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2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-
第8讲：全等三角形的性质与判定2
知识讲解
1、AAS
ASA
1.角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”。
2.角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“AAS”。
注意：用“ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等；用“AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边，
例举两个三角形全等的条件时，列出全等的三个条件一定要按角边顺序的对应。
2、直角三角形HL
判定：直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
注意：应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用。
3、常见辅助线
常见的几种辅助线添加：
①遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
②遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
③过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
④截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．
例题精析
【教学建议】
此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
例1
【题干】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
求证：△BEC≌△CDA．
【答案】证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，
在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA(AAS)．
【解析】本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．
例2
【题干】如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．
【答案】∵四边形ABCD是长方形，∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°
∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．
∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，
∴∠BAN=∠EAM．在△ABN与△AEM中，，∴△ABN≌△AEM（ASA）．
【解析】判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等，角须是两边夹角．
例3
【题干】将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点．
（1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明；
（2）若为线段上任意一点，于，于．并求的值．
【答案】（1）△AED≌△CEB’。证明：四边形ABCD为矩形，∴B’C=BC=AD，∠B’=∠B=∠D=90°，又∵∠B’EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB’．
（2）由已知得：∠EAC=∠CAB且∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA。
∴AE=EC=8-3=5，在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB。
∴PG=PM，∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4。
【解析】通过添加辅助线，利用折叠的性质，构造全等三角形。
例4
【题干】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．
【答案】证明：如图，
延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．
在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（SAS），∴AC=BF，∠1=∠A．
由AC=AB得∠ACB=∠2．∵∠3=∠A+∠ACB，∴∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，
在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF，∴CE=CF，即CE=2CD
【解析】在三角形全等的证明中，我们常会遇到证明某条线段的长度等于另一条线段长度的两倍或者二分之一等，还会遇到两条线段和与另一条线段的不等关系。如果题目中有中点这个已知条件，运用倍长中线法，可达到事半功倍的效果。
例5
【题干】已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD.
【答案】解法1：（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，
∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中，
∴△ABD≌△AED（AAS），∴AB=AE。
又AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.
解法2：（截长法）
在AB上截取AF=AC，在△AFD与△ACD中，
，∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。
又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB。∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.
【解析】这道题是全等三角形证明中很重要的一类题：用截长补短法证明三角形全等。分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：（1）通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和（AC+CD），再证所构造的线段与求证中的那一条线段相等。（2）通过添加辅助线，先在求证中长线段上截取与短线段中的一段相等的线段，再证明截剩的部分与短线段中的另一段相等。
课堂运用
【教学建议】
在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。
基础
1．已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　）
A．甲和乙
Ｂ．乙和丙
Ｃ．只有乙
Ｄ．只有丙
2．如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（　　）
A．只能证明△AOB≌△COD
B．只能证明△AOD≌△COB
C．只能证明△AOB≌△COB
D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
3．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4．若△ABC的边a,b满足,则第三边c的中线长m的取值范围为_____.
5．已知：如图△ABC中，AM是BC边上的中线。求证：
答案与解析
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】25．【答案】AM<
巩固
1．C是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM=PN，∠AOB=68°，求∠MPN的度数．
2．四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，
求证：AD∥BC。
3．如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．
4．已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
5．如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A＋∠C＝180o,试说明AD＝CD.
答案与解析
1．【答案】∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOP=∠EOP，又∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠DOP=∠EOP，在△ODP和△OPE中，，∴△ODP≌△OPE（AAS）
∴PD=PE．∠PDO=∠PEO=∠PEN=90°．∵∠PDO+∠PEO+∠DPE+∠AOE=360°，∠AOB=68°，
∴∠DPE=112°．在Rt△PDM和Rt△PEN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PEN（HL），
∴∠DPM=∠EPN．∴∠DPM+MPE=∠EPN+∠MPE，∴∠DPE=∠EPN=112°．
【解析】根据四边形的内角和可得出∠DPE的值，证明△PDM≌△PEN得出∠DPM=∠EPN．
2．【答案】
在AB上取一点F，使BF=BC，连接EF。在△BFE和△BCE中，，∴△BFE≌△BCE（SAS），∴EF=EC，又∵DE=EC，∴EF=EC=DE。∵AB=AD+BC，AB=AF+FB，∴AF=AD。在△AFE和△ADE中，，∴△AFE≌△ADE（SSS），∴∠D=∠AFC。
又∵△BFE≌△BCE，∴∠C=∠BFE。∵∠AFC+∠BFE=180°，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC
【解析】题中AB=AD+BC的条件是突破口，利用截长法及角平分线定义构造全等三角形。
3．【答案】证明：如图，延长AB到F，使BF=CE，连接EF与BC相交于点N，
在△BFN和△CEN中，
，
∴△BFN≌△CEN（AAS），
∴BN=CN，EN=FN，
又∵M是CD的中点，
∴∠BAN=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAN=∠EAN，
∴AN既是△AEF的角平分线也是中线，
∴AE=AF，
∵AF=AB+BF，
∴AE=BC+CE．
4．【答案】略
5．【答案】略
拔高
1．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．
求证：AE=BC+CE．
2．已知：如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，且AB=BF，连接DF．求证：DE=BE+CF．
3．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
答案与解析
1．【答案】取BC的中点F，作FG⊥AE于E，连接AF，EF。
在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90?。又∵DM=BF=AB
∴△ABF≌△ADM（SAS），∴∠DAM=∠BAF。∵∠BAE=2∠DAM，∴∠BAF=∠GAF，
又∵∠B=∠AGF=90?，AF=AF，∴△ABF≌△AGF（AAS），∴AG=AB=BC，FG=BF=CF
∵∠EGF=∠C=90?，EF=EF，∴△EGF≌△ECF（HL），∴GE=CE，∴AE=AG+GE=BC+CE
【解析】首先取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF，由四边形ABCD是正方形，M是CD的中点，易证得△ABF≌△ADM，又由∠BAE=2∠DAM，即可得AF是∠BAE的角平分线，易得AH=AB，BF=HF，又可证得Rt△CFE≌Rt△HFE，即可得EH=CE，继而可证得AE=AB+CE．2．【答案】证明：过点F作FN⊥DE于点N，∵∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，FN⊥DE，FB⊥AB，易证△FBE≌△FNE，∴FN=FB，
在Rt△FEN和Rt△FEB中，，∴Rt△FEN≌Rt△FEB（HL），∴NE=BE，
在Rt△FDN和Rt△DFC中，，∴Rt△FDN≌Rt△DFC（HL），∴FC=DN，
∴DE=NE+DN=BE+CF．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，作出FN⊥DE进而利用全等得出对应边相等是解题关键．
3．【答案】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
（3）解：DE=BE﹣AD．
【解析】1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
课后作业
【教学建议】
教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业，成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要超过5题，这样学生才能保证做题的质量。
基础
1．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是_____.（用字母表示）．
　
2．已知：如图,AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件,使△AOB≌△DOC,你补充的条件是（　　）．
A．AC=DB
B．BC=BD
C．AB=CD
D．∠AOB=∠DOC
3．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC=CD,再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（　　）
A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.边边角
4．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（　　）
A．3
B.4
C.5
D.6
5．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E．四边形AECF的面积是（　　）．
A．16
B．12
C．8
D．4
答案与解析
1．【答案】SSS
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】A
巩固
1．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.
2．已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD.求证：DE=BC.
3．已知：如图，AB=DC,AD=BC,O是BD中点,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．
求证：OE=OF
4．如图△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
5．如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
答案与解析
1．【答案】略
2．【答案】略
3．【答案】略
4．【答案】略
5．【答案】略
拔高
1．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．
2．如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
3．以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
_____.，线段AM与DE的数量关系是_____.；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
答案与解析
1．【答案】解：延长CB到G，使BG=DF，连接AG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，AB∥CD，∠D=∠ABC=90°，
∴∠5=∠BAF=∠1+∠3，∠ABG=180°﹣∠ABC=90°，
在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠G=∠5，∠1=∠2=∠4，
∴∠G=∠5=∠1+∠3=∠4+∠3=∠EAG，
∴AE=GE=BE+GB=BE+DF．
2．【答案】证明：延长CE到F，使EF=CE，连接FB．
∵CE是△ABC的中线，
∴AE=EB，
又∵∠AEC=∠BEF，
∴△AEC≌△BEF，（SAS）
∴∠A=∠EBF，AC=FB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF；
∵CB是△ADC的中线，
∴AB=BD，
又∵AB=AC，AC=FB，
∴FB=BD，
又CB=CB，
∴△CBF≌△CBD（SAS），
∴CD=CF=CE+EF=2CE．
3．【答案】略2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-
第8讲：全等三角形的性质与判定2
知识讲解
1、AAS
ASA
1.角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”。
2.角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“AAS”。
注意：用“ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等；用“AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边，
例举两个三角形全等的条件时，列出全等的三个条件一定要按角边顺序的对应。
2、直角三角形HL
判定：直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
注意：应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用。
3、常见辅助线
常见的几种辅助线添加：
①遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；
②遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；
③过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；
④截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．
例题精析
例1
【题干】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
求证：△BEC≌△CDA．
例2
【题干】如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．
例3
【题干】将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点．
（1）试找出一个与全等的三角形，并加以证明；
（2）若为线段上任意一点，于，于．并求的值．
例4
【题干】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．
例5
【题干】已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD.
课堂运用
基础
1．已知△ABC的六个元素,下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　）
A．甲和乙
Ｂ．乙和丙
Ｃ．只有乙
Ｄ．只有丙
2．如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（　　）
A．只能证明△AOB≌△COD
B．只能证明△AOD≌△COB
C．只能证明△AOB≌△COB
D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
3．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一条直角边和它所对的锐角对应相等
D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
4．若△ABC的边a,b满足,则第三边c的中线长m的取值范围为
5．已知：如图△ABC中，AM是BC边上的中线。求证：
巩固
1．C是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PE⊥OB，垂足为点E，点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM=PN，∠AOB=68°，求∠MPN的度数．
2．四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于E，且DE=CE，AB=AD+BC，
求证：AD∥BC。
3．如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．
4．已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．
5．如图,在四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A＋∠C＝180o,试说明AD＝CD.
拔高
1．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．
求证：AE=BC+CE．
2．已知：如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，∠DEB的平分线EF交BC的延长线于点F，且AB=BF，连接DF．求证：DE=BE+CF．
3．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
课后作业
基础
1．“三月三,放风筝”,如图1—24—4是小明制作的风筝,他根据DE＝DF,EH＝FH,不用度量,就知道∠DEH＝∠DFH,小明是通过全等三角形的识别得到的结论,请问小明用的识别方法是＿＿＿＿＿（用字母表示）．
2．已知：如图,AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件,使△AOB≌△DOC,你补充的条件是（　　）．
A．AC=DB
B．BC=BD
C．AB=CD
D．∠AOB=∠DOC
3．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC=CD,再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（　　）
A.边角边
B.角边角
C.边边边
D.边边角
4．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（　　）
A．3
B.4
C.5
D.6
5．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E．四边形AECF的面积是（
）．
A．16
B．12
C．8
D．4
巩固
1．如图,线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,说明∠A=∠C.
2．已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD.求证：DE=BC.
3．已知：如图，AB=DC,AD=BC,O是BD中点,过O的直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．
求证：OE=OF
4．如图△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
5．如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
拔高
1．已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．求证：BE+DF=AE．
2．如图，CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC．求证：CD=2CE．
3．以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

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