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第12讲_统计
知识图谱
统计
知识精讲
一．统计名词的基本概念
1.
总体、个体、样本、样本容量的概念以及统计的基本思想方法
（1）总体：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素作为个体．
（3）样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．
（4）样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
（5）统计的基本思想方法：用样本估计总体，即通常不去直接研究总体，而是通过
从总体中随机抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况．
二．简单随机抽样
1.
简单随机抽样的概念
从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为样本，
如果每一次抽取时，总体中的每个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2.
简单随机抽样的特点：
（1）被抽取样本的总体的个数有限；
（2）从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；
（3）它是不放回抽样，使其具有广泛的应用性；
（4）它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是，保证了抽样方法的公平性．
3.
常用的简单随机抽样方法：
（1）抽签法
把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
（2）随机数表法
随机数表是由这个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．通过随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．
4.
简单随机抽样的应用
常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法.
抽签法一般适用于容量较小的总体，易于操作；随机数表法解决了制签比较麻烦的问题，但在利用“随机数表法”进行简单随机抽样时，要严格按照课本中介绍的步骤，否则易出错误．
结合具体的问题，我们应灵活使用这两种方法．
三．分层抽样
1.
分层抽样的概念
当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层；在各层中按层在总体中所占比例，进行简单随机抽样或系统抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样．
2.
分层抽样的步骤：
（1）分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；
（2）按比例确定每层抽取个体的个数；
（3）各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样抽取相应的个数；
（4）汇合成样本．
3.
分层抽样的特点
（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
（2）更充分的反映了总体的情况；
（3）它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是．
四.
用样本的频率分布估计总体的频率分布
1.
频率分布直方图
（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
②决定组距与组数：取组距，用决定组数；
③决定分点：决定起点，进行分组；
④列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图.
（2）易知小长方形的面积＝组距×＝频率；所有长方形的面积之和等于1.
（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就
得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，横轴左右两端点没有实际意义．
（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，
频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度
曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
2.
茎叶图
（1）制作茎叶图的步骤：
①将数据分为“茎”、“叶”两部分；
②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；
③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．
（2）茎叶图的优点：
①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；
②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示
五.用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.
众数
在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
2.
中位数
将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若
样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数.
3.
百分位数
确定p%位数：设一组数按照从小到大排列后为，计算的值，如果i不是整数，设为大于i的最小整数，取为p%分位数，如果i是整数，取
为p%分位数。特别的，规定：0分位数是最小值，100%分位数是最大值。
4.
平均数
一般地，设样本的数据为,则样本的算术平均数为.
六.
用样本的标准差估计总体的标准差
1.
数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.
2.
样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.
一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，
定义样本方差；
简化公式：，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方
3.
样本的标准差是方差的算术平方根．
样本标准差.
三点剖析
一.
平均数与方差
1．平均数相关结论：
如果两组数和的平均数分别是和：
（1）的平均数是；
（2）的平均数为.
（3）的平均数为.
2．方差相关结论：
如果一组数的方差为：
（1）的方差为；
（2）的方差为.
随机抽样
例题1、
某车间工人已加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽出10件在同一条件下测量（轴的直径要求为（20±0.5）mm），如何采用简单随机抽样方法抽取上述样本？
【答案】
见解析
【解析】
考虑100件轴的直径的全体这一总体，将其中的100个个体编号00,01,02，...，99，利用随机数表来抽取样本的10个号码，这里从表中的第20行第3列的数开始，往右读数，得到10个号码如下：16,93,32,43,50,27,89,87,19,20，将上述10个号码的轴在同一条件下测量直径.
例题2、
某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家，小型商店有390家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为40的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是________
【答案】
10
【解析】
暂无解析
例题3、
某工厂，，三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型号产品有15件，那么样本容量为（　　）
A.50
B.60
C.70
D.80
【答案】
C
【解析】
根据分层抽样的定义和方法，可得，
解得．
例题4、
某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（　　）
A.96
B.72
C.48
D.36
【答案】
B
【解析】
设样本中型号车为辆，则型号为辆，
则，解得，
即型号车16辆，
则，
解得．
例题5、
为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是________．
【答案】
300
【解析】
这次抽样调查抽取的总人数是＝300．
例题6、
某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
其中，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（　　）
A.6人
B.12人
C.18人
D.24人
【答案】
B
【解析】
根据题意可知样本中参与跑步的人数为人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人数为人．
例题7、
现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是（
）
A.80件产品是总体
B.20件产品是样本
C.样本容量是20
D.样本容量是80
【答案】
C
【解析】
总体是80件产品的质量，样本是20件产品的质量，总体容量是80，样本容量是20
例题8、
某单位对口支援西部开发，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组到西藏工作3年，请用抽签法设计抽样方案．
【答案】
（1）将名志愿者进行编号，号码是（2）将这18个编号写在大
小、形状都相同的号签上（3）将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀（4）从容器中每次抽取一个号签，连续抽取6次，并记录下上面的编号（5）所得号码对应的6个人就是要抽取的对象
【解析】
抽签法的步骤
例题9、
某公司有、两个部门，共有职工300人，其中部门有职工132人，按部门职工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25的样本，则从部门抽取的员工人数是________．
【答案】
14
【解析】
部门的员工有（人），
从部门中应抽取的人数为．
随练1、
一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是______
【答案】
【解析】
简单随机抽样的概念
随练2、
人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序起牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取13张的样本．问这样的抽样方法是否为简单随机抽样？
【答案】
不是简单随机抽样，是系统抽样
【解析】
简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取．
而这里只是随机地确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张起牌的，
但其实各张在谁手里已被确定了，所以不是简单随机抽样，
据其“等距”起牌的特点，应将其归纳为系统抽样．
随练3、
一个总体中共有个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
用简单随机抽样法从中抽取，
∴每个个体被抽到的概率都相同，为，
故选C．
随练4、
某单位共有老、中、青职工人，其中青年职工人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工人数为（
）
A.9
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，
∵x+2x+160=430，
∴x=90，
即由比例可得该单位老年职工共有90人，
∵在抽取的样本中有青年职工32人，
∴每个个体被抽到的概率是，
用分层抽样的比例应抽取×90=18人．
随练5、
某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是0.35．现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为（　　）
A.25
B.26
C.30
D.32
【答案】
A
【解析】
由题意得高二年级学生数量为：
，
高三年级学生数量为，
现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，
设应在高三年级抽取的学生的人数为，
则，解得．
随练6、
为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，则该问题中的2500名城镇居民是（
）
A.总体
B.个体
C.样本
D.样本容量
【答案】
C
【解析】
根据总体、个体、样本、样本容量的定义即得
随练7、
欲从本班64名学生中随机抽取8名学生参加交通安全知识竞赛，试用随机表法确定这8名学生．
【答案】
（1）将64名学生编号，号码是（2）在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如，选第2行第7列数“8”开始，向右读（3）从“8”开始，向右读，每次取二位，凡不在中的数跳过去不读，前面读过的数也跳过去不读，依次可得到（4）以上8个号码对应得8名学生就是要抽取的对象
【解析】
随机数表法的步骤
随练8、
某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为________．
【答案】
2
【解析】
每个个体被抽到的概率等于，则应抽取的教师人数为．
随练9、
从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（
）
A.简单的随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
【答案】
C
【解析】
常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
事先了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生肺活量差异不大；
最合理的抽样方法是按学段分层抽样．
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例题1、
下列说法中正确的是（
）
A.数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
【答案】
C
【解析】
∵A中众数有两个4和5，
∴A是错误的，
B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，
C可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，
前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，正确，
D频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，
例题2、
已知一组数据，，，的方差为5，则这组数据，，，的方差为________．
【答案】
45
【解析】
一组数据，，，的方差为5，
这组数据，，，的方差为：．
例题3、
重庆市2013年各月的平均气温数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（　　）
A.19
B.20
C.21.5
D.23
【答案】
B
【解析】
样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为．
例题4、
2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（　　）
A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数
B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数
C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数
D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差
【答案】
D
【解析】
由茎叶图可知：
①，，即，故选项错误，
②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项错误，
③由选项可知，选项错误，
④因为，
，即，即选项正确．
例题5、
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（Ⅰ）请填写下表（写出计算过程）：
（Ⅱ）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析；
①从平均数和方差结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）
【答案】
（1）
平均数
方差
中位数
命中9球以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
（2）
从平均数和方差结合看：平均数相同，但甲的方差小于乙的方差，故甲的成绩更稳定些；
从平均数和命中9环以上的次数多，故乙的成绩好些。
从折线图上两人射击命中环数的走势看，乙更有潜力
【解析】
例题6、
为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（　　）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】
B
【解析】
由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31
乙：28，29，30，31，32；
可得：甲地该月14时的平均气温：，
乙地该月14时的平均气温：，
故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
甲地该月14时温度的方差为：
乙地该月14时温度的方差为：
，
故，
所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差．
例题7、
某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，，，，，，分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（　　）
A.频率分布直方图中的值为0.040
B.样本数据低于130分的频率为0.3
C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D.总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等
【答案】
C
【解析】
由频率分布直方图得：，
解得，故错误；
样本数据低于130分的频率为：，故错误；
的频率为：，
的频率为：．
总体的中位数（保留1位小数）估计为：分，故正确；
样本分布在的频数一定与样本分布在的频数相等，
总体分布在的频数不一定与总体分布在的频数相等，故错误．
例题8、
为了测试小班教学的实践效果，王老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】
B
【解析】
班学生的分数多集中在，之间，班学生的分数集中在，之间，故；
相对两个班级的成绩分布来说，班学生的分数更加集中，班学生的分数更加离散，故．
例题9、
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重，得到频率分布直方图如图：
求：
（1）根据直方图可得这100名学生中体重在的学生人数；
（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区岁的男生体重；
（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？
【答案】
（1）40
（2）
（3）0.28
【解析】
（1）根据直方图得，这100名学生中体重在的学生人数为：
（人）；
（2）根据频率分布直方图得，样本的平均数是：
利用平均数来衡量该地区岁的男生体重是；
（3）根据频率分布直方图得，样本数据中低于的频率是，
这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于的概率是．
随练1、
已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y（x≠y），若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋（1－a）y；其中，则n，m（n，m∈N
）的大小关系为（
）
A.n＝m
B.n≥m
C.n＜m
D.n＞m
【答案】
C
【解析】
由样本x1，x2，…，xn的平均数为x，
样本y1，y2，…ym的平均数为y，
样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…ym的平均数z＝ax＋（1－a）y，其中，
∴，
∴，
又时，1－a＞a，
∴，
∴m＞n．
随练2、
一组数据的平均数是3.9，方差是0.96，若将这组数据中的每一个数据都乘以10再加1，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（
）
A.40，96
B.39，96
C.40，9.6
D.39，9.6
【答案】
A
【解析】
随练3、
从某工厂生产的，两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则型号样本数据的中位数和型号样本数据的众数分别是（　　）
A.21.5和23
B.22和23
C.22和22
D.21.5和22.5
【答案】
A
【解析】
由茎叶图中数据知，组数据是10，11，14，21，22，22，30，31，
中位数是，
组数据是12，16，21，22，23，23，33，34，
众数是23．
随练4、
对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_____________
【答案】
100
【解析】
根据频率分布直方图可知，三等品的数量是[（0.0125+0.025+0.0125）×5]×400＝100（件）
随练5、
某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是（　　）
A.样本中支出在元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.的值为200
D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在元
【答案】
B
C
【解析】
由频率分布直方图得：
在A中，样本中支出在元的频率为：，故A错误；
在B中，样本中支出不少于40元的人数有：，故B正确；
在C中，，故的值为200，故C正确；
D．若该校有2000名学生，则可能有600人支出在元，故D错误．
随练6、
从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用，表示，则（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】
C
【解析】
由茎叶图得：
甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，
，．
随练7、
已知数据，，的方差，则，，的方差为（　　）
A.4
B.6
C.16
D.36
【答案】
A
【解析】
数据，，的方差，
，，的方差为．
茎叶图
例题1、
如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为________，________．
【答案】
5；8
【解析】
根据茎叶图中的数据，得：
甲组数据的中位数为15，；
又乙组数据的平均数为16.8，
，
解得：；
综上，、的值分别为5、8．
例题2、
如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（
）
A.中位数是64
B.众数为66
C.极差为18
D.平均数是64
【答案】
C
【解析】
根据茎叶图中的数据知，
这组数据的中位数是，所以A错误；
这组数据的众数是67，所以B错误；
极差是，所以C正确；
平均数是，所以D错误．
例题3、
在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[136，151]上的运动员人数为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】
C
【解析】
由已知，将个数据分为三个层次是[130，135]，[138，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，
所以成绩在区间[136，151]中共有25名运动员，抽取人数为；
随练1、
甲、乙两名同学八次化学测试成绩得分茎叶图如图所示，若乙同学成绩的平均分为90，则甲同学成绩的平均分为________．
【答案】
89
【解析】
根据茎叶图中的数据知，乙的平均数为（82＋83＋87＋89＋92＋93＋90＋a＋98）＝90，解得a＝6，
所以甲的平均数是（81＋82＋86＋88＋92＋93＋94＋96）＝89．
随练2、
某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为（
）
A.2
B.－2
C.3
D.－3
【答案】
D
【解析】
根据茎叶图中的数据，得；
甲班5名同学成绩的平均数为
，解得x＝0；
又乙班5名同学的中位数为73，则y＝3；
x－y＝0－3＝－3．
随练3、
表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图．则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为（
）
A.56分
B.57分
C.58分
D.59分
【答案】
B
【解析】
根据茎叶图中的数据，得；
甲运动员得分按从小到大的顺序排列为4，14，14，24，25，31，32，35，36，36，39，45，49，
∴它的中位数是32；
乙运动员得分按从小到大的顺序排列为8，12，15，18，23，25，26，32，33，34，41，
∴它的中位数是25；
∴32＋25＝57．
随练4、
甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_______和_________．
【答案】
24，23
【解析】
从茎叶图的表示方法上可解
频率分布直方图
例题1、
某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为________．
【答案】
18
【解析】
由频率分布直方图得：
第一组与第二组的频率和为：，
第一组与第二组共有20人，
样本单元数，
第三组的频率为0.36，第三组中人数为．
例题2、
在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在的人数为________．
【答案】
160
【解析】
根据频率分布直方图中频率和等于1，得；
年龄组为的数据频率为
，
估计这800名志愿者年龄在的人数为
．
例题3、
在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交的作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形的高的比为2︰3︰4︰6︰4︰1，第三组的频数为12．
（1）求本次活动参加评比的作品的件数；
（2）哪组上交的作品数量最多，有多少件？
【答案】
（1）（件）（2）（件）
【解析】
（1）由题意知第三组的频率为：．
又因为第三组的频数为12，所以本次活动的参赛作品有（件）．
（2）根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有（件）．
例题4、
样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在内的频数为，样本数据落在内的频率为，则，分别是（
）
A.32，0.4
B.8，0.1
C.32，0.1
D.8，0.4
【答案】
A
【解析】
由样本的频率分布直方图知：
数据在区间上的频率是，
又样本容量为，
所以数据在区间上的频数是，
样本数据落在内的频率为
．
随练1、
某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，，后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在内的人数是________．
【答案】
30
【解析】
由题意，分数在内的频率为：
则分数在内的人数是人；
随练2、
某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（
）
A.8万元
B.10万元
C.12万元
D.15万
【答案】
C
【解析】
由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4
∴11时至12时的销售额为3×4＝12
随练3、
如图是一组数据的频率分布直方图，根据直方图，那么这组数据的平均数是________．
【答案】
10.32
【解析】
数据的平均数为4×0.035×4＋8×0.08×4＋12×0.09×4＋16×0.045×4＝10.32．
随练4、
如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）79.5—89.5这一组的频数和频率分别为多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
（3）估计这60名学生环保知识竞赛成绩的中位数．
【答案】
（1）15人；0.25
（2）75%
（3）
【解析】
（1）由频率分布直方图得79.5—89.5这一组的频率为，
频数为人．
（2）60分及以上的频率约为，
故这次环保知识竞赛的及格率为75%．
（3）由频率分布直方图得的频率为：，
的频率为，
∴中位数为：．
拓展
1、
总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（
）
A.08
B.07
C.02
D.01
【答案】
D
【解析】
从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为08，02，14，07，02，01，
则第6个个体的编号为01．
2、
现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是（
）
A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【答案】
A
【解析】
在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可；
在②中，因为个体数量多，且已按座位自然分组，故采用系统抽样较好；
在③中，因为文科生和理科生的差异明显，故采用分层抽样较好．
3、
某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．
【答案】
6
【解析】
因为系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，
所以n是36的约数，且是6的约数，
即n是的倍数，或n＝6，12，18，n＋1是35的约数，
故n只能是4，6，34，综合得n＝6，即样本容量为6．
4、
为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：
根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（
）
A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D.药物A、B对该疾病均没有预防效果
【答案】
B
【解析】
由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：
药物A的预防效果优于药物B的预防效果．
5、
从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知________．若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为____________．
【答案】
，3
【解析】
,选取的人数为：
6、
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为
17．5岁-18岁的男生体重(kg)
,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56．5,64．5〕的学生人数是（
）
A.20
B.30
C.40
D.50
【答案】
C
【解析】
根据运算的算式：体重在学生的累积频率为
，则体重在学生的人数为
7、
如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.
【答案】
1；2.5
【解析】
暂无解析
8、
在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x＋y的值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】
A
【解析】
暂无解析
9、
某班有50名学生，男女人数不等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：则下列说法一定正确的是（
）
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这5名男生成绩的中位数大于5名女生成绩的中位数
C.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
D.这5名男生成绩的标准差大于5名女生成绩的标准差
【答案】
D
【解析】
根据抽样方法的特点，抽样比例不等，不是分层抽样，A错误；
这5名男生的中位数是90，小于女生成绩的中位数是93，B错误；
无法判断该班男生成绩的平均数与该班女生成绩的平均数大小，∴C错误；
根据公式，求得五名男生成绩的方差为
，
标准差为；
五名女生成绩的方差为，
标准差为；
∴这五名男生成绩的标准差大于这五名女生成绩的标准差，D正确．
10、
为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2︰4︰17︰15︰9︰3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？
【答案】
（1）0.08；150
（2）88％
【解析】
（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为；
又因为频率＝，所以样本容量＝.
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为.
11、
某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(
)
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】
D
【解析】
由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：
在中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故错误；
在中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故错误；
在中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故错误；
在中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故正确．
12、
居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.
【答案】
（I）0.30
（II）36000
（III）2.04
【解析】
（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在的频率为.
同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由，
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为.
（Ⅲ）设中位数为吨.
因为前5组的频率之和为，
而前4组的频率之和为
所以.
由，解得.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.第12讲_统计
知识图谱
统计
知识精讲
一．统计名词的基本概念
1.
总体、个体、样本、样本容量的概念以及统计的基本思想方法
（1）总体：所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看作总体．
（2）个体：构成总体的每一个元素作为个体．
（3）样本：从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．
（4）样本容量：样本中个体的数目叫样本容量．
（5）统计的基本思想方法：用样本估计总体，即通常不去直接研究总体，而是通过
从总体中随机抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况．
二．简单随机抽样
1.
简单随机抽样的概念
从元素个数为的总体中不放回地抽取容量为样本，
如果每一次抽取时，总体中的每个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2.
简单随机抽样的特点：
（1）被抽取样本的总体的个数有限；
（2）从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；
（3）它是不放回抽样，使其具有广泛的应用性；
（4）它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是，保证了抽样方法的公平性．
3.
常用的简单随机抽样方法：
（1）抽签法
把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一张号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本．
（2）随机数表法
随机数表是由这个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．通过随机数表，根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合成一组，然后通过随机数表抽取样本．
4.
简单随机抽样的应用
常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法.
抽签法一般适用于容量较小的总体，易于操作；随机数表法解决了制签比较麻烦的问题，但在利用“随机数表法”进行简单随机抽样时，要严格按照课本中介绍的步骤，否则易出错误．
结合具体的问题，我们应灵活使用这两种方法．
三．分层抽样
1.
分层抽样的概念
当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层；在各层中按层在总体中所占比例，进行简单随机抽样或系统抽样，这样的抽样方法叫做分层抽样．
2.
分层抽样的步骤：
（1）分层，即将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分；
（2）按比例确定每层抽取个体的个数；
（3）各层抽样，即各层中采用简单随机抽样或系统抽样抽取相应的个数；
（4）汇合成样本．
3.
分层抽样的特点
（1）适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
（2）更充分的反映了总体的情况；
（3）它是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是．
四.
用样本的频率分布估计总体的频率分布
1.
频率分布直方图
（1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤：
①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；
②决定组距与组数：取组距，用决定组数；
③决定分点：决定起点，进行分组；
④列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．
⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图.
（2）易知小长方形的面积＝组距×＝频率；所有长方形的面积之和等于1.
（3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就
得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，横轴左右两端点没有实际意义．
（4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，
频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度
曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
2.
茎叶图
（1）制作茎叶图的步骤：
①将数据分为“茎”、“叶”两部分；
②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线；
③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出．
（2）茎叶图的优点：
①没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；
②茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示
五.用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.
众数
在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
2.
中位数
将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数，若
样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数.
3.
百分位数
确定p%位数：设一组数按照从小到大排列后为，计算的值，如果i不是整数，设为大于i的最小整数，取为p%分位数，如果i是整数，取
为p%分位数。特别的，规定：0分位数是最小值，100%分位数是最大值。
4.
平均数
一般地，设样本的数据为,则样本的算术平均数为.
六.
用样本的标准差估计总体的标准差
1.
数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.
2.
样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.
一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，
定义样本方差；
简化公式：，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方
3.
样本的标准差是方差的算术平方根．
样本标准差.
三点剖析
一.
平均数与方差
1．平均数相关结论：
如果两组数和的平均数分别是和：
（1）的平均数是；
（2）的平均数为.
（3）的平均数为.
2．方差相关结论：
如果一组数的方差为：
（1）的方差为；
（2）的方差为.
随机抽样
例题1、
某车间工人已加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽出10件在同一条件下测量（轴的直径要求为（20±0.5）mm），如何采用简单随机抽样方法抽取上述样本？
例题2、
某地区有600家商店，其中大型商店有60家，中型商店有150家，小型商店有390家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为40的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是________
例题3、
某工厂，，三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现在用分层抽样的方法抽出容量为的样本，样本中型号产品有15件，那么样本容量为（　　）
A.50
B.60
C.70
D.80
例题4、
某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（　　）
A.96
B.72
C.48
D.36
例题5、
为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是________．
例题6、
某高中在校学生2000人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
其中，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（　　）
A.6人
B.12人
C.18人
D.24人
例题7、
现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是（
）
A.80件产品是总体
B.20件产品是样本
C.样本容量是20
D.样本容量是80
例题8、
某单位对口支援西部开发，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组到西藏工作3年，请用抽签法设计抽样方案．
例题9、
某公司有、两个部门，共有职工300人，其中部门有职工132人，按部门职工数比例用分层抽样的方法，从该公司的职工中抽取一个容量为25的样本，则从部门抽取的员工人数是________．
随练1、
一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是______
随练2、
人们打桥牌时，将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌，这时，开始按次序起牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取13张的样本．问这样的抽样方法是否为简单随机抽样？
随练3、
一个总体中共有个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
随练4、
某单位共有老、中、青职工人，其中青年职工人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工人数为（
）
A.9
B.
C.
D.
随练5、
某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是0.35．现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为（　　）
A.25
B.26
C.30
D.32
随练6、
为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，则该问题中的2500名城镇居民是（
）
A.总体
B.个体
C.样本
D.样本容量
随练7、
欲从本班64名学生中随机抽取8名学生参加交通安全知识竞赛，试用随机表法确定这8名学生．
随练8、
某学校有教师100人，学生900人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20人，则应抽取的教师人数为________．
随练9、
从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（
）
A.简单的随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
用样本的数字特征估计总体的数字特征
例题1、
下列说法中正确的是（
）
A.数据5，4，4，3，5，2的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
例题2、
已知一组数据，，，的方差为5，则这组数据，，，的方差为________．
例题3、
重庆市2013年各月的平均气温数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（　　）
A.19
B.20
C.21.5
D.23
例题4、
2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（　　）
A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数
B.甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数
C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数
D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差
例题5、
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（Ⅰ）请填写下表（写出计算过程）：
（Ⅱ）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析；
①从平均数和方差结合看（分析谁的成绩更稳定）；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）
例题6、
为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（　　）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
例题7、
某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，，，，，，分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（　　）
A.频率分布直方图中的值为0.040
B.样本数据低于130分的频率为0.3
C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分
D.总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等
例题8、
为了测试小班教学的实践效果，王老师对、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，、两班学生的平均成绩分别为，，、两班学生成绩的方差分别为，，则观察茎叶图可知（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
例题9、
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁岁的男生体重，得到频率分布直方图如图：
求：
（1）根据直方图可得这100名学生中体重在的学生人数；
（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区岁的男生体重；
（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？
随练1、
已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y（x≠y），若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋（1－a）y；其中，则n，m（n，m∈N
）的大小关系为（
）
A.n＝m
B.n≥m
C.n＜m
D.n＞m
随练2、
一组数据的平均数是3.9，方差是0.96，若将这组数据中的每一个数据都乘以10再加1，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（
）
A.40，96
B.39，96
C.40，9.6
D.39，9.6
随练3、
从某工厂生产的，两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则型号样本数据的中位数和型号样本数据的众数分别是（　　）
A.21.5和23
B.22和23
C.22和22
D.21.5和22.5
随练4、
对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_____________
随练5、
某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是（　　）
A.样本中支出在元的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.的值为200
D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在元
随练6、
从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）组成一个样本，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用，表示，标准差分别用，表示，则（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
随练7、
已知数据，，的方差，则，，的方差为（　　）
A.4
B.6
C.16
D.36
茎叶图
例题1、
如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为________，________．
例题2、
如图是8位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（
）
A.中位数是64
B.众数为66
C.极差为18
D.平均数是64
例题3、
在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[136，151]上的运动员人数为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
随练1、
甲、乙两名同学八次化学测试成绩得分茎叶图如图所示，若乙同学成绩的平均分为90，则甲同学成绩的平均分为________．
随练2、
某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为（
）
A.2
B.－2
C.3
D.－3
随练3、
表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图．则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为（
）
A.56分
B.57分
C.58分
D.59分
随练4、
甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_______和_________．
频率分布直方图
例题1、
某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组，，第五组，如图市根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为________．
例题2、
在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在的人数为________．
例题3、
在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交的作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形的高的比为2︰3︰4︰6︰4︰1，第三组的频数为12．
（1）求本次活动参加评比的作品的件数；
（2）哪组上交的作品数量最多，有多少件？
例题4、
样本容量为100的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在内的频数为，样本数据落在内的频率为，则，分别是（
）
A.32，0.4
B.8，0.1
C.32，0.1
D.8，0.4
随练1、
某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，，后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在内的人数是________．
随练2、
某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（
）
A.8万元
B.10万元
C.12万元
D.15万
随练3、
如图是一组数据的频率分布直方图，根据直方图，那么这组数据的平均数是________．
随练4、
如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）79.5—89.5这一组的频数和频率分别为多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
（3）估计这60名学生环保知识竞赛成绩的中位数．
拓展
1、
总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（
）
A.08
B.07
C.02
D.01
2、
现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；
②科技报告厅有32排座位，每排40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；
③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．
较为合理的抽样方法是（
）
A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
3、
某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．
4、
为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：
根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（
）
A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果
D.药物A、B对该疾病均没有预防效果
5、
从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知________．若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数应为____________．
6、
为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为
17．5岁-18岁的男生体重(kg)
,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56．5,64．5〕的学生人数是（
）
A.20
B.30
C.40
D.50
7、
如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数，且甲、乙两组工人平均每人加工零件的个数相同，则_____；甲、乙两组工人加工零件数方差较大的一组的方差为______.
8、
在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x＋y的值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
9、
某班有50名学生，男女人数不等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下：则下列说法一定正确的是（
）
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这5名男生成绩的中位数大于5名女生成绩的中位数
C.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
D.这5名男生成绩的标准差大于5名女生成绩的标准差
10、
为了了解高二年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2︰4︰17︰15︰9︰3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高二学生的达标率是多少？
11、
某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是(
)
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
12、
居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.

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