义域为．
又==
所以函数是奇函数．
(2)函数在上为减函数，
则在上为增函数，
由指数函数的单调性，知，解得或．
所以a的取值范围是．
对数函数的奇偶性问题
例题1、
已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A.函数的定义域是
B.函数是偶函数
C.函数在区间上是减函数
D.函数的图象关于直线轴对称
【答案】
B
【解析】
函数
，
由，，可得，即定义域为，故错误；
由，定义域为，
且，即为偶函数，故正确；
由，，，即，故错误；
由，可得的图象不关于直线对称，故错误．
例题2、
若函数，的最大值与最小值分别为，则（
）
A.2
B.
C.0
D.4
【答案】
D
【解析】
令g（x）=ln，x[，]，
则g（x）=ln=ln=g（x），
即g（x）为奇函数，
∴g（x）max+g（x）min=0，
∵2+ln，x[，]的最大值与最小值分别为M，m，
∴M+m=4．
例题3、
设定义在区间上的函数是奇函数，且，则的取值范围是（
）
A.，]
B.，]
C.，）
D.，）
【答案】
A
【解析】
∵定义在区间（b，b）内的函数f（x）=lg是奇函数，
∴f（x）=f（x），即lg=lg=lg，
则有=，
即1a2x2=14x2，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=2；则函数f（x）=lg，
要使函数有意义，则＞0，即（1+2x）（12x）＞0
解得：＜x＜，即函数f（x）的定义域为：（，），
∴（b，b）?（，），∴0＜b≤
∴ab=2b（1，]
例题4、
已知，．现有下列命题：
；②；③．其中的所有正确命题的
序号是（
）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
【答案】
B
【解析】
故①正确
当时，
令（）
因为，
所以在单增，
即，又与为奇函数，所以成立故③正确
例题5、
已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．
【答案】
（1）（－1，1）
（2）奇函数；证明见解析
（3）当a＞1时，x的取值范围为（0，1）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（－1，0）
【解析】
（1）要使f（x）有意义，必须1＋x＞0且1－x＞0，
解得－1＜x＜1
所以f（x）的定义域为（－1，1）．
（2）f（x）是奇函数．
证明如下：
由（1）知f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，
∵f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）＝－[loga（x＋1）－loga（1－x）]＝－f（x）
∴f（x）为奇函数．
（3）由f（x）＞0，得loga（x＋1）＞loga（1－x）
当a＞1时，∵y＝logax为增函数，
∴x＋1＞1－x＞0，
解得：0＜x＜1．
当0＜a＜1时，∵y＝logax为减函数，
∴0＜x＋1＜1－x，解得－1＜x＜0．
综上可知，当a＞1时，x的取值范围为（0，1）；
0＜a＜1时，x的取值范围为（－1，0）．
例题6、
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）实数的取值范围是
【解析】
（1）由函数f（x）是偶函数可知，f（x）=f（－x），
所以log4（4x＋1）＋kx=log4（4－x＋1）－kx，
所以，
即x=－2kx对一切x∈R恒成立，所以；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根，
即方程有且只有一个实根．
令t=2x＞0，则方程有且只有一个正根．
①当a=1时，则，不合题意；
②当a≠1时，△=0，解得或－3．
若，则t=－2，不合题意；若a=－3，则；
③若方程有一个正根与一个负根，即，
解得a＞1．
综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪（1，＋∞）．
例题7、
已知函数，，其中且．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数是奇函数（不为常函数），求实数k的值．
【答案】
（1）
（2）±1
【解析】
（1）当时，求函数，
由，解得，
故函数的定义域为．
（2）由于函数是奇函数，
故有，
即，
，
．
随练1、
若函数是R上的偶函数，则________．
【答案】
【解析】
（定义法）因为是偶函数，所以对任意的，有，即也就是对任意的都成立，即，．
（特殊值法）因为是偶函数，所以对任意的，有，即，．
随练2、
若是偶函数，则________．
【答案】
【解析】
由偶函数的定义可得，
即
随练3、
函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）＝log2x（x＞0），，若存在实数n使得f（m）＝g（n），则实数m的取值范围是（
）
A.[－2，2]
B.
C.
D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
【答案】
B
【解析】
∵，g（x）∈[－1，1]，
存在n使得f（m）＝g（n），
可得－1≤f（|m|）≤1，
即－1≤log2|m|≤1，
，
∴．
随练4、
已知函数f（x）＝loga（3＋2x），g（x）＝loga（3－2x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）－g（x）定义域；
（2）判断函数f（x）－g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）－g（x）＞0的x的取值范围．
【答案】
（1）
（2）奇函数；证明见解析
（3）当a＞1，则3＋2x＞3－2x，解得x＞0，由（1）可得此时x的取值范围（0，）
当0＜a＜1，则3＋2x＜3－2x，解得x＜0，由（1）可得此时x的取值范围（，0）
【解析】
（1）若使f（x）－g（x）的解析式有意义
须使f（x）＝loga（3＋2x），g（x）＝loga（3－2x）的解析式都有意义
即
解得：
所以函数f（x）－g（x）的定义域是
（2）函数f（x）－g（x）是奇函数，理由如下：
由（1）知函数f（x）－g（x）的定义域关于原点对称
又∵f（－x）－g（－x）＝loga（3－2x）－loga（3＋2x）
＝－[loga（3＋2x）－loga（3－2x）]＝－[f（x）－g（x）]
∴函数f（x）－g（x）是奇函数
（3）若f（x）－g（x）＞0，即loga（3＋2x）＞loga（3－2x）
当a＞1，则3＋2x＞3－2x，解得x＞0，由（1）可得此时x的取值范围（0，）
当0＜a＜1，则3＋2x＜3－2x，解得x＜0，由（1）可得此时x的取值范围（，0）
随练5、
设为奇函数，为常数．
（1）求的值；并判断在区间上的单调性；
（2）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
（1）见解析
（2）
【解析】
（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，
由，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．
令（x﹣1）（1﹣ax）＝0，得x1＝1，，∴，解得a＝﹣1．
令，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，＋∞），
则，
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，
∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．
∴是减函数，
又为减函数，
∴在（1，＋∞）上为增函数．
（2）由题意知，x∈（3，4）时恒成立，
令，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上为增函数，
又在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，
∴g（x）的最小值为，
∴，故实数m的范围是．
随练6、
已知函数的图象过点．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性并求其值域；
（Ⅱ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案】
（Ⅰ）偶函数；
（Ⅱ）
【解析】
函数的图象过点．
故，
（Ⅰ）函数
的定义域为，关于原点对称，
且，
故为偶函数，
又由，
故
即和值域为；
（Ⅱ）若关于的方程在上有解，
即，即在上有解，
即在上有解，
由对勾函数的图象和性质可得：
当时，取最小值4，当，或时，取最大值5，
故实数的取值范围是．
反函数
例题1、
已知函数与的图象关于直线对称，则的值为（　　）
A.4
B.2
C.1
D.0
【答案】
D
【解析】
若函数与的图象关于直线对称，
故函数与互为反函数，
故，
故．
例题2、
若函数的反函数是其本身，则实数________．
【答案】
－2
【解析】
由得，所以的反函数为，
依题意可得．
例题3、
设函数=，求它的反函数．
【答案】
=
【解析】
⑴当时，，其反函数仍是;
⑵当时，，由得，
又的值域为，
的反函数是．
⑶由⑴⑵可得=
例题4、
若函数是函数的反函数，其图像经过点，
则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
由题意，知
其图像过，
．
例题5、
函数的反函数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
因为，所以．因为，所以，
所以函数的反函数是．
例题6、
设x1，x2，x3均为实数，且，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
在同一平面直角坐标系中，
分别作出函数的图像
由图可知．
随练1、
函数的反函数________．
【答案】
【解析】
由因为，所以，
所以函数的反函数．
随练2、
设函数的反函数为，则的值域为________．
【答案】
【解析】
因为的值域为函数的定义域，
所以，
解得，
即的值域为．
随练3、
已知函数有反函数，且点在函数的图象上，
又在其反函数的图象上，求的值．
【答案】
【解析】
点在函数的图象上，
①，
又点在其反函数的图象上，
点在原函数的图象上，
有②，联立①②解得．
随练4、
若函数的反函数是，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
依题意，所以．
随练5、
写出下列函数的反函数：
①；②．
【答案】
①②
【解析】
①指数函数，它的底数是，它的反函数是对数函数．
②对数函数，它的底数是，它的反函数是指数函数．
随练6、
函数的图象与函数的图象关于直线对称，
则的反函数是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
设的反函数图象上的任意一点，
则关于的对称点一点在的图象上，
又函数的图象与函数的图象关于直线对称，
关于直线的对称点在图象上，
必有，即的反函数为：
拓展
1、
已知函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
∵函数，
∴，
．
2、
已知函数，则．
【答案】
【解析】
∵，
∴．
3、
函数图象正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
a是对数函数的底数，所以a≠1，选项A不正确；
选项B中，直线的截距a∈（0，1），对数函数是减函数，所以B正确；
选项C对数函数的单调性与直线方程中的a不成立；
选项D中的对数函数的图象不正确；
4、
函数的单调递减区间是（
）
A.（－∞，1）
B.（－∞，－1）
C.（3，＋∞）
D.（1，＋∞）
【答案】
C
【解析】
要使函数有意义，则x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，
设t＝x2－2x－3，则函数在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增．
因为函数log0.5t在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是（3，＋∞）．
5、
若函数在区间（－∞，1]上为单调递减函数，则实数a的取值范围是（
）
A.（2，＋∞）
B.[2，＋∞）
C.[2，3）
D.[2，3]
【答案】
C
【解析】
∵函数在区间（－∞，1]上为单调递减函数，
∴a＞1时，y＝x2－ax＋2在（－∞，1]上为单调递减函数，
且x2－ax＋2＞0在（－∞，1）上恒成立，
∴需y＝x2－ax＋2在（－∞，1]上的最小值1－a＋2＝3－a＞0，
且对称轴，∴2≤a＜3；
0＜a＜1时，y＝x2－ax＋2在（－∞，1]上为单调递增函数，不成立．
综上可得a的范围是[2，3）．
6、
设a＞0，a≠1，函数f（x）＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（
）
A.
B.a＞1或
C.a＞1或
D.
【答案】
B
【解析】
令|ax2－x|＝t，则t＞0，故x≠0且，如图所示：
由题意可得，当a＞1时，t＝|ax2－x|在[3，4]上是增函数，应有，或，解得a＞1．
当1＞a＞0时，由题意可得
t＝|ax2－x|在[3，4]上是减函数，
，且，解得．
综上，a＞1或．
7、
已知函数是奇函数，则实数a的值为（
）
A.1
B.－1
C.1或－1
D.0
【答案】
B
【解析】
∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
即f（－x）＋f（x）＝0，
即，
即，
即，
则a2－（a＋2）2x2＝1－x2，
即a2＝1，且（a＋2）2＝1，
则，得，
得a＝－1，
8、
定义在R上的偶函数y＝f（x）在[0，＋∞）上递减，且f（2）＝0，则满足f（log2x）＜0的x的集合为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）＝f（－x）＝f（|x|），
∴f（log2x）＝f（|log2x|），
则不等式等价于f（|log2x|）＜f（2），
∵y＝f（x）在[0，＋∞）上递减，
∴|log2x|＞2．
∴log2x＜－2，或log2x＞2，
∴，或x＞4
9、
已知函数（a＞0，a≠1）．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）解不等式f（x）＞0．
【答案】
（1）（－1，1）
（2）f（x）为奇函数；见解析
（3）－1＜x＜0
【解析】
（1）解，得－1＜x＜1；
∴函数的定义域为（－1，1）；
（2）∵函数的定义域关于原点对称；
且；
∴f（x）为奇函数；
（3）∵f（x）＞0，①当0＜a＜1时，；
解得0＜x＜1；
②当a＞1时，；
∴－1＜x＜0．
10、
已知函数是奇函数，其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）是定义域内的减函数，求不等式f（x－2）＋f（x2－4）＜0的解集．
【答案】
（Ⅰ）－1
（Ⅱ）（－∞，－3）∪（2，＋∞）
【解析】
（Ⅰ）根据题意，函数是奇函数，
则有f（－x）＝－f（x），即，
解可得m＝－1，
（Ⅱ）根据题意，由f（x）是奇函数且在其定义域内的减函数，
f（x－2）＋f（x2－4）＜0?f（x－2）＜－f（x2－4）?f（x－2）＜f（4－x2）?x－2＞4－x2，
即
解可得：
，
故不等式f（x－2）＋f（x2－4）＜0的解集为．
11、
函数的定义域是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
函数，
，
，
解得，
函数的定义域是．第11讲_对数函数
知识图谱
对数函数
知识精讲
一．
对数函数的定义
1.定义：一般地，叫做对数函数.
（1）函数的定义域为；
（2）函数的值域为；
二．对数函数的图象与性质
1.图象及性质
图象
定义域
值域
性质
过定点，图象都在一、四象限
单调性
当时，
当时，
在上是增函数
当时，
当时，
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
2.函数图象的扩充
（1）当时，图象向上无限接近轴，
当时，图象向下无限接近轴；
（2）对于相同的，
函数与的图象关于轴对称，
（3）对数函数在同一直角坐标系中的图象相对位置与底数大小的关系是：
随着增大，图象绕定点（1,0）顺时针旋转.
三．互为反函数的定义及图象的性质
1.定义：
当一个函数是一一映射时：
（1）可以把这个函数的因变量，作为一个新的函数的自变量
（2）把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，简单说，即与互换
我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数常用表示.
函数与互为反函数；
2.性质
（1）函数的定义域、值域，分别为的值域、定义域；
（2）互为反函数的两个函数图象关于直线对称.
四．对数函数与指数函数的关系
1.函数与互为反函数；
2.它们的定义域、值域互换；
3.图象关于直线对称；
4.它们都是单调函数，都不具有奇偶性；
（1）当时，它们是增函数；
（2）当时，它们是减函数
三点剖析
一．注意事项
1．定义域：因为对数函数由指数函数变化而来，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值的取值范围，所以对数函数的定义域是；
2．对数函数的底数：对数函数的底数且；
3．形式上的严格性：在对数函数的定义表达式中的表达式中，前面的系数必须是，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数；
二．方法点拨
1.
对数函数定义域的求法
（1）真数大于0；
（2）底数且.
2.有关对数函数方程解法
（1）定义法：
（2）转化法：
（3）取对数法：
3．利用对数函数的单调性比较大小
（1）如果两对数的底数相同，由对数函数的单调性比较大小
①底数为增函数；
②底数为减函数.
（2）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入“中间值”进行比较；
（3）如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（）
①当时，曲线比的图象（在第一象限内）上升得慢，
当时，；
当时，，
即在第一象限内，越大图象越靠近轴；
②当时，曲线比的图象（在第一象限内）下降得快，
当时，；
当时，，
即在第四象限内，越小图象越靠近轴．
4.利用对数函数的图象解题
（1）涉及对数型函数图象时，一般从最基本的对数函数图形入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数图象；
（2）注意底数与的两种不同情况.
5.
对数函数单调性的判定方法
（1）一看底数与1的关系，当底数未明确给出时，则应当对底数是否大于1进行讨论；
（2）运用复合函数法来判断其单调性，但要注意中间变量的取值范围；
（3）注意定义域（隐形的陷阱），坚持定义域优先原则.
对数函数的概念与性质
例题1、
已知函数的图象关于直线对称，则函数的值域为（
）
A.
B.
C.
D.
例题2、
函数的定义域是（　　）
A.
B.
C.
D.
例题3、
设函数，则f（－2）＋f（log212）＝（
）
A.3
B.6
C.9
D.12
例题4、
在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x＞0），g（x）＝logax的图象可能是（
）
A.
B.
C.
D.
例题5、
设集合，，则________，________．
例题6、
已知f（x）＝1＋x＋algx＋blog2x，且，则f（3）＝________．
随练1、
设函数的最小值是1，则实数a的取值范围是（
）
A.（－∞，4]
B.[4，＋∞）
C.（－∞，5]
D.[5，＋∞）
随练2、
已知函数，则的定义域为（　　）
A.
B.
C.
D.
随练3、
若函数，则的值（
）
A.2
B.lg5
C.0
D.3
随练4、
函数y＝loga（x－2）＋1的图象过定点（
）
A.（1，2）
B.（2，1）
C.（－2，1）
D.（3，1）
随练5、
已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
随练6、
已知函数，实数，满足，且，若在上的最大值为2，则________．
对数函数的单调性问题
例题1、
求函数的递增区间．
例题2、
若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为________．
例题3、
函数在区间[1，2]上的函数值恒为负数，则实数a的取值范围是________．
例题4、
已知，当时，，则的取值集合是（
）
A.
B.
C.
D.
例题5、
下列区间中，函数，在其上为增函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
例题6、
已知函数．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为增函数，并且的最大值为1．如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
例题7、
已知函数（且）．
（1）当时，，求实数的取值范围．
（2）若在上的最大值大于0，求的取值范围．
随练1、
函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
随练2、
已知，，若函数在是增函数，则的取值范围是________．
随练3、
函数的单调递减区间是（
）
A.
B.
C.
D.
随练4、
已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x）则（
）
A.f（x）在（0，2）单调递增
B.f（x）在（0，2）单调递减
C.y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称
D.y＝f（x）的图像关于点（1，0）对称
随练5、
若关于x的不等式在内恒成立，则实数m的取值范围是（
）
A.（0，1）
B.
C.
D.
随练6、
已知函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若在上为减函数，求的取值范围
对数函数的奇偶性问题
例题1、
已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A.函数的定义域是
B.函数是偶函数
C.函数在区间上是减函数
D.函数的图象关于直线轴对称
例题2、
若函数，的最大值与最小值分别为，则（
）
A.2
B.
C.0
D.4
例题3、
设定义在区间上的函数是奇函数，且，则的取值范围是（
）
A.，]
B.，]
C.，）
D.，）
例题4、
已知，．现有下列命题：
；②；③．其中的所有正确命题的
序号是（
）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
例题5、
已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范围．
例题6、
已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
例题7、
已知函数，，其中且．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数是奇函数（不为常函数），求实数k的值．
随练1、
若函数是R上的偶函数，则________．
随练2、
若是偶函数，则________．
随练3、
函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）＝log2x（x＞0），，若存在实数n使得f（m）＝g（n），则实数m的取值范围是（
）
A.[－2，2]
B.
C.
D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
随练4、
已知函数f（x）＝loga（3＋2x），g（x）＝loga（3－2x），（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）－g（x）定义域；
（2）判断函数f（x）－g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）－g（x）＞0的x的取值范围．
随练5、
设为奇函数，为常数．
（1）求的值；并判断在区间上的单调性；
（2）若对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
随练6、
已知函数的图象过点．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性并求其值域；
（Ⅱ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
反函数
例题1、
已知函数与的图象关于直线对称，则的值为（　　）
A.4
B.2
C.1
D.0
例题2、
若函数的反函数是其本身，则实数________．
例题3、
设函数=，求它的反函数．
例题4、
若函数是函数的反函数，其图像经过点，
则等于（
）
A.
B.
C.
D.
例题5、
函数的反函数是（
）
A.
B.
C.
D.
例题6、
设x1，x2，x3均为实数，且，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
随练1、
函数的反函数________．
随练2、
设函数的反函数为，则的值域为________．
随练3、
已知函数有反函数，且点在函数的图象上，
又在其反函数的图象上，求的值．
随练4、
若函数的反函数是，则（
）
A.
B.
C.
D.
随练5、
写出下列函数的反函数：
①；②．
随练6、
函数的图象与函数的图象关于直线对称，
则的反函数是（
）
A.
B.
C.
D.
拓展
1、
已知函数，则（
）
A.
B.
C.
D.
2、
已知函数，则．
3、
函数图象正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
4、
函数的单调递减区间是（
）
A.（－∞，1）
B.（－∞，－1）
C.（3，＋∞）
D.（1，＋∞）
5、
若函数在区间（－∞，1]上为单调递减函数，则实数a的取值范围是（
）
A.（2，＋∞）
B.[2，＋∞）
C.[2，3）
D.[2，3]
6、
设a＞0，a≠1，函数f（x）＝loga|ax2－x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（
）
A.
B.a＞1或
C.a＞1或
D.
7、
已知函数是奇函数，则实数a的值为（
）
A.1
B.－1
C.1或－1
D.0
8、
定义在R上的偶函数y＝f（x）在[0，＋∞）上递减，且f（2）＝0，则满足f（log2x）＜0的x的集合为（
）
A.
B.
C.
D.
9、
已知函数（a＞0，a≠1）．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）解不等式f（x）＞0．
10、
已知函数是奇函数，其中a＞0，a≠1．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若f（x）是定义域内的减函数，求不等式f（x－2）＋f（x2－4）＜0的解集．
11、
函数的定义域是（　　）
A.
B.
C.
D.

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