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4.5 多边形和圆的初步认识
北师大版 · 数学· 七年级（上）
第四章 基本平面图形
1.认识多边形、正多边形、圆及扇形。
2.能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数和扇形面积。
3.能从运动的角度理解圆的定义，培养学生动态思维能力。
学习目标
请学生观看图片，图片中哪些是你熟悉的平面图形?
导入新知
你能在我们生活周围找出这些平面图形吗？
新知一 多边形及其相关概念
合作探究
找出我们生活中基本的平面图形
找出我们生活中基本的平面图形
找出我们生活中基本的平面图形
多边形的概念
定义：多边形是由一些 上的 首尾
相连组成的 图形.
不在同一条直线
线段
顺次
封闭平面
我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧.
【注意】
①组成多边形的线段在“同一平面内”;
②线段必须“不在同一直线上”且线段条数不少于3条;
③首尾顺次相连;
④封闭图形.
下面图形是多边形的是（ ）
（1）（2）（6）（ 7）
练一练
E
C
B
A
D
如图，在多边形ABCDE中，
点A，B，C，D，E是多边形的顶点；
线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边；
∠EAB，∠ABC，∠BCD，∠CDE， ∠DEA是多边形的内角；
连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如线段AC、线段AD等.
多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角
（1）n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角？
n边形有n个顶点、n条边、n个内角.
顶点
边
内角
n边形
…
3 4 5 6 8 n
3 4 5 6 8 n
3 4 5 6 8 n
做一做 想一想
（2）过n边形的每一个顶点有几条对角线？
…
n边形
1
2
3
n-3
边数
对角线数
n
6
4
5
过n边形的每一个顶点有（n-3）条对角线，
一个n边形共有????(?????????)????条对角线.
?
多边形的边数 4 5 6 7 8 … n …
三角形的个数 2 3 4 __ ___ … ____ …
你能看出什么规律吗？
每个n边形都可以分割成_________个三角形.
…
从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形.能有一定的规律吗？
5
6
n－2
n－2
做一做 想一想
1.若一个多边形有12个内角，则这个多边形（ ）边形，
若一个多边形有20个顶点，则这个多边形为（ ）边形.
十二
二十
2.从一个八边形的某个顶点出发的对角线，可以把八边形分割成( )个三角形.
3.从十边形的一个顶点出发可以画出（ ）条对角线，这些对角线将十边形分割成（ ）个 三角形.
6
7
8
巩固新知
下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
的多边形叫做正多边形.
各边相等，各角也相等
上图中的多边形分别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形.
新知二 正多边形
合作探究
判断正误：
（1）由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形.

（2）各边相等的多边形是正多边形.

（3）各角都相等的多边形一定是正多边形.
在同一平面内，不在同一条直线上
缺少“各角相等”的条件
缺少“各边相等”的条件
巩固新知
圆:平面上，一条线段绕着一个端点旋转一周，另一个
端点形成的图形.
圆心:固定的端点O.
半径:线段OA的长称为半径的长（通常也称为半径）.
圆弧（简称弧）:圆上任意两点A，B间的部分,
读作“圆弧AB”或“弧AB”.
扇形:由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径
OA，OB所组成的图形.
圆心角:顶点在圆心的角.
A
O
B
新知三 圆及其有关概念
合作探究
将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数.
解：因为一个周角为360°，所以分成的
三个扇形的圆心角分别是：
典例精析 求扇形的圆心角的度数
例
360°×????????+????+????=60°，
?
360°×????????+????+????=120°，
?
360°×????????+????+????=180°.
?
如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？
30%
50%
20%
解：
360 °× 30%= 108°
360 °× 20%= 72°
360 °× 50%= 180°
巩固新知
（1）如图，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗?小组交流.
120°，120°，120°；
每个扇形的面积是圆形面积的三分之一
（2）圆心角的度数与周角的比与扇形的面积与圆的面积比有怎样的关系？
新知四 扇形的面积
结论：扇形的圆心角与周角的比等于扇形面积与圆的面积比.
即S扇形= 圆心角周角 × S圆= ????????????????????????????°
?
合作探究
画一个半径是2厘米的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？小组交流.
60 °
2厘米
做一做
S扇形= ????????°????????????° × S圆
= ????????°????????????°×π×22
= ????????π （cm2）
?
将一个圆分成四个扇形A、B、C、D，它们的面积之比为2:3:3:4，则最大扇形的圆心角为 .
120°
解：因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
因此，最大扇形的圆心角为120°.
360°×????????+????+????+????=60°，
?
360°×????????+????+????+????=90°,
?
360°×????????+????+????+????=90°，
?
360°×????????+????+????+????=120°.
?
巩固新知
1. 如图所示的图形中，属于多边形的有几个(　 )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
A
课堂练习
2. 一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线，这个多边形是(　 )
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3. 在同一个圆中，扇形A，B，C，D的面积之比为1∶1∶3∶4，则最大扇形的圆心角为(　 )
A. 120° B. 140°
C. 160° D. 170°
D
C
4. 如图是地球表面积统计图的一部分，扇形A表示地球某几种水域的面积，则此扇形的圆心角为________度.
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多边形和圆
多边形
圆
圆心角为n°,半径为R的扇形的面积为______
弧长、扇形、弦、圆心角
平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形
n边形有n个顶点，n条边，n个内角， 过一个顶点 有（n-3）条对角线,分割（n-2）个三角形
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
平面上,一条线段绕着它固定的一个端点旋转,另一个端点形成的图形
????????????????????????????°
?
归纳新知
1．下列图形是多边形的个数是( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B
课后练习
2．一个多边形有五条对角线，那么这个多边形是( )
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
B
3．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
C
4．六边形一共有对角线( )
A．7条
B．8条
C．9条
D．10条
C
5．一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数是( )
A．7
B．6
C．5
D．4
C
6．通过连接对角线的方法，从一个顶点引出的对角线可以把十边形分成互不重叠的三角形的个数为( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
B
7．一个正六边形的周长是18 cm，则这个正六边形的边长是____cm.
8．下列说法不正确的是( )
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．正多边形的各边都相等
C．正三角形就是等边三角形
D．各内角都相等的多边形不一定是正多边形
3
A
9．下列属于正n边形的特征的有( )
①各边相等；②各个内角相等；③各条对角线都相等；④从一个顶点可以引(n－2)条对角线；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
A
10．下列条件中，能确定圆的是( )
A．以已知点O为圆心
B．以点O为圆心，2 cm为半径
C．以2 cm为半径
D．经过已知点A，且半径为2 cm
B
B
5
13．如图是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是( )
A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
D
14．过一个多边形的一个顶点可作9条对角线，那么这个多边形是( )
A．六边形
B．十边形
C．十二边形
D．九边形
C
15．把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．三角形或四边形或五边形
D
D
C
B
19．从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三角形，则m＋n＝____．
20．如图，在边长为4的正方形ABCD中，分别以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB为直径，AB中点为圆心画弧，则两弧阴影部分面积是____．(结果保留π)
15
2π
21．如图，扇形A，B，C的面积比为7∶3∶8，求各扇形的圆心角的度数．
22．(2020·青岛改编)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面贴纸，求贴纸的面积．(用π表示)
23．半径为3的圆中，扇形AOB的圆心角为150°，请在图中圆内画出这个扇形，并求出它的面积．(结果保留π)
24．我们在小学已经学习过三角形，知道三角形的内角和是180°；结合多边形的对角线的知识，试探究：
(1)过四边形的一顶点可以将其分割成____个三角形，从而得知，四边形的内角和是_________；
(2)五边形的内角和是多少？
(3)n边形的内角和是多少？
解：(2)540°
(3)(n－2)×180°
2
360°
再
见

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