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[练案35理][练案34文]
第三讲　等比数列及其前n项和
A组基础巩固
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　)
A．3　　 B．4　　　
C．5　　 D．6
2．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则等于(　　)
A．1　　 B．－3
C．1或－3　　 D．－1或3
3．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝(　　)
A．－10　　 B．－8　　　
C．8或－10　　 D．10或－8
4．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　　)
A．29　　 B．30　　　
C．31　　 D．32
5．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)
A．12　　 B．13　　　
C．14　　 D．15
6．(2021·福建漳州质检)已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝(　　)
A.　　 B．－　　　
C．－　　 D．－4
7．(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)
A．a＝
B．b＝
C．a，b，c依次成公比为2的等比数列
D．a，b，c依次成公比为的等比数列
8．(2021·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝，则(　　)
A．T3≤T6　　 B．T3C．T3≥T6　　 D．T3>T6
二、填空题
9．(2021·四川南充一诊)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝___.
10．(2021·北京东城区期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝　　，S4＝　　.
11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝____.
12．(此题为更换后新题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝　　.
12．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝　　.
三、解答题
13．(2021·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
14．(2021·陕西榆林一模)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn,2bn＋1＝an＋bn.
(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn<.
B组能力提升
1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是(　　)
A.或－　　 B．－
C.　　 D．
2．(2021·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(　　)
参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1.
A．2.2天　　 B．2.4天　　　
C．2.6天　　 D．2.8天
3．(理)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若设其公比为q，前n项和为Sn，则下面结论不正确的是(　　)
A．q＝2　　 B．an＝2n
C．S10＝2 047　　 D．an＋an＋1(文)(2020·南昌模拟)在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝(　　)
A．2　　 B．4　　　
C．6　　 D．8
4．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a9a10>1，<0，则下列结论正确的是(　　)
A．q>1　　 B．a10a11>1
C．Sn的最大值为S10　　 D．Tn的最大值为T9
5．(2020·3月份北京市高考适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，______.是否存在正整数k，使得S k>2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

[练案35理][练案34文]
第三讲　等比数列及其前n项和
A组基础巩固
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　C　)
A．3　　 B．4　　　
C．5　　 D．6
2．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则等于(　A　)
A．1　　 B．－3
C．1或－3　　 D．－1或3
[解析]　由a2a6＝16，得a＝16?a4＝±4.又a4＋a8＝8，可得a4(1＋q4)＝8，∵q4>0，∴a4＝4.∴q2＝1，＝q10＝1.
3．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝(　C　)
A．－10　　 B．－8　　　
C．8或－10　　 D．10或－8
[解析]　设等比数列的公比为q，因为a1＝2，S3＝6，所以S3＝2＋2q＋2q2＝6，则q2＋q－2＝0，所以q＝1或q＝－2.当q＝1时，S4＝S3＋2＝8；当q＝－2时，S4＝S3＋a1q3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选C.
4．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a6＝4，且a4＋2a7＝，则S5＝(　C　)
A．29　　 B．30　　　
C．31　　 D．32
[解析]　本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a2a6＝a＝4，且an>0，∴a4＝2.又a4＋2a7＝，∴a7＝.设{an}的公比为q，则＝q3＝，q＝，∴an＝a4n－4＝25－n，∴S5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.
5．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　C　)
A．12　　 B．13　　　
C．14　　 D．15
[解析]　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，
则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m－1.
令bm＝324，即4×3m－1＝324，
解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
6．(2021·福建漳州质检)已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝(　B　)
A.　　 B．－　　　
C．－　　 D．－4
[解析]　本题考查等比数列、等差数列的通项公式及性质．∵{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，∴a＝4a6，解得a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，∵S6＝S10，∴b7＋b8＋b9＋b10＝0，则b7＋b10＝0.∵a6＝b7＝4，∴b10＝－4，∴3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，∴d＝－，∴b9＝b7＋2d＝4＋2×＝－.故选B.
7．(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　D　)
A．a＝
B．b＝
C．a，b，c依次成公比为2的等比数列
D．a，b，c依次成公比为的等比数列
[解析]　由题意得a，b，c依次成公比为的等比数列，且c＋2c＋4c＝50，即c＝，故选B、D.
8．(2021·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{an}的公比为q>0，且q≠1，Sn为数列{an}前n项和，记Tn＝，则(　D　)
A．T3≤T6　　 B．T3C．T3≥T6　　 D．T3>T6
[解析]　T6－T3＝－＝－＝，由于q>0且q≠1，所以1－q与1－q6同号，所以T6－T3<0，∴T6二、填空题
9．(2021·四川南充一诊)数列{an}满足：log2an＋1＝1＋log2an，若a3＝10，则a8＝__320__.
[解析]　由题意知log2an＋1＝log2(2an)，∴an＋1＝2an，∴{an}是公比为2的等比数列，又a3＝10，∴a8＝a3·25＝320.
10．(2021·北京东城区期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝　　，S4＝　　.
[解析]　本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式．由题意，数列{an}是各项均为正数的等比数列，由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．由等比数列的前n项和公式，可得S4＝＝.
11．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝__32__.
[解析]　由题意知S3＝a1＋a2＋a3＝，
a4＋a5＋a6＝S6－S3＝－＝14＝·q3，∴q＝2.
又a1＋2a1＋4a1＝，∴a1＝，∴a8＝×27＝32.
12．(此题为更换后新题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝　－　.
[解析]　由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－.
12．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝　－　.
[解析]　由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－.
三、解答题
13．(2021·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，
即Sn＝2Sn－1－n＋4，
所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，
又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，
所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，
所以Sn＝2n＋1＋n－2，
于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝.
14．(2021·陕西榆林一模)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝，2an＋1＝an＋bn,2bn＋1＝an＋bn.
(1)证明：数列{an＋bn}，{an－bn}为等比数列；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn<.
[解析]　本题考查等比数列的证明，前n项和公式，放缩法证明不等式．
(1)证明：依题有两式相加得an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)，又a1＋b1＝，∴{an＋bn}是首项为，公比为的等比数列．
两式相减得an＋1－bn＋1＝(an－bn)，又a1－b1＝，
∴{an－bn}是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)可得an＋bn＝n－1①，an－bn＝n－1②，两式相加得an＝n＋n，故Sn＝＋<＋＝.
B组能力提升
1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值是(　C　)
A.或－　　 B．－
C.　　 D．
[解析]　由题意得a1＋a2＝5，b＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以＝.故选C.
2．(2021·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(　C　)
参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，结果精确到0.1.
A．2.2天　　 B．2.4天　　　
C．2.6天　　 D．2.8天
[解析]　设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项为a1＝3，公比为，前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项为b1＝1，公比为2，前n项和为Bn.则An＝，Bn＝.设蒲、莞长度相等时所需时间为x天，则＝，化简得2x＋＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.
3．(理)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3.若设其公比为q，前n项和为Sn，则下面结论不正确的是(　C　)
A．q＝2　　 B．an＝2n
C．S10＝2 047　　 D．an＋an＋1(文)(2020·南昌模拟)在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝(　C　)
A．2　　 B．4　　　
C．6　　 D．8
[解析]　(理)本题考查等比数列基本量的计算．因为a1＝2，a4＝2a2＋a3，公比为q，所以2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，故A正确；an＝2×2n－1＝2n，故B正确；Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，故C错误；an＋an＋1＝2n＋2×2n＝3an，而an＋2＝4an>3an，故D正确．故选C.
(文)因为数列{an}是等比数列，所以a2an－1＝a3an－2＝a1an，又因为a2an－1＋a3an－2＝256，所以a1an＝128，又因为a1＋an＝66.所以a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2.因为Sn＝，且Sn＝126，所以若a1＝2，an＝64，则＝126，得q＝2.此时an＝2×2n－1＝2n＝64，n＝6；若a1＝64，an＝2，则＝126，得q＝，此时an＝64×n－1＝2，得n＝6.综上知，n＝6.
4．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a9a10>1，<0，则下列结论正确的是(　D　)
A．q>1　　 B．a10a11>1
C．Sn的最大值为S10　　 D．Tn的最大值为T9
[解析]　由题意得a9>1>a10>a11…，∴05．(2020·3月份北京市高考适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，满足a3＝12，______.是否存在正整数k，使得S k>2 020？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
[解析]　当q＝2时，a1＝3，an＝3·2n－1，
Sn＝＝3·2n－3.
由3·2k－3>2 020得2k>674，
∵29＝512,210＝1 024，k∈N＋，kmin＝10.
当q＝时，a1＝48，an＝48·n－1，
Sn＝＝96－96·n.
由96－96·k>2 020得－>k，不等式无解．此时不存在．
当q＝－2时，a1＝3，an＝3·(－2)n－1，
Sn＝＝1－(－2)n.
由1－(－2)k>2 020得(－2)k<－2 019，
∵(－2)9＝－512，(－2)10＝1 024，
(－2)11＝－2 048，k∈N＋，kmin＝11.

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