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第15讲_向量的坐标运算
知识图谱
平面向量的基本概念
知识精讲
一．平面向量基本定理
1.
平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数和使得.
2.
基底：不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
3.
定理说明：
（1）我们把不共线向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不唯一，关键是不共线；
由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解；
二．平面向量的正交分解
1.正交分解：在不共线的两个向量中，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底.
2.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作=，其中叫作在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.
三.
平面向量的坐标运算
在平面直角坐标系内，设坐标，，则
1.向量表示为：
2.向量的模长表示为：.
3.设两个向量和的坐标分别为，,则：
（1）
；
（2）；
（3）.
四．两个平面向量的共线的条件
设两个向量和的坐标分别为，，则
三点剖析
一.
注意事项
1.
因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.
二．重要结论：
已知A,B是直线l上任意两点，O是l外一点，对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为.（证明：令）
非正交型基底
例题1、
如图，在中，已知，为上一点，且满足，则实数的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
如图，
又，所以
又，由平面向量基本定理可得，解得
例题2、
如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（　　）
A.
B.3
C.1
D.
【答案】
A
【解析】
根据图形得，；
又；
根据平面向量基本定理得：，；
．
例题3、
已知等边内接于，为线段的中点，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
如图所示，
设中点为，则
．
例题4、
若，不共线，且（λ，μ∈R），则（
）
A.，
B.λ＝μ＝0
C.λ＝0，
D.，μ＝0
【答案】
B
【解析】
根据平面向量基本定理，由，
得：λ＝μ＝0．
例题5、
如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量________（用，表示向量）
【答案】
【解析】
，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，
是的中位线，
．
随练1、
在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，，则向量（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
如图所示，
点为的中点，，
，
，，
随练2、
下列各组向量中可以作为基底的是（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】
B
【解析】
由题意可知=（1，2），=（3，4）不共线，可以作为基底．
随练3、
如图，在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若，则的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
在正方形中，是边上靠近点的三等分点，
，．
又，
，
，
，．
则．
随练4、
已知点是的重心，过作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的值（　　）
A.3
B.
C.2
D.
【答案】
B
【解析】
根据题意为三角形的重心，
，
，
，
由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数，使得，
即，
即
即
即．
正交型基底
例题1、
点O为正六边形的中心，则可作为基底的一对向量是（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】
B
【解析】
由图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与不共线，可作为基底向量．
例题2、
已知在和点满足，若存在实数使得成立，则________．
【答案】
3
【解析】
由点满足，知点为的重心，
设点为底边的中点，则
例题3、
在平行四边形中，，分别为边，的中点，若，则（
）
A.2
B.1
C.
D.
【答案】
D
【解析】
根据题意知，，①
②
由①知；
由②知
∴
∴
∴
∴，
∴
例题4、
已知、、分别是的边、、的中点，且，，，给出下列等式：
①；②；③；④
其中正确的等式是________（请将正确等式的序号填在横线上）．
【答案】
①②④
【解析】
、、分别是的边、、的中点，且，，，
①，
即，故①正确；
②即，故②正确；
③，故③错误；
④，
即，故④正确．
例题5、
在矩形中，，，，，若，则的值为（
）
A.2
B.4
C.5
D.7
【答案】
D
【解析】
∵在矩形ABCD中，|AB|＝3，|AC|＝5，
∴利用勾股定理可得：|AD|＝4，
∵，，
∴，，
∴，
∴x＝3，y＝4，可得：x＋y＝7．
随练1、
已知在和点满足，若存在实数使得成立，则________．
【答案】
3
【解析】
由点满足，知点为的重心，
设点为底边的中点，则
随练2、
如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为________
【答案】
【解析】
由题意及图，，
又，
，
，
又，
，解得，．
随练3、
如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
由平面向量基本定理得：
．
随练4、
如图，正方形中，是的中点，若
，则
A.
B.
C.
D.2
【答案】
B
【解析】
，=λ+，=；
∴=λ+
=λ+
=；
∴由平面向量基本定理得：；
解得，；
∴．
平面向量的坐标运算
例题1、
已知向量，，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
．
例题2、
已知平面向量，，则（　　）
A.
B.3
C.
D.5
【答案】
A
【解析】
根据题意，向量，，
则，
则．
例题3、
已知向量，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
∵向量，
∴（32，7+3）=（1，10），
∴=．
例题4、
向量，，在正方形网络中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（　　）
A.﹣8
B.﹣4
C.4
D.2
【答案】
C
【解析】
设正方形的边长为1，则易知
=（﹣1，﹣3），=（﹣1，1），=（6，2）；
∵=λ+μ，
∴（﹣1，﹣3）=λ（﹣1，1）+μ（6，2），
解得，λ=﹣2，μ=﹣；
故=4．
例题5、
若向量，，则与共线的向量可以是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
；
与共线．
例题6、
已知平面向量，，则（　　）
A.
B.3
C.
D.5
【答案】
A
【解析】
根据题意，向量，，
则，
则．
例题7、
已知向量，，当x＝________时，．
【答案】
3或
【解析】
向量，，
若，则，
化简得，
解得或；
或时，．
随练1、
已知两点，，则（　　）
A.12
B.
C.13
D.
【答案】
C
【解析】
两点，，则．
随练2、
设向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
；
；
；
．
随练3、
已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，设小正方形边长为1．若，则（
）
A.
B.
C.
D.2
【答案】
B
【解析】
根据向量所在的位置建立平面直角坐标系．
如图所示：
所以：，，，．
故：，，，
由于，
则：，
所以：，
解得：，．
故：．
随练4、
已知，，，且，则（　　）
A.9
B.
C.1
D.
【答案】
A
【解析】
向量，
，
解得．
随练5、
已知向量，，向量，则________
【答案】
【解析】
；
．
平面向量共线的坐标表示
例题1、
已知向量，，若，则实数________．
【答案】
－3
【解析】
，；
；
；
解得．
例题2、
已知中，，边上的高为，
求及点坐标
【答案】
点坐标为，
【解析】
设D点坐标为(x，y)，D分所成的比为λ，则
故点坐标为，
例题3、
已知向量，，，若向量与向量共线，则实数的值为________．
【答案】
【解析】
由，，得，
由向量与向量共线得，
即．
例题4、
已知向量，不共线，
=2+m，
=n3，若∥，则mn=__．
【答案】
6
【解析】
∵向量，
不共线，
=2+m，
=n3，且∥，
∴=λ，且λR，
即2+m=λ（n3），
∴，
即2×（3）λ=mnλ，
∴mn=6．
例题5、
已知向量，．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，，且、、三点共线，求实数的值．
【答案】
（1）或
（2）
【解析】
（1）设；
，且；
①，②；
①②联立得，，或；
或
（2），；
、、三点共线；
；
；
．
随练1、
下列命题中正确的是（
）
A.与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】
C
【解析】
A选项中可能为零向量．Ｂ选项中两个向量可能在同一条直线上．Ｄ中相反（或同向）向量平行．
随练2、
如图，已知点线段上三等分点依次为，
求点的坐标以及所成的比
【答案】
；，
【解析】
设则，由定比分点公式得：
由可得解得：；同理由解得．
随练3、
已知向量，，且，则x＝________．
【答案】
－3
【解析】
；
；
．
随练4、
在已知当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？
【答案】
与平行即得此时则即此时向量与方向相反
【解析】
平面向量共线的条件
随练5、
已知向量，，若，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
；
；
；
；
．
随练6、
已知向量a＝（8，x），b＝（x，l），若（a－b）∥（2a＋b），则x＝________．
【答案】
【解析】
∵a＝（8，x），b＝（x，1），∴a－b＝（8－x，x－1），2a＋b＝（16＋x，2x＋1）．
∵（a－b）∥（2a＋b），∴（8－x）（2x＋1）－（16＋x）（x－1）＝0，即－3x2＋24＝0，解得
随练7、
已知，，求证：，，三点共线.
【答案】
见解析
【解析】
，故，，三点共线.
拓展
1、
如图，在△ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设=，=，则=（　　）
A.+
B.+
C.
D.
【答案】
B
【解析】
=+=+，
=+（），
=+（），
=+（+），
=+，
=+
2、
如图△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，=+m?，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则实数m的取值范围是
．
【答案】
（，）
【解析】
解在AB上取点D′，使得，过D′作D′E⊥AB，交BC于E，交AD于F，
∵，∴的终点M落在直线DE上．
过F作FM⊥AC于M，过E作EN⊥AC于N，
∴若向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则M必定在线段EF上（不含端点）．
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4，∴AM=1，AN=3，
∴．
故答案为：（，）．
3、
已知点，则与向量同方向的单位向量为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
∵已知点A（1，3），B（4，1），∴=（4，1）（1，3）=（3，4），||==5，
则与向量同方向的单位向量为
4、
已知点，向量，则向量=（　　）
A.（5，2）
B.（5，2）
C.（1，2）
D.（1，2）
【答案】
B
【解析】
设C=（a，b），
点A（0，1），B（2，1），向量=（3，2），
，
则向量==（3，2）（2，0）=（5，2）．第15讲_向量的坐标运算
知识图谱
平面向量的基本概念
知识精讲
一．平面向量基本定理
1.
平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数和使得.
2.
基底：不共线的向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
3.
定理说明：
（1）我们把不共线向量和叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底不唯一，关键是不共线；
由定理可将任一向量在给出基底和条件下进行分解；
二．平面向量的正交分解
1.正交分解：在不共线的两个向量中，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，此时，这两个互相垂直的向量组成的基底为正交基底.
2.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作=，其中叫作在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.
三.
平面向量的坐标运算
在平面直角坐标系内，设坐标，，则
1.向量表示为：
2.向量的模长表示为：.
3.设两个向量和的坐标分别为，,则：
（1）
；
（2）；
（3）.
四．两个平面向量的共线的条件
设两个向量和的坐标分别为，，则
三点剖析
一.
注意事项
1.
因为我们研究的平面向量是自由向量，所以在平面向量里，向量的共线和平行可以理解为一个概念，这不同于直线的共线和平行，是两个完全不一样的概念.
二．重要结论：
已知A,B是直线l上任意两点，O是l外一点，对直线l上任意一点P，存在实数t，使关于基底的分解式为.（证明：令）
非正交型基底
例题1、
如图，在中，已知，为上一点，且满足，则实数的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
例题2、
如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（　　）
A.
B.3
C.1
D.
例题3、
已知等边内接于，为线段的中点，则（　　）
A.
B.
C.
D.
例题4、
若，不共线，且（λ，μ∈R），则（
）
A.，
B.λ＝μ＝0
C.λ＝0，
D.，μ＝0
例题5、
如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量________（用，表示向量）
随练1、
在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，，则向量（
）
A.
B.
C.
D.
随练2、
下列各组向量中可以作为基底的是（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
随练3、
如图，在正方形中，是边上靠近点的三等分点，连接交于点，若，则的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
随练4、
已知点是的重心，过作直线与，两边分别交于，两点，且，，则的值（　　）
A.3
B.
C.2
D.
正交型基底
例题1、
点O为正六边形的中心，则可作为基底的一对向量是（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
例题2、
已知在和点满足，若存在实数使得成立，则________．
例题3、
在平行四边形中，，分别为边，的中点，若，则（
）
A.2
B.1
C.
D.
例题4、
已知、、分别是的边、、的中点，且，，，给出下列等式：
①；②；③；④
其中正确的等式是________（请将正确等式的序号填在横线上）．
例题5、
在矩形中，，，，，若，则的值为（
）
A.2
B.4
C.5
D.7
随练1、
已知在和点满足，若存在实数使得成立，则________．
随练2、
如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为________
随练3、
如图，在直角梯形ABCD中，，，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
随练4、
如图，正方形中，是的中点，若
，则
A.
B.
C.
D.2
平面向量的坐标运算
例题1、
已知向量，，则（　　）
A.
B.
C.
D.
例题2、
已知平面向量，，则（　　）
A.
B.3
C.
D.5
例题3、
已知向量，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
例题4、
向量，，在正方形网络中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（　　）
A.﹣8
B.﹣4
C.4
D.2
例题5、
若向量，，则与共线的向量可以是（　　）
A.
B.
C.
D.
例题6、
已知平面向量，，则（　　）
A.
B.3
C.
D.5
例题7、
已知向量，，当x＝________时，．
随练1、
已知两点，，则（　　）
A.12
B.
C.13
D.
随练2、
设向量，，若，则________．
随练3、
已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，设小正方形边长为1．若，则（
）
A.
B.
C.
D.2
随练4、
已知，，，且，则（　　）
A.9
B.
C.1
D.
随练5、
已知向量，，向量，则________
平面向量共线的坐标表示
例题1、
已知向量，，若，则实数________．
例题2、
已知中，，边上的高为，
求及点坐标
例题3、
已知向量，，，若向量与向量共线，则实数的值为________．
例题4、
已知向量，不共线，
=2+m，
=n3，若∥，则mn=__．
例题5、
已知向量，．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，，且、、三点共线，求实数的值．
随练1、
下列命题中正确的是（
）
A.与共线，与共线，则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C.向量与不共线，则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
随练2、
如图，已知点线段上三等分点依次为，
求点的坐标以及所成的比
随练3、
已知向量，，且，则x＝________．
随练4、
在已知当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？
随练5、
已知向量，，若，则（　　）
A.
B.
C.
D.
随练6、
已知向量a＝（8，x），b＝（x，l），若（a－b）∥（2a＋b），则x＝________．
随练7、
已知，，求证：，，三点共线.
拓展
1、
如图，在△ABC中，N、P分别是AC、BN的中点，设=，=，则=（　　）
A.+
B.+
C.
D.
2、
如图△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，=+m?，向量的终点M在△ACD的内部（不含边界），则实数m的取值范围是
．
3、
已知点，则与向量同方向的单位向量为（
）
A.
B.
C.
D.
4、
已知点，向量，则向量=（　　）
A.（5，2）
B.（5，2）
C.（1，2）
D.（1，2）

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