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[练案36理][练案35文]
第四讲　数列求和
A组基础巩固
一、选择题
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－　　 B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－　　 D．n2－n＋1－
2．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则的前100项和为(　　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
3．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　　)
A．2n＋1＋n－2　　 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2　　 D．2n＋1－n－2
4．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(－1)n(2n－1)，则S2 021＝(　　)
A．2 021　　 B．－2 021
C．－4 041　　 D．4 041
5．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　　)
A．2n＋1＋n－2　　 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2　　 D．2n＋1－n－2
6．(2021·江西宁都中学线上检测)已知f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 020)＝(　　)
A．　　 B．1 010　　　
C．2 019　　 D．2 020
7．(2021·重庆月考)已知数列{an}满足a1＝－2，＝(n≥2，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则下列不正确的是(　　)
A．a2＝－8　　 B．an＝－2n·n
C．S3＝－30　　 D．Sn＝(1－n)·2n＋1－2
8．(理)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律：，，，，，，，，，，…，，，…，，以下说法不正确的是(　　)
A．a24＝
B．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列
C．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝
D．若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝
(文)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
(1)构造数列1，，，，…，；①
(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
二、填空题
9.＋＋＋…＋＝　　.
10．(2021·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项之和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则S10＝____.　
11．(2021·海南三亚模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}满足bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝____，T30＝____.
12．(2021·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{an}满足：a1为正整数，an＋1＝如果a1＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝____.
三、解答题
13．(2021·山东枣庄八中模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和Tn.
14．(2021·云南省红河州高三复习统一检测)等差数列{an}的首项a1>0，数列的前n项和为Sn＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
B组能力提升
1．(2021·江苏连云港月考)设i是虚数单位，则2i＋3i2＋4i3＋…＋2 020i2 019的值为(　　)
A．－1 010－1 010i　　 B．－1 011－1 010i
C．－1 011－1 012i　　 D．1 011－1 010i
2．(2021·山东济宁期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．a5＝－32
B．S5＝－63
C．数列{an}是等比数列
D．数列{Sn＋1}是等比数列
3．(2021·益阳、湘潭调研考试)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(　　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
4．若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　)
A．若{an}是递增数列，则a1<0，q<0
B．若{an}是递减数列，则a1>0,0C．若q>0，则S4＋S6>2S5
D．若bn＝，则{bn}是等比数列
5．(2021·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n.
[练案36理][练案35文]
第四讲　数列求和
A组基础巩固
一、选择题
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　A　)
A．n2＋1－　　 B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－　　 D．n2－n＋1－
[解析]　该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.
2．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则的前100项和为(　D　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　∵an＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，∴an＋1－an＝1＋n.
∴an－an－1＝n(n≥2)．
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
∴＝＝2.
∴的前100项和为2
＝2＝.故选D．
3．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　D　)
A．2n＋1＋n－2　　 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2　　 D．2n＋1－n－2
[解析]　因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n②，所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.
4．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(－1)n(2n－1)，则S2 021＝(　B　)
A．2 021　　 B．－2 021
C．－4 041　　 D．4 041
[解析]　本题考查用并项相加求数列的前n项和．由已知an＝(－1)n·(2n－1)，a2 021＝(－1)2 021(2×2 021－1)＝－4 041，且an＋an＋1＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝(－1)n＋1(2n＋1－2n＋1)＝2×(－1)n＋1，因而S2 021＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 019＋a2 020)＋a2 021＝2×1 010－4 041＝－2 021.
5．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　D　)
A．2n＋1＋n－2　　 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2　　 D．2n＋1－n－2
[解析]　因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①
2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②
所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.
6．(2021·江西宁都中学线上检测)已知f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 020)＝(　D　)
A．　　 B．1 010　　　
C．2 019　　 D．2 020
[解析]　本题综合考查函数与数列相关性质．∵f(x)＝(x∈R)，∴f(x)＋f＝＋＝＋＝2.∵等比数列{an}满足a1a2 020＝1，∴a1a2 020＝a2a2 019＝…＝a2 020a1＝1，∴f(a1)＋f(a2 020)＝f(a2)＋f(a2 019)＝…＝f(a2 020)＋f(a1)＝2，∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2 020)＝2 020.
7．(2021·重庆月考)已知数列{an}满足a1＝－2，＝(n≥2，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则下列不正确的是(　C　)
A．a2＝－8　　 B．an＝－2n·n
C．S3＝－30　　 D．Sn＝(1－n)·2n＋1－2
[解析]　由题意可得，＝2×，＝2×，＝2×，…，＝2×(n≥2，n∈N*)，以上式子左、右分别相乘得＝2n－1·n(n≥2，n∈N*)，把a1＝－2代入，得an＝－2n·n(n≥2，n∈N*)，又a1＝－2符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝－2n·n(n∈N*)，a2＝－8，故A，B正确；Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，则2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1]，两式相减，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2(n∈N*)，故S3＝－34，故C错误，D正确．
8．(理)数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律：，，，，，，，，，，…，，，…，，以下说法不正确的是(　B　)
A．a24＝
B．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列
C．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝
D．若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝
(文)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
(1)构造数列1，，，，…，；①
(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.
则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝(　C　)
A．　　 B．
C．　　 D．
[解析]　(理)对于选项A，a22＝，a23＝，a24＝，故A正确．对于选项B、C，数列，1，，2，…等差数列，Tn＝，故B错，C正确．对于选项D，S21>10，S20<10，a20＝，正确．故选B．
(文)依题意可得新数列为，，，…，×，
所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝＋…＋
＝
＝×＝.故选C．
二、填空题
9.＋＋＋…＋＝　－　.
[解析]　∵＝＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
10．(2021·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项之和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则S10＝__1_078__.　
[解析]　a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1?an＋1－an＝2n－1＋1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1?an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋n－1＋a1.
＝＋n－1＋2＝2n－1＋n.
S10＝1＋2＋22＋…＋29＋＝1 078.
11．(2021·海南三亚模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}满足bn＝|an|，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝__24__，T30＝__650__.
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11(n∈N*)，所以当n≤5时，an>0，bn＝an，当n>5时，an<0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×(10×5－52)－(10×30－302)＝650.
12．(2021·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{an}满足：a1为正整数，an＋1＝如果a1＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝__4_709__.
[解析]　由已知得a1＝1，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，周期为3的数列，a1＋a2＋…＋a2 018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4 709.
三、解答题
13．(2021·山东枣庄八中模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和Tn.
[解析]　(1)设数列{an}的公比为q，由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝，
又q>0，故q＝.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)及题意可得bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－，
故＝－＝－2，
Tn＝＋＋…＋＝－2＋＋…＋＝－.
所以数列的前n项和Tn＝－.
14．(2021·云南省红河州高三复习统一检测)等差数列{an}的首项a1>0，数列的前n项和为Sn＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)由的前n项和为Sn＝知
可得
设等差数列{an}的公差为d，
从而解得或，
又a1>0，则，
故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·22n－1＝n·4n，
则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
两边同时乘以4得4Tn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
两式相减得－3Tn＝41＋42＋43＋44＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1，
故Tn＝＋·4n＋1.
B组能力提升
1．(2021·江苏连云港月考)设i是虚数单位，则2i＋3i2＋4i3＋…＋2 020i2 019的值为(　B　)
A．－1 010－1 010i　　 B．－1 011－1 010i
C．－1 011－1 012i　　 D．1 011－1 010i
[解析]　本题考查等比数列的求和公式，错位相减法以及复数的乘除法运算，设S＝2i＋3i2＋4i3＋…＋2 020i2 019，可得iS＝0＋2i2＋3i3＋4i4＋…＋2 019i2 019＋2 020i2 020，两式相减可得(1－i)S＝2i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 019－2 020i2 020＝i＋i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 019－2 020i2 020＝i＋－2 020i2 020＝i＋－2 020＝i＋－2 020＝－2 021＋i，可得S＝＝＝－1 011－1 010i.
2．(2021·山东济宁期末)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，则下列说法正确的是(　C　)
A．a5＝－32
B．S5＝－63
C．数列{an}是等比数列
D．数列{Sn＋1}是等比数列
[解析]　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1，所以a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；a5＝－1×24＝－16，故A正确；Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选C．
3．(2021·益阳、湘潭调研考试)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是(　B　)
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B．
4．若{an}是公比为q(q≠0)的等比数列，记Sn为{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　D　)
A．若{an}是递增数列，则a1<0，q<0
B．若{an}是递减数列，则a1>0,0C．若q>0，则S4＋S6>2S5
D．若bn＝，则{bn}是等比数列
[解析]　A选项中，a1＝2，q＝3，满足{an}单调递增，故A错误；B选项中，a1＝－1，q＝2，满足{an}单调递减，故B错误；C选项中，若a1＝1，q＝，则a65．(2021·山东省济南市历城第二中学高三模拟考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n.
[解析]　(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
得，解得.
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，
则n为奇数，cn＝＝－，
n为偶数，cn＝2n－1.
∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)．

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