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第14讲_向量的概念及运算
知识图谱
平面向量的基本概念
知识精讲
一．向量的概念：
1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.向量可以用有向线段来表示.
2．向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作.
3．特殊向量
（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.
的方向是任意的.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.
（3）平行向量：也称共线向量，方向相同或相反的非零向量叫共线向量.规定与任一向量共线.
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
二．平面向量的线性运算
1.向量的加减法
向量的加法
向量的减法
注：首尾相连
注：首首相对
2.数乘向量：实数与向量的积是一个向量，记作：；
当时与方向相同；
当时与方向相反；
当时.
3．向量共线定理
如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数，使得
.
推论：（1）三点A、B、C共线共线
（2）向量中三终点A、B、C共线实数，使得,
且
.
4．运算定律
结合律：；分配律：，
三．平面向量基本定理
1.
平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数和使得.
2.
基底：不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
3.
定理说明：
（1）我们把不共线向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不唯一，关键是不共线；
由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解；
三点剖析
一.
注意事项
1.
零向量的方向是任意的，与任意向量都共线.
2.
因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.
二．重要结论：
已知A,B是直线l上任意两点，O是l外一点，对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为.（证明：令）
向量的概念
例题1、
下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】
D
【解析】
向量的概念
例题2、
下列命题中，正确的个数是（
）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，，则．
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】
A
【解析】
对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，时，，，则与不一定平行．
综上，以上正确的命题个数是0．
例题3、
已知、、、分别是平行四边形边、、、的中点，
为对角线与的交点，分别写图中与，，相等的向量．
【答案】
，，
【解析】
，，
例题4、
以下说法正确的是（
）
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.零向量没有方向
C.共线向量又叫平行向量
D.若和都是单位向量，则
【答案】
C
【解析】
只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，
零向量是没有方向的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；
例题5、
如图所示，是线段的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出__________个互不相等的非零向量．
【答案】
6
【解析】
可设的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中
长度为2的向量有4个，其中长度为3的向量有2个，分别是和，
所以最多可以写出6个互不相等的向量
随练1、
设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述说法中，不正确的个数是（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【答案】
D
【解析】
向量是既有大小又有方向的量，与模相同，但方向不一定相同，故（1）错
误；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时，
故（2）、（3）也不对.
随练2、
判断下列四个命题：
①若则②若则③若则；④若则
正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
A
【解析】
只有④正确
随练3、
下列说法正确的是（
）
A.向量就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
【答案】
C
【解析】
向量的概念
随练4、
给出下列命题：①若则；②若则；
③则；④，则．其中正确的序号是________________．
【答案】
④
【解析】
向量的概念
向量的加减法及数乘向量
例题1、
________．
【答案】
【解析】
原式
．
例题2、
在中，D是BC上的一点，且满足,若，，则可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
根据向量的加减法运算方法，故选A.
例题3、
在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．
【答案】
【解析】
设，，
那么，，
又∵，
∴，即，
∴．
例题4、
若非零向量，满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
，
，是非零向量，
必有，
上式中等号不成立．
．
例题5、
已知平行四边形的两条对角线和交于，是任意一点，求证：
【答案】
见解析
【解析】
连结，根据向量加法法则，，同理，，，因为，，故.
例题6、
如图，在平行四边形中，
与相交于点，
为线段的中点.若（），则（
）
A.1
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
∵为线段的中点，
∴
∴
例题7、
如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
因为点是的中点，所以，
得点是的中点，所以，
所以．
例题8、
如图，中，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
．
例题9、
在等腰梯形中，，点是线段的中点，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
取的中点，连，则四边形是平行四边形，所以，且
因为
，
，，
．
随练1、
_________．
【答案】
【解析】
原式．
随练2、
在中，点为边的中点，则向量（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
如图，
点为边的中点；
；
．
随练3、
试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【答案】
见解析
【解析】
如图所示，设四边形的对角线与交于，且，，
由向量加法的三角形法则知，，
又，，所以，
即且，所以四边形为平行四边形．
随练4、
平行四边形的两条对角线交于点，且，，用，表示，，和
【答案】
见解析
【解析】
，，，
随练5、
已知，，三点不共线，且点满足，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
由题意，可知：
对于，
整理上式，可得：
，
这与题干中条件相符合．
随练6、
在△ABC中，已知D是AB边上一点，，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
∵，
∴，
即，
则，
∵，
∴．
随练7、
已知的一内角，O为所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设，则m＋n的最大值为（
）
A.
B.1
C.
D.2
【答案】
A
【解析】
由题意可知，O为△ABC外接圆的圆心，如图所示，在圆O中，所对的圆心角为，点A，B为定点，点C为优弧上的动点，则点A，B，C，O满足题中的已知条件，延长AO交BC于点D，设，由题意可知：，由于B，C，D三点共线，据此可得：，则，则m＋n的最大值即的最大值，由于为定值，故最小时，m＋n取得最大值，由几何关系易知当AB＝AC时，取得最小值，此时．
向量共线的条件
例题1、
下列命题中正确的是（
）
A.与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】
C
【解析】
A选项中可能为零向量．Ｂ选项中两个向量可能在同一条直线上．Ｄ中相反（或同向）向量平行．
例题2、
向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数（
）
A.
B.
C.1
D.2
【答案】
D
【解析】
根据图形可看出；
满足与共线；
．
例题3、
已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为（
）
A.或3
B.
C.或4
D.3或4
【答案】
A
【解析】
∵向量m3与+（2m）共线，
∴存在实数k使得：m3=k[+（2m）]，
化为：（mk）+[3k（2m）]=，
∵向量，是两个不共线的向量，
∴，解得m=3或1．
例题4、
△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（
）
A.
B.
C.
D.1
【答案】
A
【解析】
∵，
∴，
∴=，
∵P是BD上的点，
∴m+=1．
∴m=．
故选：A
例题5、
已知向量与不共线，且，．若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为（
）
A.m＋n＝1
B.m＋n＝－1
C.mn＝1
D.mn＝－1
【答案】
C
【解析】
暂无解析
例题6、
已知向量，向量，求证：与共线，并判断与的方向.
【答案】
见解析
【解析】
，故与共线.又因为，故与反向.
例题7、
如图所示，的重心为，过的直线分别交于若利用向量证明：
【答案】
设而又可解得
【解析】
平面向量共线的条件
随练1、
已知向量是两个不共线的向量，且向量与共
线，则实数m的值为________．
【答案】
或
【解析】
由题意知，
解得或．
随练2、
设是平面内的一组基底，且，则关于的式子不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
暂无解析
随练3、
已知，，求证：，，三点共线.
【答案】
见解析
【解析】
，故，，三点共线.
随练4、
平面向量共线的充要条件是（
）
A.方向相同
B.两向量中至少有一个为0
C.存在，使
D.存在不全为零的实数，使
【答案】
D
【解析】
共线时，
方向相同或相反，故A错．
共线时，
不一定是零向量，故B错．当时，一定共线，
若则不成立，故C错．排除A、B、C，故选D
随练5、
已知是不共线的向量，那么三点共线的等价条件是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
，由三点共线，设所以
即可得所以
拓展
1、
如图，正六边形中，（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
2、
已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足＝0，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
暂无解析
3、
如图，正方形中，是的中点，若，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
本题考查平面向量的运算.由题意得，又因为，所以，，故选A.
4、
在正方形中，点为边的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
点为边的中点，
，
而，
．
5、
如图，正六边形ABCDEF中，（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
．
6、
P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（
）
A.内部
B.边所在直线上
C.边所在直线上
D.边所在直线上
【答案】
B
【解析】
∵，，
∴，则，
∴∥，即与共线，
∴P点一定在AC边所在直线上．第14讲_向量的概念及运算
知识图谱
平面向量的基本概念
知识精讲
一．向量的概念：
1．我们把既有大小又有方向的量叫向量.向量可以用有向线段来表示.
2．向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作.
3．特殊向量
（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作.
的方向是任意的.
（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量.
（3）平行向量：也称共线向量，方向相同或相反的非零向量叫共线向量.规定与任一向量共线.
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
二．平面向量的线性运算
1.向量的加减法
向量的加法
向量的减法
注：首尾相连
注：首首相对
2.数乘向量：实数与向量的积是一个向量，记作：；
当时与方向相同；
当时与方向相反；
当时.
3．向量共线定理
如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数，使得
.
推论：（1）三点A、B、C共线共线
（2）向量中三终点A、B、C共线实数，使得,
且
.
4．运算定律
结合律：；分配律：，
三．平面向量基本定理
1.
平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数和使得.
2.
基底：不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
3.
定理说明：
（1）我们把不共线向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不唯一，关键是不共线；
由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解；
三点剖析
一.
注意事项
1.
零向量的方向是任意的，与任意向量都共线.
2.
因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.
二．重要结论：
已知A,B是直线l上任意两点，O是l外一点，对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为.（证明：令）
向量的概念
例题1、
下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例题2、
下列命题中，正确的个数是（
）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若，，则．
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
例题3、
已知、、、分别是平行四边形边、、、的中点，
为对角线与的交点，分别写图中与，，相等的向量．
例题4、
以下说法正确的是（
）
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.零向量没有方向
C.共线向量又叫平行向量
D.若和都是单位向量，则
例题5、
如图所示，是线段的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出__________个互不相等的非零向量．
随练1、
设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述说法中，不正确的个数是（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
随练2、
判断下列四个命题：
①若则②若则③若则；④若则
正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
随练3、
下列说法正确的是（
）
A.向量就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
随练4、
给出下列命题：①若则；②若则；
③则；④，则．其中正确的序号是________________．
向量的加减法及数乘向量
例题1、
________．
例题2、
在中，D是BC上的一点，且满足,若，，则可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
例题3、
在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________．
例题4、
若非零向量，满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
例题5、
已知平行四边形的两条对角线和交于，是任意一点，求证：
例题6、
如图，在平行四边形中，
与相交于点，
为线段的中点.若（），则（
）
A.1
B.
C.
D.
例题7、
如图，正方形中，点，分别是，的中点，那么（　　）
A.
B.
C.
D.
例题8、
如图，中，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
例题9、
在等腰梯形中，，点是线段的中点，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
随练1、
_________．
随练2、
在中，点为边的中点，则向量（
）
A.
B.
C.
D.
随练3、
试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
随练4、
平行四边形的两条对角线交于点，且，，用，表示，，和
随练5、
已知，，三点不共线，且点满足，则（　　）
A.
B.
C.
D.
随练6、
在△ABC中，已知D是AB边上一点，，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
随练7、
已知的一内角，O为所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设，则m＋n的最大值为（
）
A.
B.1
C.
D.2
向量共线的条件
例题1、
下列命题中正确的是（
）
A.与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例题2、
向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数（
）
A.
B.
C.1
D.2
例题3、
已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为（
）
A.或3
B.
C.或4
D.3或4
例题4、
△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（
）
A.
B.
C.
D.1
例题5、
已知向量与不共线，且，．若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为（
）
A.m＋n＝1
B.m＋n＝－1
C.mn＝1
D.mn＝－1
例题6、
已知向量，向量，求证：与共线，并判断与的方向.
例题7、
如图所示，的重心为，过的直线分别交于若利用向量证明：
随练1、
已知向量是两个不共线的向量，且向量与共
线，则实数m的值为________．
随练2、
设是平面内的一组基底，且，则关于的式子不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
随练3、
已知，，求证：，，三点共线.
随练4、
平面向量共线的充要条件是（
）
A.方向相同
B.两向量中至少有一个为0
C.存在，使
D.存在不全为零的实数，使
随练5、
已知是不共线的向量，那么三点共线的等价条件是（
）
A.
B.
C.
D.
拓展
1、
如图，正六边形中，（
）
A.
B.
C.
D.
2、
已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足＝0，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
3、
如图，正方形中，是的中点，若，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
4、
在正方形中，点为边的中点，则（
）
A.
B.
C.
D.
5、
如图，正六边形ABCDEF中，（
）
A.
B.
C.
D.
6、
P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（
）
A.内部
B.边所在直线上
C.边所在直线上
D.边所在直线上

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