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第9讲_指数函数与幂函数
知识图谱
指数函数与幂函数
知识精讲
一．方根的定义及性质
1.
定义：
如果存在实数，使得，则把叫做的次方根，
求的次方根，叫做把开次方，称为开方运算.
2.性质
（1）正数有两个偶次方根且互为相反数，记作；
（2）负数没有偶次方根；
（3）正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都记作为奇数，；
（4）零的次方根都是0；
（5）正数的正的次方根叫做的次算术根.
二．根式的定义及性质
1.
定义：
当有意义时，式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.
性质：
（1）；
（2）当为奇数时，
；
（3）当为偶数时，
三．分数指数幂
；
且互质）
四．实数指数幂
幂指数
定义
底数的取值范围
正整数指数
零指数
且
负整数指数
且
正分数指数
且互质）
为奇数
为偶数
负分数指数
为奇数
且
为偶数
无理数
是一个确定的实数
（其中为无理数）
五．实数指数幂的运算性质
1.
；
2.
3.
；
4.
；
5.
.
六.
指数函数的概念
1.
定义：函数叫做指数函数.
（1）函数的定义域为R；
（2）函数的值域为；
七.
指数函数的图象与性质
1.图象及性质
图象
定义域
值域
性质
过定点，图象都在一、二象限
单调性
当时，
当时，
在上是增函数
当时，；
当时，
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
2.
函数图象扩充：
（1）当时，图象向左无限接近轴，
当时，图象向右无限接近轴；
（2）对于相同的，
函数的图象关于轴对称，
的图象关于轴对称．
（3）指数函数在同一直角坐标系中的图象相对位置与底数大小的关系是：
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，
在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
（4）当时，；值越小，图象随的增大，递减速度越慢；
当时，；值越大，图象随的增大，递增速度越快。
（5）抽象性质：
八．幂函数的概念
1.定义：一般的，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
2.特征：以幂的底数为自变量，指数为常数.
3.注意：
（1）形如形式的函数都不是幂函数；
（2）幂函数中的为任意实数；
（3）确定一个幂函数，只需求出即可.
注：对于幂函数主要讨论等时的情况；
九.
幂函数的图象
1.在直角坐标系中作出幂函数：
（1）当时的图象见左图；
（2）当时的图象见右图.
2.幂函数的性质
解析式
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
单调性
在上增
在上减，
在上增.
在上增
在上减，
在上减.
在上增
定点
图象特点
在第一象限内，幂函数的指数越小，其图象越靠近轴
3.规律总结
所有幂函数在上都有意义
（1）单调性
当时，函数在第一象限内时增函数；
当时，函数在第一象限内时减函数；
（2）奇偶性
函数的定义域为,定义域关于原点对称，且
所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数．
（3）图象特点
①当时，曲线上凸，当时，图象下凸
②当时，图象为过点和的直线
③当时，表示过点且平行于轴的直线（除去点）
三点剖析
一．注意事项
1.理解指数函数的定义需要注意的几个问题：
（1）规定底数大于零且不等于1的理由：
①如果，当
②如果，比如
，这时对于
在实数范围内函数值不存在，图象不连续，对它就没有研究的必要了．
③如果，则是一个常量，对它就没有研究的必要了．
为了避免上述各种情况，所以规定．
2.像
等函数都不是指数函数，叫做指数型函数，要注意区分．
3.
解题时，底数大小不定时，考虑和两种情形讨论．
4.
任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
5.
任何幂函数图象都不经过第四象限；
6.
任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
7.
不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为变量．
二．方法点拨
1.
利用分数指数幂进行根式的运算步骤：
（1）先把根式化成分数指数幂；
（2）再根据实数指数幂的运算性质进行计算．
2.
指数式的运算
（1）在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中可通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程求解，例如
（2）带条件的求值问题，常有两种思考方法：
①将已知的条件变形，得到所需要的值或关系式；
②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.
例如：已知，求的值
将两边平方得，即，所以得到.
3.
定点问题
由于的图象恒过定点，因此，指数函数与其他函数复合会产生一些定点问题，如：求函数恒过的定点是什么？
对于上述问题，令函数中的指数为0，即令
，则，此时，，则函数的恒过的定点为
.
4．指数方程及不等式的类型及解法
（1）指数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．
可分为：
①形如的方程，化为求解．
②形如的方程，用换元法化为一元二次方程求解．
（2）指数不等式：
①当时，
；
②当时，.
5.
指数型复合函数的运用
（1）与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
①
②
（2）对形如的指数型复合函数，有以下结论：
①函数的定义域与的定义域相同；
②先确定函数的值域，再根据指数函数的单调性确定函数的值域；
③当时，函数与函数的单调性相同；
当时，函数与函数的单调性相反．
6．求幂函数的定义域与值域
幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解：
（1）当指数是正整数时，的定义域时;
（2）当指数是正分数时，若是互质的正整数，，则，若为偶数时，的定义域是，
若为奇数时，的定义域为;
（3）当指数是负整数时，设，显然不能为零，所以的定义域是,且．
7．幂的大小比较方法
分类
考察对象
方法
底数相同，指数不同
与
利用指数函数的单调性
指数相同，底数不同
与
利用幂函数的单调性
底数、指数都不同
与
寻找中间量
注意：若两者都不同，则可选取适当中间量，常用的中间量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.
8.
求函数解析式的方法：
（1）分析幂函数，知函数解析式需满足：
①指数为常数
②底数为自变量
③系数为1
（2）若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数，根据条件求出即可；
根式与指数的计算与化简
例题1、
有下列各式：
①；
②若a∈R，则（a2－a＋1）0＝1；
③；
④．
其中正确的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】
C
【解析】
①当n是正偶数时，，故①错误，
②∵恒成立，则②正确，
③当x＝y＝1时，，，等式不成立，故③错误，
④，故④正确，
正确的是②④．
例题2、
_______．
【答案】
【解析】
例题3、
若，，则　　．
【答案】
5．
【解析】
a10=，am==，
可得=a2m．即2m=10，解得m=5．
故答案为：5．
例题4、
化简的结果是　　．
【答案】
9a．
【解析】
=
=9a.
随练1、
__________．
【答案】
【解析】
随练2、
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
．
随练3、
的分数指数幂表示为（
）
A.
B.a3
C.
D.都不对
【答案】
C
【解析】
．
随练4、
下列各等式中，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
∵，A错，
，B错；
a0＝1中a≠0，C错；
，D正确．
带有附加条件的求值问题
例题1、
已知,求下列各式的值：
【答案】
（1）（2）
【解析】
（1）
∴，又∵得，，所以
（2）
例题2、
已知2x＋2－x＝3，则4x＋4－x＝________，2x－2－x＝________．
【答案】
7；
【解析】
∵2x＋2－x＝3，则4x＋4－x＝（2x＋2－x）2－2＝32－2＝7．
，可得．
例题3、
已知函数，则的值等于（
）
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
【答案】
C
【解析】
∵函数，
∴
，
∴．
随练1、
若，则a2＋a－2的值是________．
【答案】
6
【解析】
∵，
∴（a＋a－1）2＝a2＋a－2＋2＝8，即a2＋a－2＝6．
随练2、
已知x＋x－1＝3，则值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
∵x＋x－1＝3，
∴，
∴
．
指数函数的性质与单调性
例题1、
如图①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（
）
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
【答案】
B
【解析】
由图，直线x＝1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）
故有b＜a＜1＜d＜c．
例题2、
若函数且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（
）
A.且
B.且
C.且
D.且
【答案】
C
【解析】
根据指数函数图像与性质可知，且当时，即
例题3、
已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，求a＋b的值．
【答案】
【解析】
函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，
若a＞1，则f（x）在[－1，0]上为增函数，所以，此方程组无解；
若0＜a＜1，则f（x）在[－1，0]上为减函数，所以，解得，
所以：．
例题4、
已知函数，，若任意，存在，使得，则实数m的取值范围是　　．
【答案】
m≤．
【解析】
对?x1[1，2]，?x2[1，1]，使得f（x1）≥g（x2），等价于f（x）min≥g（x）min，
f′（x）=2x+2≥0，
∴f（x）在[1，2]上递增，
∴f（x）min=f（1）=3；
由在[1，1]上递减，得g（x）min=g（1）=+m，
∴3≥m+，解得m≤，
例题5、
若函数?有两个不同的零点，且，则实数m的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
设t=2x，∵x1+x2＞0，x1x2＞0，∴t＞1，
∴函数f（t）=t2mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，
∴，∴m＞6
随练1、
函数（x∈[－2，1]）的值域是（
）
A.（，10]
B.[1，10]
C.[1，]
D.[，10]
【答案】
B
【解析】
令（x∈[－2，1]），
则，
f（x）＝g（t）＝t2－2t＋2（），
由g（t）＝t2－2t＋2的图象是开口朝上，且以直线t＝1为对称轴的抛物线，
故当t＝1时，函数取最小值1，
当t＝4时，函数取最大值10，
故函数的值域为[1，10]．
随练2、
若函数的图像与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
∵函数f（x）=3|x1|+m的图像与x轴没有交点，
∴m=3|x1|无解，
∵|x1|≤0，
∴0＜3|x1|≤1，
∴m≤0或m＞1，
解得m≥0或m＞1
故选：A．
随练3、
已知函数f（x）＝ax－1＋1（a＞0且a≠1）过定点A，直线kx－y＋2k－1＝0过定点B，则|AB|＝________．
【答案】
【解析】
由题意，令x＝1，则f（1）＝a0＋1＝2，所以函数f（x）的图象过定点A（1，2），
又直线kx－y＋2k－1＝0，则y＋1＝k（x＋2），所以直线恒过定点B（－2，－1），
所以。
随练4、
记为区间的长度．已知函数，其值域为，则区间的长度的最小值是
【答案】
3
【解析】
；
∴①x[2，0）时，；
∴此时1＜y≤4；
②x[0，a]时，20≤2x≤2a；
∴此时1≤y≤2a，则：
0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；
a＞2时，区间长度为2a1＞3；
∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3
随练5、
已知函数（且）．
（1）当时，，求的取值范围；
（2）若在上的最小值大于1，求的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）当时，，
，得．
（2）在定义域内单调递减，
当时，函数在上单调递减，，得．
当时，函数在上单调递增，，不成立．
综上：．
指数函数方程
例题1、
把函数的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则t的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
暂无解析
例题2、
已知函数，（其中）.对于不相等的实数，
设，．
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，都有；
（2）对于任意的及任意不相等的实数，都有；
（3）对于任意的，存在不相等的实数，使得；
（4）对于任意的，存在不相等的实数，使得．
其中的真命题有________（写出所有真命题的序号）．
【答案】
①④
【解析】
设．
对（1），从的图像可以看书，，恒成立，故正确．
对（2），直线的斜率可为负，即，故不正确．
对（3），由得，即．
令，则．
由得：，作出的图象知，不一定有解，所以不一定有极值点，即对任意的，不一定存在不相等的实数，使得，即不一定存在不相等的实数，使得，故不正确．
对（4），由得，即．
令，则．
由得：，作出的图象知，方程必一定有解，所以一定有极值点，即对于任意的，一定存在不相等的实数，使得，即一定存在不相等的实数，使得．故正确．
所以①④．
例题3、
已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）解不等式．
【答案】
（1）1；1
（2）见解析
（3）
【解析】
（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即，得，
，
则，，
则，
即，即，得．
（2），，
，
设，
则，
，
，
则，即在上为减函数．
（3）由．得，
是奇函数，且在上是减函数，
不等式等价为，
即．
得．即实数的取值范围是．
例题4、
已知实数a为常数，函数f（x）＝a?4x－2x＋1．
（1）已知，求函数f（x）的值域；
（2）如果函数y＝f（x）在（0，1）内有唯一零点，求实数a的范围；
（3）若函数f（x）是减函数，求证：a≤0．
【答案】
（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
实数a为常数，函数f（x）＝a?4x－2x＋1．
（1），函数，所以其值域为；
（2）如果函数y＝f（x）在（0，1）内有唯一零点，设2x＝t，t∈（1，2），则f（t）有唯一零点，所以f（1）f（2）＜0即a（4a－1）＜0解得；
（3）证明：若函数f（x）是减函数，则f（t）＝at2－t＋1，（t＞0）为减函数，a＝0，f（t）＝－t＋1为减函数，满足题意；a＞0，二次函数开口向上，不满足题意；a＜0，对称轴小于0，满足题意；综上a≤0．
例题5、
已知函数．
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的x∈[－1，0]，都有0≤f（x）≤1，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）[4，＋∞）∪（－∞，0）
（2）[2，4]
【解析】
（1）∵函数f（x）有零点，
∴方程有解，
m?4x－m?2x＋1＝0有解，，（x≠0），
令t＝2x，（t＞0），，
则，
∴实数m的取值范围为：[4，＋∞）∪（－∞，0）；
（2）令t＝2x，，
对任意的x∈[－1，0]，都有0≤f（x）≤1，
当x＝0，即t＝1时，显然成立，
只需在恒成立即可
①，
在时，，
∴m≤4，
②，
综上，实数m的取值范围为[2，4]．
随练1、
方程2x+（）x=2的根为____．
【答案】
0
【解析】
方程2x+（）x=2，化为：（2x）22?2x+1=0，解得2x=1，可得x=0
随练2、
关于x的方程4x＋2（m－1）?2x＋m＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
【答案】
（－1，0）
【解析】
令t＝2x＞0，由题意x的方程4x＋2（m－1）?2x＋m＋1＝0，有两个不相等的实数根，可得
t2＋2（m－1）t＋m＋1＝0有2个不等的正实数根．
∴，即，解得－1＜m＜0．
随练3、
已知函数，则在下列区间中必有零点的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
函数，
令，，
画出图象判断交点1个数．
，，
，，
，，
交点在内，
即函数，则在下列区间中必有零点的是．
随练4、
已知，，，则，，的大小关系为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
在为增函数，
，即，
为减函数，
，即，
．
随练5、
如果函数的图象经过第一、二、四象限，
不经过第三象限，那么一定有________．
　②　③
④
【答案】
②
【解析】
当时，把指数函数的图象向下平移，
观察可知，即．
随练6、
设常数，函数．
(1)
若，求函数的反函数；
(2)
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】
（1），
（2）既非奇函数也非偶函数
【解析】
（1）∵，∴，∴，∴，
∴，
（2）若为偶函数，则，∴，
整理得，∴，此时为偶函数
若为奇函数，则，∴，
整理得，∵，∴，此时为奇函数
当时，此时既非奇函数也非偶函数
随练7、
已知函数f（x）＝2a?4x－2x－1
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[－3，0]的值域；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有解，求a的取值范围．
【答案】
（1）
（2）a＞0
【解析】
（1）当a＝1时，f（x）＝2?4x－2x－1，
令t＝2x，则f（t）＝2t2－t－1，
∵x∈[－3，0]
∴，
当时，函数有最小值，当t＝1时，函数有最大值0
故值域为
（2）关于x的方程f（x）＝0有解，等价于
方程2at2－t－1＝0在（0，＋∞）上有解
记f（t）＝2at2－t－1（t＞0）
①当a＝0时，解为t＝－1，不成立
②当a＜0时，开口向下，对称轴，过点（0，－1），可得根都为负数，不成立
③当a＞0时，开口向上，对称轴，过（0，－1），必有一个根为正
综上得，a＞0
幂函数图象与性质
例题1、
函数的图像是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
函数的图像过（1，1）点，
在x＞0时，是凸函数，是增函数．
例题2、
设，则下列不等关系成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
，在A和B中，在定义域内是
单调递减的，则，所以结论不成立；在C中，在内是
单调递增的，又，则，即．
例题3、
函数y＝ax－4＋1图像恒过定点P，且P在幂函数y＝f（x）图像上，则f（16）＝________．
【答案】
4
【解析】
设幂函数f（x）＝xα（α是常数），
由x－4＝0得x＝4，则y＝2，
所以函数y＝ax－4＋1图像恒过定点P（4，2），
由题意得，2＝4α，解得，
则，所以f（16）＝4．
例题4、
函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值是（
）
A.－1
B.2
C.3
D.－1或2
【答案】
B
【解析】
要使函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上为增函数，
则，
解得：m＝2．
例题5、
已知幂函数（pN
）的图像关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是　　．
【答案】
（1，4）．
【解析】
∵幂函数（pN
）在（0，+∞）上是减函数，
∴p2-2p-3＜0，解得-1＜p＜3，
∵pN
，
∴p=1或2．
当p=1时，
为偶函数满足条件，
当p=2时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即＜，
∵
在（-∞，0）和（0，+∞）上都为增函数，
∴a2-1＜3a+3＜0或0＜a2-1＜3a+3，
解得：1＜a＜4，
故答案为：（1，4）．
随练1、
已知幂函数的图象过点，则________．
【答案】
【解析】
根据题意，设，
由于其图象过点，则有，
即；
即．
随练2、
设，
，
，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
构造指数函数，
由该函数在定义域内单调递减，所以；
又与之间有如下结论成立：
当时，有
故，，故．
随练3、
已知函数f（x）＝（m2－m－5）xm－1是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，则实数m的值为________．
【答案】
3
【解析】
∵函数f（x）＝（m2－m－5）xm－1是幂函数，
且当x∈（0，＋∞）时f（x）是增函数，
∴m2－m－5＝1，m－1＞0，
解得m＝3．
随练4、
已知幂函数（p∈N
）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上为增函数，求满足
条件的实数a的取值范围.
【答案】
[－1，）
【解析】
∵幂函数（p∈N
）的图象关于y轴对称，
∴函数是偶函数，且有：
又在（0，＋∞）上为增函数，
∴3－p是偶数且3－p＞0
∵p∈N
∴p＝1
∴不等式化为：
∵函数是[0，＋∞）上的增函数
∴，故：实数a的取值范围[－1，）
拓展
1、
设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
由题意．
2、
化简的结果是（
）
A.a
B.
C.a2
D.
【答案】
B
【解析】
3、
等于（
）
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2
【答案】
C
【解析】
解：
=
=
=a4．
4、
若2x＋2－x＝5，则8x＋8－x＝________．
【答案】
110
【解析】
∵2x＋2－x＝5，
∴8x＋8－x＝（2x）3＋（2－x）3＝（2x＋2－x）[（2x）2－2x2－x＋（2－x）2]
＝5[（2x）2＋（2－x）2－1]＝5[（2x＋2－x）2－2－1]＝5（52－3）＝110．
5、
已知－1≤x≤0，求函数y＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
【答案】
当，即时，函数y取得最大值为；当t＝1，即x＝0时，函数y取得最小值为1
【解析】
函数y＝2x＋2－3×4x＝4?2x－3?（2x）2，
令t＝2x
又∵－1≤x≤0，
∴
那么：y＝－3t2＋4t．
开口向下，对称轴，
由二次函数单调性知：
函数y在上为增函数，在[，1]上为减函数
∴当，即时，函数y取得最大值为；
当t＝1，即x＝0时，函数y取得最小值为1．
6、
函数的值域是________．
【答案】
【解析】
，
．
7、
已知,求函数的最大值和最小值
【答案】
；
【解析】
设因为，所以，且,故当时，
取最大值，当即时取最小值．
8、
函数的单调递增区间为．
【答案】
[0，+∞）
【解析】
函数f（x）=的单调递增区间，即函数t=x21的增区间，
再利用二次函数的性质可得函数t=x21的增区间为[0，+∞），
故答案为：[0，+∞）．
9、
已知关于x的方程在区间上有实数根，则实数a的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
分类参数可得：a=﹣2×（2x）2+2x（x∈[﹣1，0]）
令2x=t（t∈[，1]，a=﹣2t2+t=﹣2（t﹣）2+
∴函数在[，1]上单调减
∴a∈[﹣1，0]
10、
关于的方程有实数根，则的取值范围
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
暂无解析
11、
不等式（）x5≤2x的解集是____．
【答案】
{x|x≥}
【解析】
由（）x5≤2x，得2x+5≤2x，
∴x+5≤x，解得x．
∴不等式（）x5≤2x的解集是{x|x≥}．
故答案为：{x|x≥}．
12、
已知幂函数通过点，则幂函数的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
幂函数通过点，
，解得，
幂函数的解析式为．
13、
若是偶函数，且在内是减少的，则整数的值是________
【答案】
或
【解析】
由题意得，应为负偶数，即，
当时，或；当时，或．
14、
幂函数在（0，＋∞）上为增函数，则m＝________．
【答案】
2
【解析】
∵函数是幂函数
∴可得m2－m－1＝1
解得m＝－1或2，
当m＝－1时，函数为y＝x－3在区间（0，＋∞）上单调递减，不满足题意；
当m＝2时，函数为y＝x3在（0，＋∞）上单调递增，满足条件．
15、
已知，求的取值范围．
【答案】
或
【解析】
分析知，函数在上是减函数，
当
，
在
的区间上，
当
，
在
的区间上，，无解
当
，
不在一个区间上，
综上，
或第9讲_指数函数与幂函数
知识图谱
指数函数与幂函数
知识精讲
一．方根的定义及性质
1.
定义：
如果存在实数，使得，则把叫做的次方根，
求的次方根，叫做把开次方，称为开方运算.
2.性质
（1）正数有两个偶次方根且互为相反数，记作；
（2）负数没有偶次方根；
（3）正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都记作为奇数，；
（4）零的次方根都是0；
（5）正数的正的次方根叫做的次算术根.
二．根式的定义及性质
1.
定义：
当有意义时，式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.
性质：
（1）；
（2）当为奇数时，
；
（3）当为偶数时，
三．分数指数幂
；
且互质）
四．实数指数幂
幂指数
定义
底数的取值范围
正整数指数
零指数
且
负整数指数
且
正分数指数
且互质）
为奇数
为偶数
负分数指数
为奇数
且
为偶数
无理数
是一个确定的实数
（其中为无理数）
五．实数指数幂的运算性质
1.
；
2.
3.
；
4.
；
5.
.
六.
指数函数的概念
1.
定义：函数叫做指数函数.
（1）函数的定义域为R；
（2）函数的值域为；
七.
指数函数的图象与性质
1.图象及性质
图象
定义域
值域
性质
过定点，图象都在一、二象限
单调性
当时，
当时，
在上是增函数
当时，；
当时，
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
2.
函数图象扩充：
（1）当时，图象向左无限接近轴，
当时，图象向右无限接近轴；
（2）对于相同的，
函数的图象关于轴对称，
的图象关于轴对称．
（3）指数函数在同一直角坐标系中的图象相对位置与底数大小的关系是：
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，
在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
（4）当时，；值越小，图象随的增大，递减速度越慢；
当时，；值越大，图象随的增大，递增速度越快。
（5）抽象性质：
八．幂函数的概念
1.定义：一般的，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
2.特征：以幂的底数为自变量，指数为常数.
3.注意：
（1）形如形式的函数都不是幂函数；
（2）幂函数中的为任意实数；
（3）确定一个幂函数，只需求出即可.
注：对于幂函数主要讨论等时的情况；
九.
幂函数的图象
1.在直角坐标系中作出幂函数：
（1）当时的图象见左图；
（2）当时的图象见右图.
2.幂函数的性质
解析式
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
单调性
在上增
在上减，
在上增.
在上增
在上减，
在上减.
在上增
定点
图象特点
在第一象限内，幂函数的指数越小，其图象越靠近轴
3.规律总结
所有幂函数在上都有意义
（1）单调性
当时，函数在第一象限内时增函数；
当时，函数在第一象限内时减函数；
（2）奇偶性
函数的定义域为,定义域关于原点对称，且
所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数．
（3）图象特点
①当时，曲线上凸，当时，图象下凸
②当时，图象为过点和的直线
③当时，表示过点且平行于轴的直线（除去点）
三点剖析
一．注意事项
1.理解指数函数的定义需要注意的几个问题：
（1）规定底数大于零且不等于1的理由：
①如果，当
②如果，比如
，这时对于
在实数范围内函数值不存在，图象不连续，对它就没有研究的必要了．
③如果，则是一个常量，对它就没有研究的必要了．
为了避免上述各种情况，所以规定．
2.像
等函数都不是指数函数，叫做指数型函数，要注意区分．
3.
解题时，底数大小不定时，考虑和两种情形讨论．
4.
任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
5.
任何幂函数图象都不经过第四象限；
6.
任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
7.
不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为变量．
二．方法点拨
1.
利用分数指数幂进行根式的运算步骤：
（1）先把根式化成分数指数幂；
（2）再根据实数指数幂的运算性质进行计算．
2.
指数式的运算
（1）在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中可通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程求解，例如
（2）带条件的求值问题，常有两种思考方法：
①将已知的条件变形，得到所需要的值或关系式；
②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.
例如：已知，求的值
将两边平方得，即，所以得到.
3.
定点问题
由于的图象恒过定点，因此，指数函数与其他函数复合会产生一些定点问题，如：求函数恒过的定点是什么？
对于上述问题，令函数中的指数为0，即令
，则，此时，，则函数的恒过的定点为
.
4．指数方程及不等式的类型及解法
（1）指数方程：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．
可分为：
①形如的方程，化为求解．
②形如的方程，用换元法化为一元二次方程求解．
（2）指数不等式：
①当时，
；
②当时，.
5.
指数型复合函数的运用
（1）与指数函数有关的复合函数基本上有两类：
①
②
（2）对形如的指数型复合函数，有以下结论：
①函数的定义域与的定义域相同；
②先确定函数的值域，再根据指数函数的单调性确定函数的值域；
③当时，函数与函数的单调性相同；
当时，函数与函数的单调性相反．
6．求幂函数的定义域与值域
幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解：
（1）当指数是正整数时，的定义域时;
（2）当指数是正分数时，若是互质的正整数，，则，若为偶数时，的定义域是，
若为奇数时，的定义域为;
（3）当指数是负整数时，设，显然不能为零，所以的定义域是,且．
7．幂的大小比较方法
分类
考察对象
方法
底数相同，指数不同
与
利用指数函数的单调性
指数相同，底数不同
与
利用幂函数的单调性
底数、指数都不同
与
寻找中间量
注意：若两者都不同，则可选取适当中间量，常用的中间量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.
8.
求函数解析式的方法：
（1）分析幂函数，知函数解析式需满足：
①指数为常数
②底数为自变量
③系数为1
（2）若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数，根据条件求出即可；
根式与指数的计算与化简
例题1、
有下列各式：
①；
②若a∈R，则（a2－a＋1）0＝1；
③；
④．
其中正确的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
例题2、
_______．
例题3、
若，，则　　．
例题4、
化简的结果是　　．
随练1、
__________．
随练2、
（
）
A.
B.
C.
D.
随练3、
的分数指数幂表示为（
）
A.
B.a3
C.
D.都不对
随练4、
下列各等式中，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
带有附加条件的求值问题
例题1、
已知,求下列各式的值：
例题2、
已知2x＋2－x＝3，则4x＋4－x＝________，2x－2－x＝________．
例题3、
已知函数，则的值等于（
）
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
随练1、
若，则a2＋a－2的值是________．
随练2、
已知x＋x－1＝3，则值为（
）
A.
B.
C.
D.
指数函数的性质与单调性
例题1、
如图①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（
）
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
例题2、
若函数且的图像经过第二、三、四象限，则一定有（
）
A.且
B.且
C.且
D.且
例题3、
已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，求a＋b的值．
例题4、
已知函数，，若任意，存在，使得，则实数m的取值范围是　　．
例题5、
若函数?有两个不同的零点，且，则实数m的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
随练1、
函数（x∈[－2，1]）的值域是（
）
A.（，10]
B.[1，10]
C.[1，]
D.[，10]
随练2、
若函数的图像与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
随练3、
已知函数f（x）＝ax－1＋1（a＞0且a≠1）过定点A，直线kx－y＋2k－1＝0过定点B，则|AB|＝________．
随练4、
记为区间的长度．已知函数，其值域为，则区间的长度的最小值是
随练5、
已知函数（且）．
（1）当时，，求的取值范围；
（2）若在上的最小值大于1，求的取值范围．
指数函数方程
例题1、
把函数的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则t的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
例题2、
已知函数，（其中）.对于不相等的实数，
设，．
现有如下命题：
（1）对于任意不相等的实数，都有；
（2）对于任意的及任意不相等的实数，都有；
（3）对于任意的，存在不相等的实数，使得；
（4）对于任意的，存在不相等的实数，使得．
其中的真命题有________（写出所有真命题的序号）．
例题3、
已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）解不等式．
例题4、
已知实数a为常数，函数f（x）＝a?4x－2x＋1．
（1）已知，求函数f（x）的值域；
（2）如果函数y＝f（x）在（0，1）内有唯一零点，求实数a的范围；
（3）若函数f（x）是减函数，求证：a≤0．
例题5、
已知函数．
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的x∈[－1，0]，都有0≤f（x）≤1，求实数m的取值范围．
随练1、
方程2x+（）x=2的根为____．
随练2、
关于x的方程4x＋2（m－1）?2x＋m＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
随练3、
已知函数，则在下列区间中必有零点的是（　　）
A.
B.
C.
D.
随练4、
已知，，，则，，的大小关系为（　　）
A.
B.
C.
D.
随练5、
如果函数的图象经过第一、二、四象限，
不经过第三象限，那么一定有________．
　②　③
④
随练6、
设常数，函数．
(1)
若，求函数的反函数；
(2)
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
随练7、
已知函数f（x）＝2a?4x－2x－1
（1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[－3，0]的值域；
（2）若关于x的方程f（x）＝0有解，求a的取值范围．
幂函数图象与性质
例题1、
函数的图像是（
）
A.
B.
C.
D.
例题2、
设，则下列不等关系成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
例题3、
函数y＝ax－4＋1图像恒过定点P，且P在幂函数y＝f（x）图像上，则f（16）＝________．
例题4、
函数f（x）＝（m2－m－1）xm是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上为增函数，则实数m的值是（
）
A.－1
B.2
C.3
D.－1或2
例题5、
已知幂函数（pN
）的图像关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是　　．
随练1、
已知幂函数的图象过点，则________．
随练2、
设，
，
，则的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
随练3、
已知函数f（x）＝（m2－m－5）xm－1是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，则实数m的值为________．
随练4、
已知幂函数（p∈N
）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上为增函数，求满足
条件的实数a的取值范围.
拓展
1、
设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（
）
A.
B.
C.
D.
2、
化简的结果是（
）
A.a
B.
C.a2
D.
3、
等于（
）
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2
4、
若2x＋2－x＝5，则8x＋8－x＝________．
5、
已知－1≤x≤0，求函数y＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
6、
函数的值域是________．
7、
已知,求函数的最大值和最小值
8、
函数的单调递增区间为．
9、
已知关于x的方程在区间上有实数根，则实数a的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
10、
关于的方程有实数根，则的取值范围
A.
B.
C.
D.
11、
不等式（）x5≤2x的解集是____．
12、
已知幂函数通过点，则幂函数的解析式为（
）
A.
B.
C.
D.
13、
若是偶函数，且在内是减少的，则整数的值是________
14、
幂函数在（0，＋∞）上为增函数，则m＝________．
15、
已知，求的取值范围．

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